Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 2
Текст из файла (страница 2)
a -1 .а + Ь- 11.8. В урне а белых и Ъ черных шаров. Из урны вынули одиншар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взялиеще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, чтопервый шар, отложенный в сторону, — тоже белый.Ответ..а + Ь- 11.9. Из урны, содержащей а белых и Ь черных шаров, вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятностьтого, что последний оставшийся в урне шар будет белым.6Ответ.a+b1.10.
Из урны, в которой а белых шаров и 6 черных, вынимаютподряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, чтовторым по порядку будет вынут белый шар.Ответ..а+Ь1.11. В урне а белых и 6 черных шаров (а > 2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.Р е ш е н и е .
Общее число случаевп = Са2+ь=(а+Ъ)(а + Ъ-1)—.Число благоприятных случаев2а(а - 1)1-2Вероятность события А — два белых шара — равнаа а 1Р(Л) = — = •( ~ )п(а + Ь)(а + Ь - 1 )1.12. В урне а белых и Ъ черных шаров (а > 2, 6 > 3). Из урнывынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два изних будут белыми, а три черными.Решение.П_пЪ_ (а + Ь)(а + Ь - 1)(о + Ъ - 2)(о 4- Ь - 3)(о + 6 - 4 )a+b5" °L2.3.4.5т = Саиь —1-2Vтп1-2-310а(а-1)6(6-1)(6-2)(а + 6)(а + 6 - 1)(а + 6 - 2)(а + 6 - 3)(а + 6 - 4)'1.13. В партии, состоящей из к изделий, имеется I дефектных.Из партии выбирается для контроля г изделий.
Найти вероятность р того, что из них ровно s изделий будут дефектными.О т в е т. р =ctciztо;1.14. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятностьследующих событий: А — появление четного числа очков; В — появление не менее 5 очков; С— появление не более 5 очков.О т в е т . Р(А) = \; Р ( 5 ) = 1; Р ( С ) = Л .1.15.
Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность ртого, что оба раза появится одинаковое число очков.Р е ш е н и е . п = 6 ; m = 6; р = — = - .п6( Д р у г о е р е ш е н и е . Искомая вероятность есть вероятностьтого, что при втором бросании выпадет то же число очков, которое выпало при первом бросании: п = 6, га = 1, р = -.)61.16. Бросаются одновременно две игральные кости.
Найти вероятности следующих событий:А — сумма выпавших очков равна 8;В — произведение выпавших очков равно 8;С— сумма выпавших очков больше, чем их произведение.О т в е т . Р(Л) = —; Р(Я) = — = —; Р(С) = —.3636 18361.17. Бросаются две монеты. Какое из событий является болеевероятным:А — монеты лягут одинаковыми сторонами;В — монеты лягут разными сторонами?О т в е т . Р(Л) = Р ( £ ) .1.18. В урне а белых и b черных шаров (а > 2; b > 2). Из урнывынимают одновременно два шара.
Какое событие более вероятно:А — шары одного цвета;В — шары разных цветов?DWA\°2а+С?а(а-1) + Ъ(Ь-1)Р е ш е н и е . Р ( Л ) = аC2a+b ° — (fl + b)(a + ft-l) ''а+ЪР(В).С\С\Cl+bЪхЬ(а + Ъ)(а + Ь-1)Сравнивая числители этих дробей, находимР(А) < Р(В) при а (а - 1) + 6(6 - 1) < 2аЬ.т.е. (а —б)2 < а + 6;Р(Л) = Р(В) при (а - б)2 = а + 6;Р(А) > Р(5) при (о - б)2 > а + Ь.1.19. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по10 карт и две карты оставлены в прикупе.
Один из игроков видит,что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 — не бубновой. Онсбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найтивероятность того, что он прикупит две бубновые карты.Р е ш е н и е . Из 32 карт игроку известно 10, а остальные 22 —нет. Взять 2 карты из прикупа это все равно, что взять их из 22. Вчисле 22 карт две бубновых. Вероятность события равна1 _ 1С222~23Г1.20. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугадвынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2,..., п.О т в е т . —.п!1.21.
Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шарпосле вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.Ответ..пп1.22. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:А — в каждой из пачек окажется по два туза;В — в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой — всечетыре;С—в одной из пачек будет один туз, а в другой — три.Р е ш е н и е .
Общее число случаев п = СЦ. Число благоприятных событию А случаев т = С\С2^.Р(Л)=° 4 °2648СЬ2Событие В может осуществиться двумя способами: либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй — ни одного, либо наоборот:Р(2?) =2CJC224826С'52Аналогично9Р(С) = 2 S ° 4 ° 4 8 .°52Интересно сравнить эти вероятности:Р(Л) : Р(5) : Р(С) = — ^ — : _ ^ — : — ? _ « 3,5 :1 : 4,5.23-24 25-26 23-251.23. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по9 команд в каждой.
Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий: А —все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; В — двекоманды экстракласса попадут в одну из групп, а три — в другую.О т в е т . Р ( Л ) = ^ ф 1 = —;СЪ34Р(В) =Cl''1817 •1.24. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07(семь), 14 (четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что число будет четным.Р е ш е н и е . Четность числа определяется его последней цифрой, которая должна быть четной (нуль — тоже четное число).
