Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.Р е ш е н и е . Р(Я 1 ) = р 1 ; Р ( Я 2 ) = р 2 ; Р ( Я 3 ) = 11зP(^|J5T1) = 1 - P 1 ; Р ( Л | # 2 ) = 1 - Р 2 ; Р(Л|Я 3 ) = 1 - Р 3 .Р(Нг\А)=Pl(i-Рг) + р2{1-Р2) +Рг(1-Ps)'673.39. Производится один выстрел по плоскости, на которойрасположены две цели: I и II (рис. 3.39). Вероятность попадания вцель I равна pv в цель II — р2. После выстрела получено известие,что попадания в цель I не произошло.
Каковатеперь вероятность того, что произошло попадание в цель II?Р е ш е н и е . Гипотезы:тщ#! — попадание в цель I;# 2 — попадание в цель II;# 3 — непопадание ни в одну из целей.Рис. 3.39Событие А — непопадание в цель I.Р(Н1) = Pl;P(H2)= p2;P(H3)= l - (Pl + р2).Р(А\Н1) = 0;Р(А\Н2) = 1;Р(А\Н3) = 1.ViV2Р(Н2\А):Р 2 + 1 - ( р г + Р2)l~PiЭту задачу можно решить и без формулы Бейеса:Р{Н2\А).Р(Н2А) _^Р(Н2) _ р2Р(А)Р(А)1 - Pl '3.40. Имеются две урны: в первой а белых шаров и Ь черных, вовторой — с белых и d черных.
Выбирается наугад одна из урн и изнее вынимается один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который вынут из той же урны,будет тоже белым.Р е ш е н и е . Нх — выбрана первая урна;# 2 — выбрана вторая урна.А — появление белого шара при первом вынимании.Р(Я 1 ) = Р ( Я 2 ) = ±;а+ЬР(Щ\А)+ •c+dc+dР(#2|Л) = а+Ь• + •c+dВ — появление второго белого шара.Р (В\А) = Р (Я, |А) Р {В\НХА) + Р (Я21А) Р (В\Н2А).68Условная вероятность появления второго белого шара приусловии, что была выбрана первая урна и из нее вынут белыйшар:Р{В\НгА) = -а 1~+ 6-1'Р(В\Н2А):Саналогично+ •c+d- 1а (а — 1)(а + Ъ)(а + Ь-1)Р(В\А) = а+ ЬХс (с — 1)(с + d)(c + d - 1)c+d3.41. Имеется группа в составе N стрелков. При одном выстреле в мишень г-й стрелок попадает в нее с вероятностью р{(» = 1, 2, ..., N).
Вызывается наугад один из стрелков. Произведяодин выстрел по мишени, он попал в нее. Найти вероятностьтого, что при следующих двух выстрелах того же самого стрелкабудет одно попадание и один промах.Р е ш е н и е . Л — попадание при первом выстреле;В — одно попадание и один промах при двух последующих выстрелах.Гипотезы Н{ — вызван г-й стрелок (г = 1, 2, ..., N).Р(Я,.|Л) = ^ - > Г д е р = ^ ; р , . ;РY>{B\HiA) =U.2pi{l-pi);P(B\A) = f2P(Hi\A)P(B\HiA) = ^J2Pi(1-Pi)t=lP 1=1ГЛАВА 4ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВОпыты называются независимыми, если вероятность того или иногоисхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другиеопыты.Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных.
В первом случае вероятность появления какого-тособытия А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется отопыта к опыту.Частная теорема о повторении опытовЕсли производится п независимых опытов в одинаковых условиях,причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие А, то вероятность Рт п того, что событие А произойдет в этих п опытах ровно га раз,выражается формулойРт,п =C:Pmqn-m(т=0,1,...,п),(4.0.1)где q = 1 - р.Формула (4.0.1) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей.Вероятность хотя бы одного появления события А при п независимыхопытах в одинаковых условиях равнаОбщая теорема о повторении опытовЕсли производится п независимых опытов в различных условиях,причем вероятность события А в г-м опыте равна р{(г = 1, 2,..., п), то вероятность Рт п того, что событие А появится в этих опытах ровно га раз,равна коэффициенту при zm в разложении по степеням z производящейфункции:пВероятность хотя бы одного появления события А при п независимыхопытах в различных условиях равна70г=1Для любых условий (как одинаковых, так и различных)п=1."рРш=0Вероятность Rk n того, что при п опытах событие А появится не менее&раз, выражается формулойm=0т=кТеоремы о повторении опытов, как частная, так и общая, допускаютобобщение на тот_ случай, когда в результате каждого опыта возможны недва исхода (А и А), а несколько исходов.Если производится п независимых опытов в одинаковых условиях,причем каждый опыт может иметь А; исключающих друг друга исходов Av{к)А2,.-, А к с вероятностями pv р2,..., рк J ^ Pj = 1 , то вероятность того, что вb=1Jтх опытах появится( к событие Av в щ опытах — событие А2 и т.д., в ткопытах — событие Ак Yjmi=n выражается формулойк»=1Pmi,m2^mk;n1=2, "/J Р?1 Р?* " • Р?" С4'0'2)тг \т2 \...тк !или,га.-_*_ р .Р3=n\TlLl—3=13Если условия опытов различны, т.е.
