Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 14
Текст из файла (страница 14)
А~ все неисправности локализованы. Противоположное событие А означает, что при п опытах (тестах) событие,состоящее в том, что неисправность локализована, появилось менее УУраз.N-1Р(А)Рт(1-РГт=0ИЛИp(A)=j2c:pm(i-pym=N4.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,что в результате п тестов среди N неисправных приборов останется не менее к приборов с нелокализованными неисправностями(А; < N).80Р е ш е н и е . Задача равносильна следующей: найти вероятность того, что при п тестах будут локализованы неисправностине больше чем в N— к приборах.р(А)=^с:Рт(1-р)п-т.4.24*. Происходит соревнование между к стрелками; каждыйиз них делает п выстрелов по своей мишени.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для г-го стрелка равнар{ (г = 1, ..., п). Выигрывает соревнование тот из стрелков, который будет иметь больше попаданий, чем остальные. Найти вероятность того, что среди соревнующихся стрелков будет один(только один), выигравший соревнование.Р е ш е н и е . Таким одним может быть любой из к стрелков.Найдем вероятность того, что г-й стрелок выиграет соревнование(событие Л-). Это событие может произойти следующими способами:д(™) _ 2-й стрелок получил ровно га попаданий, а каждый изостальных — не более чем йот — 1 (га = 1,..., п).Вероятность того, что г-й стрелок получил га попаданий, равнаРт,п (0 — љЙц"~т > ГДе Qi =1 — Pi- Обозначим вероятностьтого, что j-й стрелок получил не более га — 1 попаданий, черезТЯ(3):5=0Тогда вероятность того, что все остальные стрелки, кроме г-го,получили не более га — 1 попаданий, равнаТт (1)Г т (2)...
Тт (i - 1)Г т (г + 1)... Тт (к) =ЦТт(j).Суммируя полученные вероятности для всех Значений га, получим вероятность того, что г-й стрелок в единственном числе выигрывает соревнование:P(^)=E^, n (0ll r ».(j)(»=1.2, -..A).Суммируя эти вероятности для всех стрелков, получимР(А) = ^г=1)= ^?И 1 Пг=1 m = l(;)ПГИ(Л.pti4.25. В урне имеется к шаров; каждый из них с вероятностью1/2 (независимо от других) может оказаться белым или черным.Из урны вынимается п раз по одному шару, причем вынутый шар81каждый раз возвращается обратно, и шары перемешиваются. Среди вынутых п шаров т оказались белыми (0 < т < п).
Определитьвероятность того, что среди к шаров урны ровно I белых.Р е ш е н и е . Решаем задачу по формуле Бейеса. Гипотезы: Н1 —в урне / белых шаров и к - I черных (1 = 1, ..., к - 1). До опытаР(Я,) = С < | \Событие А — среди п вынутых шаров оказалось ровно т белых.p(A\Ht)=c:кПосле опыта вероятность гипотезы Н{.С,i[l1-С1кГ {к -Р(Я,|Л) =1-ик1)п~тY^c£im(k-iri=l4.26. Производится стрельба пятью снарядами по группе, состоящей из трех целей.
Обстрел ведется в следующем порядке:сначала обстреливается первая цель и огонь по ней ведется до техпор, пока она не будет поражена или не кончатся все пять снарядов. Если первая цель поражена, огонь переносится на вторую, ит.д. Вероятность поражения цели после одного выстрела равна р.Найти вероятности: Р 0 , Рх, Р2, Р3 того, что будет поражено 0 целей, 1 цель, 2 цели, 3 цели в составе группы.Р е ш е н и е . Для того чтобы не было поражено ни одной цели,нужно, чтобы ни один снаряд не поразил цели, по которой он направлен: Р0 = (1 - р) 5 .Чтобы была поражена ровно одна цель, нужно, чтобы из пятивыстрелов только один поразил цель, по которой он направлен, аостальные — не поразили: Рг = С\р1 (1 - р)4 = Ър (1 - р)4.АналогичноР2 = С2ър2{1 - pf = 10р2(1 - pf.Так как события, вероятности которых обозначены Р0, Рх, Р 2 ,Р3> несовместны и образуют полную группу, тоР3 = 1-(Р0+Р1+Р2)=1-(1pf(l+ 3p + 6p2).4.27.
