Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ведущий самолет, сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятностью Рг х. Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект свероятностью Рг 0 . Если ведущий самолет сбит, то каждый из ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью Р0 г.Найти полную вероятность поражения объекта с учетом противодействия.Р е ш е н и е . Формулируем гипотезы:Нг — к объекту вышли все три самолета;Н2 — к объекту вышел ведущий с одним ведомым;50#3 — к объекту вышел один ведущий;# 4 — к объекту вышли два ведомых (без ведущего);# 5 — к объекту вышел один ведомый.Вероятности этих гипотез: Р ( # х ) = (1 — р) 3 ;Р ( Я 2 ) = 2 р ( 1 - р ) 2 ; Р(Я 3 ) = р 2 ( 1 - р ) ;Р(Я4) = р ( 1 - р ) 2 ; Р(Я5) = 2 р 2 ( 1 - р ) .Обозначим А — поражение объекта.Р(Л|Я Х ) = Р112; Р(Л|Я 2 ) = Р 1Д ; Р(Л|Я 3 ) = P l i 0 ;Р(Л|Я 4 ) = 1 - ( 1 - Р 0 1 ) 2 ; Р(Л|Я 5 ) = Р 0 Д .Р(Л) = (1 - р) 3 Р 1 2 + 2р(1 - р) 2 Р 1Д + р 2 (1 - р)Р1>0 ++р(1 - р)2[1 - (1 - Р0>1 ) 2 ] + 2р 2 (1 - р)Р0Л.3.4.
Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом,который может применять или не применять помехи. Если объектне применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью р0; если применяет — с вероятностью рх < р0.Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи,равна р и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за п циклов обзора.Р е ш е н и е . Полная вероятность обнаружения за один цикл(1 - р)р0 + ррх; вероятность хотя бы одного обнаружения за пциклов равна! — [1 — (1 — р)р0 — рр^4.3.5.
Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе работают три контролера; изделиеосматривается только одним контролером, с одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим. Вероятность обнаружениядефекта (если он имеется) для г-го контролера равна р - (г = 1, 2, 3).Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадет в ОТКзавода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0.Определить вероятности следующих событий:А — изделие будет забраковано;В — изделие будет забраковано в цехе;С— изделие будет забраковано в ОТК завода.Р е ш е н и е .
Так как события В и С несовместны и А = В + С,тоР(А) = Р(£) + Р(С).Находим Р(5). Для того чтобы изделие было забраковано в цехе, нужно, чтобы оно, во-первых, имело дефект, и, во-вторых, этотдефект был обнаружен. Вероятность обнаружения имеющегося51дефекта по формуле полной вероятности равна -(рг + р2 + pz);оотсюда Р(В) =pPl±ll±lL.АналогичноРг + Р2 + Рз )Ро-Р(С) = Р 13.6. Группа, состоящая из трех самолетов-разведчиков, высылается в район противника с целью уточнить координаты объекта,который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для поражения объекта выделено п ракет.
При уточненных координатахобъекта вероятность его поражения одной ракетой равна рь принеуточненных — р2. Каждый разведчик перед выходом в районобъекта может быть сбит противовоздушными средствами противника; вероятность этого р3. Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио. Радиоаппаратура разведчикаимеет надежность р4. Для уточнения координат достаточно приема сообщения от одного разведчика. Найти вероятность поражения объекта с учетом деятельности разведки.Р е ш е н и е . Гипотезы:Нх — координаты объекта уточнены;Я2 — координаты не уточнены.Р(н1) = 1 - [1 - (1 - Р з Ы 3 ; Р ( я 2 ) = [1 - (1 -РМ3;Р(Л|Я 1 ) = 1 - ( 1 - р 1 ) » ; Р(Л|Я 2 ) = 1 - ( 1 - р 2 ) " .Полная вероятность события А — поражение объекта:Р(А) = {1 - [1 - (1 - рз)Р 4 Г }[1 - (1 - Рг)" ] ++ [1-(1-р3Ы3[1-(1-Р2П3.7.
Имеются две урны: в первой а белых шаров и Ь черных; вовторой с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут одиншар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.Р е ш е н и е . Событие А — появление белого шара; гипотезы:Нх — переложен белый шар;Я2 — переложен черный шар.Р(Я1) = -4 Т ;Р(Я 2 ) =а+ЬР(А|Я1)=52С+1c+d+lа+Ь;Р(Л|Я2) = .сc+d+lc+ 1Р(Л) = - 5+ -Ja+bc+d+l?.а+Ъс+d+l3.8. В условиях предыдущей задачи из первой урны во вторуюперекладывают не один, а три шара (предполагается, что а > 3;6 > 3).