в г-м опыте событие Aj имеет вероятность^(г = 1 , 2 , ..., n;j = 1, 2, ..., к), то вероятность PTOlim2f...tmjk.n вычисляется как коэффициент при члене, содержащем z^lz™2...z™* в разложении по степеням z1, z 2 ,..., zk производящей функции:п4>n(Zl,Z2>'->Zk)= Yl(PliZl+P2iZ2+--+PkiZk)'i=l4.1. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна р.Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t а) откажет хотя бы один узел; б) отка71жет ровно один узел; в) откажут ровно два узла; г) откажет не менее двух узлов.Ответ, а) Rll0=l-q10,где q = 1 - р; б) Р 110 = Cl0pq9 == 10pqg; в) Р 2Д0 = С 2 0 р 2 д 8 = 4 5 р У ; г) R210 = 1-q10- 10pq9 == l_g9(g-10p).4.2.
Производится четыре независимых выстрела по некоторойцели. Вероятности попадания при разных выстрелах различны иравны: рх = 0,1; р2 = 0,2; р3 = 0,3; р4 = 0,4. Найти вероятности Р 0 4 ;Л 4» -^2 4» ^з,4» ^4,4 н и одного, одного, двух, трех, четырех попаданий; вероятность Rx 4 хотя бы одного попадания; вероятность R2 4не менее двух попаданий.Р е ш е н и е . Производящая функцияtp4(z) = (0,9 + 0,1*)(0,8 + 0,2*) (0,7 + 0,3*)(0,6 + 0,4*).Раскрывая скобки и приводя подобные члены, имеем4>4(z) « 0,302 + 0,460* + 0,205*2 + 0,031*3 + 0,002*4;откудаP 0j4 - 0,302; Р14 = 0,460; Р2 4 = 0,205;Р 3|4 =0,031; Р4?4 =0,002.R14 - 1 - Р м = 0,698; Д2?4 = 1 - Р0?4 - Р м = 0,238.4.3.
Производится четыре независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания при одном выстрелер есть средняя из четырех вероятностей предыдущей задачи:4Найти вероятности"•2,4' -^3,4' -^4,4) " 1 , 4 > " 2 , 4 -•* 0,4) *;1,4'4О т в е т. Р. ?4 = С' р* q "'; Р 0 , 4 = 0,314; Рх 4 = 0,422; Р 2 4 = 0,212;Р3?4 = 0,048; Р4>4 = 0,004; Д 1 4 = 0,686; R24 =0,264.' 4.4*. По некоторой цели производится п независимых выстрелов. Вероятность попадания при г-м выстреле равна р{(г = 1, 2,..., п). При вычислении вероятности хотя бы одного попадания различные вероятности р{ заменяют их средней арифметической:Е*p* = i=L72Увеличится или уменьшится от такого осреднения вероятность хотя бы одного попадания?Р е ш е н и е .
Точное значение R, „ :пПриближенное (по осредненной вероятности):<„=1-<1-р*)"=1-»-Х><i=lГ я= 1 -1*=1ИТребуется сравнить величины£*г=1Пг=1Известно, что среднее геометрическое не равных между собойположительных величин меньше, чем их среднее арифметическое, следовательно,п,—fi=lЕ«< »г=1Пзначит, R1 4 > R* n ; от примененного осреднения вероятность хотябы одного попадания уменьшится.4.5.
Завод изготовляет изделия, каждое из которых должноподвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе — с вероятностью 0,95; третье — с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно:А — все четыре испытания;В — ровно два испытания (из четырех);С— не менее двух испытаний (из четырех).Решение.Ф4(2?) = 0,00015 + 0,00565* + 0,06965*2 ++ 0,34315*3 + 0,58140* 4 ;73Р(А) = Р 44= 0,58140; Р(5) = Р 2Р(С) = Л244= 0,06965;= 1 - Р 0 ? 4 - Р 1 ? 4 = 0,99420.4.6.
Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью г (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р. Дляконтроля из продукции завода выбирается п изделий. Найти вероятность следующих событий:А — ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта;В — среди п изделий ровно в двух будет обнаружен дефект;С — среди п изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.Р е ш е н и е . Вероятность того, что в одном наугад взятом изделии будет обнаружен дефект, равна рг.Р(А) = Р 0 , п = ( 1 - р г Г ;P2,n=Cl(pr)\l-pry-2;P(B) =Р(С) = 1 - Р0, „ " Pi, п = 1 - (1 - РгГ'1 [(1 - рг) + прг].4.7. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть быловключено 2к новых электролампочек.
Каждая электролампочка втечение года перегорает с вероятностью г. Найти вероятностьтого, что в течение года не менее половины первоначально включенных лампочек придется заменить новыми.Ответ.Р(Л) = 1 - ] Г Р т 1 2 , = 1 - £ С £ г " * ( 1 - г ) * - \т=0т=04.8. Система противовоздушной обороны охраняет территорию от воздушного налета, в котором принимает участие N самолетов. Для поражения каждого из самолетов выделяется два истребителя-перехватчика; каждый истребитель поражает цель независимо от другого с вероятностью р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