Искомая вероятность есть вероятность того, что на втором местепоявится одно из чисел 0, 2,4, 6, 8, т.е. - .91.25. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две изних, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, чточисло на второй карточке будет больше, чем на первой.Р е ш е н и е . Опыт имеет два возможных исхода: А — второечисло больше первого, В — второе число меньше первого.Так как условия опыта симметричны относительно А и 5, тоР(А) = Р(Я) = ±.1.26. Тот же вопрос, что в задаче 1.25, но первая карточка послевынимания кладется обратно и перемешивается с остальными, астоящее на ней число записывается.Р е ш е н и е .
Возможны три исхода опыта: А — второе числобольше первого; В — второе число меньше первого; С — второечисло равно первому.10Всего возможно 52 = 25 случаев; из них пять:1, 1; 2, 2; 3, 3; 4, 4; 5, 5благоприятны событию С, а остальные 20 случаев поровну делятсяна благоприятные событиям А и В. Следовательно,102255Р(Л) = Р(В) = ^ = ±.1.27. В урне а белых, Ь черных и с красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белыйцвет появится раньше черного.Р е ш е н и е .
Так как в условиях задачи наличие или отсутствиекрасных шаров роли не играет, то искомая вероятность равна вероятности вынуть первым белый шар из урны, в которой имеетсяа белых и Ь черных шаров, т. е. равна.а+Ъ1.28. Имеется две урны: в первой а белых и Ь черных шаров; вовторой с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару.Найти вероятность того, что оба шара будут бедыми.Р е ш е н и е . Каждый шар из первой урны может комбинироваться с каждым шаром из второй; число случаев п = (а + b) xх(с + d). Число благоприятных случаев га = ас; вероятность собыастия.(a + b)(c + d)1.29. В условиях задачи 1.28 найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов.~ad + ЪсОтвет..(a + b)(c + d)1.30. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложеныпатроны, а два оставлены пустыми.
Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок;если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы обараза не выстрелим.Р е ш е н и е .
Так как любое гнездо при первом выстреле можетсочетаться с любым при втором, число случаев п — 7 • 7 = 49. Число благоприятных случаев равно числу комбинаций пустых гнезд:т = 2 . 2 = 4 ; р = — = —.п491.31. В тех же условиях найти вероятность того, что оба разавыстрел произойдет.ИР е ш е н и е . По-прежнему п = 49. Число благоприятных случаев т = 5 • 4 = 20, так как при первом выстреле гнездо с патрономможно выбрать пятью способами, а при втором выстреле — чет20тырьмя; р = — = — .п491.32. В урне имеется А; шаров, помеченных номерами 1, 2, ..., кИз урны I раз вынимается по одному шару (I <к), номер шара записывается и шар кладется обратно в урну.
Найти вероятность ртого, что все записанные номера будут различны.Р е ш е н и е . Число случаев п = к1. Число благоприятных случаев равно числу размещений из к элементов по I, т.е. т == к(к — !)...(& — I + 1). Вероятность событиятпк(к-1)...(к-1к1+ 1)к\1к {к-1)\1.33. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга».Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал впроизвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него сноваполучилось слово «книга».Ответ.р = 1/5!=1/120.1.34. Тот же вопрос, если было составлено слово «ананас».Р е ш е н и е . Число случаев п = 6!; число благоприятных случаев уже не один, как в задаче 1.33, а т = 3!2!, так как повторяющиеся буквы «а» и «н» можно произвольным образом перестав.
„3!2!1лять между собой; р == —.J6!601.35. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимаетсясразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобыс вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?Р е ш е н и е . Обозначим Ак наличие среди к вынутых карт неменее двух одной масти.При к = 2: п = С522; т = С* • 4; Р(Л 2 ) = — < 0,50.51При * = 3 : n = C j 2 ; m = C j 3 • 4 + С^ С^ -4; Р(Л 3 ) = 0,602 > 0,50.Итак, нужно вынуть к > 3 карт.1.36. N человек случайным образом рассаживаются за круглымстолом (N > 2). Найти вероятность р того, что два фиксированныхлица А и В окажутся рядом.Р е ш е н и е . Общее число случаев п= N\; подсчитываем числоблагоприятных случаев т. Двух лиц А и В можно посадить рядом12двумя способами; остальных (N — 2)! способами; т = 2N(N — 2)!;p = 2N(N — 2)!/ N\ = 2 / (N — 1).
Эту же задачу можно решитьпроще: пусть лицо А садится куда угодно, тогда для В остаетсяN— 1 место, из них 2 благоприятных; р = 2 / (N — 1).1.37. Та же задача, но стол прямоугольный, и N человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон.Р е ш е н и е . n=N\; благоприятные случаи делятся на двегруппы: 1) А сидит с краю, 2) А сидит не с краю. Число первыхml = 2(N - 2)!,число вторыхm 2 = 2{N - 2){N - 2)!;р = (тг + m 2 ) / п = 2(N - 1)(N - 2)\/ N\ = 2 / N.1.38. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих Nбочонков случайно выбираются два.
Найти вероятности следующих событий:А — на обоих бочонках написаны числа, меньшие чем к(2<k<N)В — на одном из бочонков написано число, большее чем к, а надругом — меньшее чем к.Р е ш е н и е . Число случаев п = С^ .Для события А получим:"-1V'С$N(N-1)Имея в виду, что к — 1 бочонков имеют номера меньше чем к,N— к бочонков — номера больше чем к и один бочонок — номер к,получим для события В:k l~N kK JN(N-l)1.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