Найти вероятность того, что из второй урны появится белый шар.Р е ш е н и е . Можно было бы выдвинуть четыре гипотезы:Н{ — переложены 3 белых шара;# 2 — переложены 2 белых шара и 1 черный;# 3 — переложены 1 белый шар и 2 черных;# 4 — переложены 3 черных шара,но проще решить задачу, имея всего две гипотезы:Нх — вынутый из 2-й урны шар принадлежит 1-й урне;# 2 — вынутый из 2-й урны шар принадлежит 2-й урне. Так какво второй урне три шара принадлежат первой урне, а с + d — второй, тос+а+3с+а+3Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первойурны или после перекладывания во вторую:Р(Л|Я 1 ) = - ^ - ; Р(Л|Я 2 ) = - ^ - ,а+ос+аоткудаР(Л) =а— + ^±А?с + d + 3а + Ь£_.с -{- d + 3 с + d3.9. Имеется п урн, в каждой из которых а белых шаров и Ъ черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затемиз второй в третью один шар и т.д.
Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.Р е ш е н и е . Вероятность события А2 — извлечения белого шара из второй урны после перекладывания — найдем так же, как взадаче 3.7 (при с = a, d = b):Р(Л2) = ^Т^ ± 1ЛТ +а+6а+Ь+1"а+ba+b+lа+ЪТаким образом, вероятность извлечения белого шара из второйурны после перекладывания будет такой же, как и до переклады53вания. Следовательно, такой же будет и вероятность вынуть белый шар из третьей, четвертой и т.д., п-й урны:Р(Ап)=а+Ь3.10. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающихна производство; второй 1/3 . Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна рх\второго — р2.
Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.О т в е т . р = -рг + - р 2 оо3.11. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей, площади которых равны Sv S2, S3(5j + S2 + Ss — S). Для попавшего в цель снаряда вероятностьпопасть в ту или другую часть пропорциональна площади части.При попадании в первую часть цель поражается с вероятностьюрх; во вторую часть — с вероятностью р2; в третью — р3. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал одинснаряд.О т в е т . р = —±-р н Lp+-±рS гS 2S 33.12. Имеется две партии однородных изделий; первая партиясостоит из N изделий, среди которых п дефектных; вторая партиясостоит из М изделий, среди которых т дефектных.
Из первойпартии берется случайным образом # изделий, а из второй L изделий (К < N] L < М); эти К + L изделий смешиваются и образуетсяновая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одноизделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.Р е ш е н и е . Событие А — изделие будет дефектным. Гипотезы:Н{ — изделие принадлежит первой партии;# 2 — изделие принадлежит второй партии.р ( Я 1 ) = _ £ _ ; Р ( # 2 ) = — Ь _ ; Р(А) = - ^ - ^ + — L — HL.V lJK 2)K +LK + L' V } K + LNK + LM3.13. В условиях предыдущей задачи из новой, смешанной,партии берется не одно изделие, а три. Найти вероятность того,что хотя бы одно изделие из трех окажется дефектным.Р е ш е н и е . Гипотезы:Я0 — все три изделия принадлежат первой партии;Нх — два изделия принадлежат первой партии, а одно — второй;Н2 — одно изделие принадлежит первой партии, а два — второй;# 3 — все три изделия принадлежат второй партии.54р(я„)=т-ш-2){К + L){K + L -1){К + L -2)P(#i) =ЗК(К -1)L{К + L){K + L -1){К + L - 2 ) 'Р(Я2) =ЗАХ(£ - 1)( t f + L)(tf + L - l ) ( t f + L - 2 ) 'Р(Я 3 ) =L(£-!)(£-2)(# + £ ) ( # + I - l ) ( t f + L - 2 ) 'Р(Л|Я 0 ) = 1 -p(j4|g,) =v' w(ЛГ-п)(АГ-п-1)(АГ-п-2)N(N -1)(N-2)i-( №"") ( W-"-1)(N(N-1)MA f""";МРИ1 Я2-^М-"-^;2) = 1 - ^ - ^vNM(M-l)P(A\H ) = 1- iM ~ m)(M ~ m ~l)(M~mKз ;'М(М-1)(М-2)~2).Р(А) = Р ( Я 0 ) Р ( Л | Я 0 ) + Р(Я 1 )Р(Л|Я 1 ) ++ Р ( Я 2 ) Р ( Л | Я 2 ) + Р(Яз)Р(Л|Я 3 ).3.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
