Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Батарея из Морудий ведет огонь по группе, состоящей изN целей (М < N). Орудия выбирают себе цели последовательно,случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будутобстреляны цели с номерами 1, 2,..., М.Р е ш е н и е . Число способов, которыми можно распределить Морудий по Л^целям, равно п = N(N - 1)...(N - М + 1) (число размещений из N элементов по М). Число благоприятных случаев(при которых обстреливаются только первые Мцелей) т = М!;М\Р = N(N-1)...(N-M+ 1)1мC%131.40.
В урне имеется К шаров; из них:Кг шаров 1-го цвета;Кг шаров г-го цвета;Кт шаров m-го цветаккТ,<=W=lИз урны вынимают одновременно к шаров. Найти вероятностьтого, что среди них будет:кг шаров 1-го цвета;к • шаров г-го цвета;кт шаров m-го цветаЕ*«U=lР е ш е н и е . Общее число случаев п равно числу способов, какими можно вынуть А; шаров из К: п = СкК.
Число благоприятныхслучаев:mг=1так как группу шаров первого цвета можно выбрать с £ способами,группу шаров второго цвета — С1^ способами и т. д. Вероятность событият1.41. Батарея, состоящая из к орудий, ведет огонь по группе, состоящей из Iсамолетов (к < 2). Каждое орудие выбирает себе цельслучайно и независимо от других. Найти вероятность того, что всек орудий будут стрелять по одной и той же цели.IО т в е т . - kгllk~l141.42. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,что все орудия будут стрелять по разным целям.Р е ш е н и е .
Группу из к обстрелянных целей можно выбратьCf способами, а в пределах группы распределить орудия А;! способами: га = Ск к\; общее число случаев п = 1к; искомая вероятностьсобытия^'-1'"-2'-:*'-^1'.lkJ*-11.43. Четыре шарика случайным образом разбрасываются почетырем лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку содинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий кпопаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найтивероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, вдругой — один, а в двух остальных лунках шариков не будет.Р е ш е н и е . Общее число случаев п = 44. Число способов, которыми можно выбрать одну лунку, где будут три шарика, С\ = 4.Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет одиншарик, С\ = 3.
Число способов, которыми можно выбрать из четырех шариков три, чтобы положить их в первую лунку, С\ = 4. Общее число благоприятных случаев га = 4 • 3 • 4. Вероятность собыга 4 - 3 - 43тия: р = — =— = —.п44161.44. Имеются М шариков, которые случайным образом разбрасываются по N лункам (N> M). Определить вероятность того,что в первых М лунках будет ровно по одному шарику.О т в е т . ——.NM1.45*.
Имеется М шариков, которые случайным образом разбрасываются по N лункам. Найти вероятность того, что в первуюлунку попадет ровно кх шариков, во вторую — к^ шариков и т.д., вN-ю — &# шариков,кх + k2+...+kN=мР е ш е н и е . Число случаев п = NM. Число благоприятных случаев подсчитывается следующим образом. Число способов, какимиможно выбрать из М шариков kv равно Ск^; число способов, какими можно из оставшихся М— кх шариков выбрать /^, равно С$_к ит.д.; число способов, какими можно из М — (кг + k2+...+kN_1) = kNвыбрать kN, равно C^N = 1.
Все эти числа нужно перемножить:т_/7*1 /7*2/7*JV-I. 1_15М\{М-к.у.[M-(k1+k2+...+kN_2)}\к, \{м - к.у.к, \\м - (к, + к2)]Г=__М!__К1 •«2- — %Вероятность события р = —П=!V i uN •'_М!_ТТд. |NMf[kt !1=11.46*. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что в одной из лунок (все равно, в какой) будет кх шариков, в другой — /^ ит.д., в iV-й — &#шариков (числа kv k2,..., kNпредполагаютсяразличчьими).Р е ш е н и е.
По сравнению с задачей 1.45 число благоприятныхслучаев увеличится в N\ раз (это число способов, каким можнопереставить между собой N чисел: kv A^, ... kN). Вероятность событияMININM]\ki !»=i1.47*. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что из Nлунок будет IQ таких, в которые не попадет ни одного шарика; 1Х таких, в которые попадет ровно один шарик, и т.д.; 1М таких, в которые попадут все М шариков:/0 +1г+...+1м =N;0-l0+1-1г+...+М-1м=М.Р е ш е н и е . Общее число случаев п = NM.
Чтобы найти числоблагоприятных случаев га, нужно перемножить число способов,какими можно выбрать лунки, и число способов, какими можно выбрать шарики. Лунки можно выбрать т—j—j = —i0ux\...iM\!UhкJfc=0способами.Найдем число способов, какими можно выбрать шарики.
Шарики распадаются на группы: начальная группа (по 0 шариков)пустая; первая содержит lt шариков; вообще к-я — Ык шариков(к = 1, 2,..., М). Группы шариков можно выбрать16м\м\(1/ 1 )!(И 2 )1(Я,)!...(ЛЛ„)!^№ ),к=\способами. Теперь определим, сколькими способами можно выбрать шарики внутри к-й группы так, чтобы в каждой из ^ лунок лежало по к шариков.
Это число способов равно*!*!...*!(k\)lt 'h Раза число способов, какими можно выбрать все шарики для всех групп,равно произведению таких чисел для разных к: | J[f. Перемножая, получим число способов, какими можно выбрать шарики:м!и, 1№)_ м М!м М!м JJJП(н*)!П(*% П<ifc=lJfc=lА:=1Умножая это на число способов, какими можно выбрать лунки, находим число благоприятных случаев:га =N\м!M\мг=0jfc=l№ П(* ! )' 4откуда вероятность событияРмN\M\м м1'м Ц1{\Щк\) >t=0ib=l1.48.