Та же задача, но число целей N, число выстрелов;п (п > N)найти вероятностиР 0 ,Р г ,... ,PN того, что будут поражены 0 целей, 1 цель, ..., N целей.82Ответ.Р 0 = ( 1 - р)п;Рг = пр(1 - р) п - 1 .Рк=Скпрк(1-р)п-кN-1PN=l-YCknPk{l-Py-kк=0(k<N);4.28. В условиях предыдущей задачи обстрел целей ведется нев порядке номеров, а в случайном порядке, причем каждый выстрел случайным образом направляется на любую до сих пор непораженную цель. Найти Р 0 , Р1,..., PN.О т в е т . Тот же, что и в задаче 4.27.4.29*. Производится стрельба п снарядами по группе из N целей (N < п).
Каждый выстрел с одинаковой вероятностью направляется на любую из N целей (безотносительно к тому, пораженаона предыдущими выстрелами или нет). Каждый выстрел сражаетнепораженную цель, по которой он направлен, с вероятностью р.Снаряд, выпущенный по уже пораженной цели, не меняет ее состояния. Найти вероятность того, что в составе группы будет поражено к целей (к = 0,1,..., N).Р е ш е н и е . Вероятность Рк поражения к целей из N найдем поформуле полной вероятности. Введем гипотезу (п1,п2, . . .
, п # ) :по первой цели пришлось щ выстрелов, по второй п2, ..., по JV-й —N%,причем У2'п>1 —п.ихПри этой гипотезе условная вероятность Р^п п f... п поражения Уцелей из N равна коэффициенту при z в разложении по степеням z производящей функцииNФ# (*; п15 п 2 , . . . ,nN) = Y[(qi + Pi*),/=iгде pj = 1 - (1 - p)ni есть вероятность поражения 1-й цели за щ выстрелов, qt = 1 - рх = (1 - p)ni.Вероятность гипотезы (тг15 п 2 , ..., nN) находим тем же способом, каким находили вероятность того, что п шариков распределяется определенным образом по N лункам (см. задачу 1.45):D/\ft!1nnl\n2\...nN\NВероятность Рк по формуле полной вероятности равна=*п!^nl\n2L.nN\Nn21 р*1»ь я 2.-^'где сумма распространяется на все возможные способы разбиениячисла пна 7Vслагаемых: ft1? ft2, • ••, nN (0 < nl < п; I = 1, ..., N).83n4.30.
В условиях задачи 4.29 написать формулы для Рк при= 5,iV = 2.О т в е т . P0=qb;P1=^-[(l-q)5+5q(l-2q4+qs)++10g2(l-2g3+g)] = l [ ( l + g)5-32g5];16Р 2 = ^ [ 5 ( 1 - 9 ) ( 1 - ? 4 ) + 10(1-92)(1-93)];? = 1-р.4.31. Имеется TV лунок, по которым случайным образом разбрасываются М шариков. Найти вероятность р того, что в данную(вполне определенную, например, первую) лунку попадет ровно кшариков.Р е ш е н и е . Рассмотрим М бросаний шариков как М независимых опытов, каждый из которых с вероятностью 1/N заканчивается попаданием в данную лунку; тогдаN) { NГЛАВА 5СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНСлучайной величиной называется величина, которая в результатеопыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какоеименно.Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайнаявеличина, принимающая отделенные друг от друга значения, которыеможно перенумеровать.Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения может иметь разные формы.Ряд распределенияРядом распределения дискретной случайной величины X называетсятаблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины хг, х2,..., хп с соответствующими им вероятностямиХ{Х\Х2ХпPiPiР2Рпп, где Pi = Р(Х = х{);] Г р{ = 1.г =1Графическое изображение ряда распределения (рис. 5.0.1) называетсямногоугольником распределения.Функция распределенияФункцией распределения случайной величины X называется функцияF (х), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшеечем х:F(x) = P(X<х).85Функция F (х) есть неубывающаяфункция; F(-oo) = 0,F(+oo) = 1.Для дискретных случайных величинфункция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывнаяслева.Если функция распределения F (х)везде непрерывна и имеет производную,Рис.