В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит налюбом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А — все пассажиры выйдут на четвертом этаже; В —все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже);С— все пассажиры выйдут на разных этажах.Р е ш е н и е . Задача того же типа, что и задачи о разбрасываниишариков по лункам. Этажи играют роль «лунок» (N= 6), пассажи17ры—«шариков» ( М = 3). Число случаев п = б3 = 216, Р(А) =.216Вероятность события В вшестеро больше вероятности события А(так как этажей, на которых можно выйти, шесть); т = 6 иР(В) == —.Для события С число способов, которыми можно216 36распределить трех пассажиров по шести этажам: га = С\ = 20;205Р(С) == —.
Те же вероятности Р(В) и Р(С) можно найти и пообщей формуле решения задачи 1.47, полагая10 —5;1Х =12 = 0; Z3 = 1 для события В,10 = 3; 1г = 3; 12 —13 = 0 для события С.ГЛАВА 2ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯВЕРОЯТНОСТЕЙСуммой двух событий Аи В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.Произведением двух событий АиВ называется событие С, состоящее всовместном появлении события А и события В.Произведением нескольких событий называется событие, состоящее всовместном появлении всех этих событий.Теорема сложения вероятностейВероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:Р(А + £ ) = Р(А) + Р ( 5 ) .В случае, когда события АиВ совместны, вероятность их суммы выражается формулойР ( Л + В) = Р ( Л ) + Р(В) - Р(АВ),где А В — произведение событий(*)АиВ.Теорема сложения вероятностей для нескольких событийВероятность суммы нескольких несовместных событий равна суммеих вероятностей:(рp£4=£H«)U=li=iВ случае, когда события А{ совместны, вероятность их суммы выражается формулой19\ррЕ^=Е(^)-Е(^^) +U=i*, з\ n - l(-ir-1P(A+ Y:P(AiAjAk)-...+1A2A3...An),i, J, кгде суммы распространяются на все возможные комбинации различныхиндексов г, j , к,..., взятых по одному, по два, по три и т.
д.Если события At, А2,..., Ап несовместны и образуют полную группу, тосумма их вероятностей равна единице:£РИ,) = 1.г=1Событие А называется противоположным событию Л, если оно состоит в непоявлении события А.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:Р(А) + Р(А) = 1.Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события Л, вычисленная при условии, что событие В произошло.Эта вероятность обозначается Р (А \ В).События Л и В называются независимыми, если появление одного изних не меняет вероятности появления другого.
Для независимых событийР(А\В) = Р(А);Р(В\А) = Р(В).Теорема умножения вероятностейВероятность произведения двух событий равна вероятности одного изних, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:Р(АВ) =Р(А)Р(В\А)Р(АВ) =Р(В)Р(А\В).илиДля независимых событий An ВР(АВ) =Р(А)Р(В).Теорема умножения вероятностей для нескольких событийР(А1А2...Ап)=Р(А1)Р(А2\А1)Р(А3\А1А2)...Р(Ап\А1А2...Ап_г).В случае, когда события независимы, т.е.
появление любого числа изних не меняет вероятностей появления остальных,20П^=Пр(^)г=12.1. Может ли сумма двух событий А и В совпадать с их произведением?Р е ш е н и е . Да, может, если события эквивалентны (равнозначны), т.е. если из события А вытекает В и, наоборот, из В вытекаетА. Например, пусть производится один выстрел по мишени.Предположим, что попадание в мишень непременно приводит кее разрушению и никаким другим способом мишень разрушенабыть не может.Тогда два события:А — попадание в мишень,В — разрушение мишени — эквивалентны (А = В) и для нихA + B = A = B; AB = A = B.2.2.
Доказать, что вероятность суммы двух событий не больше,чем сумма вероятностей этих событий:Р(Л + В)<Р(А)+ Р(В).Р е ш е н и е . Это неравенство вытекает из формулы (*), так какР(АВ) > 0.2.3. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваютсяследующие события:А — появление герба на первой монете;В — появление цифры на первой монете;С— появление герба на второй монете;D — появление цифры на второй монете;Е — появление хотя бы одного герба;F— появление хотя бы одной цифры;G — появление одного герба и одной цифры;Н— непоявление ни одного герба;К — появление двух гербов.Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) А + С; 2) АС; 3) EF; 4) G+ Е; 5) GE; 6) BD;7)Е+КО т в е т .
1) А+ С=Е; 2) АС=К; 3) EF= G; 4)G+E=E;5) GE= G; 6) BD= Я; 7) E+ K= E.2.4. По мишени производится три выстрела. Рассматриваютсясобытия А{ — попадание при г-м выстреле (г = 1, 2, 3).21Представить в^иде сумм, произведений или сумм произведений событий А{ и А • следующие события:А — все три попадания;В — все три промаха;С — хотя бы одно попадание;D — хотя бы один промах;Е — не меньше двух попаданий;F — не больше одного попадания;G — попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.О т в е т . 1) А = АХА2А3) 2)В = АгА2А3; 3)С = Аг + А2 + А3 илиС=Аг + АгА2 + А1А2А3 или С=АгА2А3 + АгА2А3 + АгА2А3 ++ АгА2А3 + АгА2А3 +АгА2А3+ АгА2А3; 4) D = AX + А2 +А3;5) Е == АгА2А3 + АгА2А3 +АгА2;6)F = АгА2А3 + АгА2А3 + АгА2;7) G ==АгА2.2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