5.0.1случайная величина называется непрерывной в узком смысле слова или простонепрерывной.Если функция распределения F (х) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, случайная величина называетсясмешанной.Плотность распределенияПлотностью распределения непрерывной (в узком смысле слова) случайной величины называется функция f(x) = F'(x).Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, f(x) > 0, и обладает свойствомJ f(x) dx = l.График плотности f(x) называется кривой распределения.Элементом вероятности для случайной величины X называется величина f(x) dx, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки X в элементарный отрезок dx} примыкающий к точке х.Функция распределения F (х) выражается через плотность распределения формулойXF(x) =-ff{x)dx.Вероятность попадания случайной величины X на участок от а до (3(включая а ) выражается формулойР ( а <X<&)=F(ff)-F(a).Если случайная величина хнепрерывна, т о Р ( Х = а ) = 0иР(а < * < P ) = F ( P ) - F ( a ) .Вероятность попадания на участок от а до (3 для непрерывной случайной величины выражается формулойР ( а < Х < ( 3 ) = / / ( * ) dx.86Математическим ожиданием случайной величины X называется еесреднее значение, вычисляемое по формулам:пМ [X] = ^2 xi Pi ~~для дискретной случайной величины;г =100М [X] = J xf(x) dx — для непрерывной случайной величины.-00Для смешанной случайной величины математическое ожидание выражается суммой двух слагаемых:M[X] = J2xiPi + JxF'{x)dx,(н)где сумма распространяется на все точки разрыва функции распределения, а интеграл — на все участки ее непрерывности.В некоторых случаях М[Х] будем обозначать строчной буквой с индексомМ[Х] = тх.- Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной Хи ее математическим ожиданием:X = X — тх.Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:В[Х] = М[Х2).Дисперсия вычисляется по формулам:пD [X] = ^2 (xi ~ mx)2Pi ~~ Д л я дискретной случайной величины;00D[X] = I (х — rnx)2f(x) dx — для непрерывной случайной величины;—оо®[Х] = Y2 (хг ~ mx)2Pi + / (х ~~ mx)2F'{x)dx — для смешанной(н)случайной величины.Дисперсия D [X] кратко обозначается Dx.Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется корень квадратный из дисперсииНачальным моментом k-то порядка случайной величины X называетсяматематическое ожидание к-й степени этой случайной величины:ак[Х}=М[Хк}.87Для дискретной, непрерывной и смешанной случайной величиныа к[Х] вычисляется соответственно по формулам°°пOLk[X]=fzkf(z)dx,«Л*] = £ Х л ,1 =1-00CLk[X] = J2x?Pi+f^'Wdx.(н)Центральным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени центрированной случайнойвеличины X:»к[Х] = М[Хк}.Вычислительные формулы дляр,Л[Х]:п1=1ооPk[X]=f(x-m,)kf{x)dx,—оорк[Х] = £ (х{ - mx)kPi+ f (x - mx)kF\x)dx.(н)Математическое ожидание случайной величины X есть ее первый начальный момент, а дисперсия — второй центральный:М[Х] = а,[Х};D[X] = v2[X].Второй и третий центральные моменты выражаются через начальныеформуламиM^n = a 2 [ ^ ] - m * 2 ;\х3 [X] = а 3 [X] - Зтх*2[X] + 2ml.Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному законуу если ее возможные значения 0,1,...,га,а вероятностьтого, что X = га, выражается формулойp(X= m) =Pntn=CZpnqn-m,гдеО < р < 1; q = 1-р.Математическое ожидание случайной величины X, распределеннойпо биномиальному закону, равно тх = пр, а дисперсия Dx — npq.88Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,..., т,..., а вероятностьтого, что X = т, выражается формулойгага !где а > О — параметр закона Пуассона.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона а: тх — а;Dx = a.Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число событий в единицу времени.Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность появления на любом участке времени того или иного числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным участки.Поток событий называется ординарным, если вероятность появленияна элементарном участке At двух или более событий пренебрежимо малапо сравнению с вероятностью появления одного события.Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским.Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок времени (^, ^ + т), распределено по закону Пуассона:Р=—ега !где а — математическое ожидание числа точек, попадающих на участок:t0+ra—f\(t)dt, \{t) — плотность потока.Если \(t) = const, пуассоновский поток называется «стационарнымпуассоновским» или простейшим потоком.Для простейшего потока число событий, попадающих на любой участок длины т, распределено по закону Пуассона с параметром а — \ т .Расстояние Тмежду двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону, с плотностьюОприЛ0 = Хе"х' приt < О,t > 0.89Для случайной величины Г, распределенной по показательному зако11пСлучайным полем точек называется совокупность точек, случайнымобразом распределенных на плоскости (в пространстве).Плотностью поля называется среднее число точек, попадающих наединицу площади (объема).Если плотность поля постоянна, оно называется равномерным.Поле точек называется пуассоновским, если оно обладает свойствами:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
