Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Каждый охотник, если ему придетсястрелять по волку, с вероятностью р оказывается «удачливым», т.е.убивает волка. Перейдем от «цепочки охотников» на оси Ох к «цепочке удачливых охотников», имеющей плотность X* = \р.Рис. 5.30Волк будет убит в случае, если в отрезок длиной 2i?0, случайноброшенный на ось абсцисс, попадет хотя бы один «удачливый»охотник; вероятность этого:Р(А) = 1 - e"2i*°x* = 1 --2R0\p5.31. Рассматривается равномерное пуассоновское поле точекна плоскости с плотностью X.
Найти закон распределения и числовые характеристики гаг, Д. расстояния R от любой точки полядо ближайшей к ней соседней точки.Р е ш е н и е . Найдем функцию распределения F(r) величиныR. Для этого проведем вокруг точки поля ок## #ружность радиуса г (рис. 5.31). Для того чтобы•• #расстояние R от этой точки до ближайшей кней соседней было меньше г, надо, чтобы в кругпопала хотя бы одна точка (кроме данной). Посвойствам пуассоновского поля вероятностьэтого события не зависит от того, есть ли уже вцентре круга точка или ее нет.
ПоэтомуРис. 5.31103F(r) = 1 - е -1ТГхпри r > 0 ,откудаf(r\=Ыхге"^2[Оприприг > О,г < 0.Такой закон распределения называется законом Рэлея.00а 2 [Д] = JV 2 2irXr e ^ ' d r = — ;оПГ012114 — ТТ1хХ4Х4ITX5.32. Деревья в лесу растут в случайных точках, которые образуют пуассоновское поле с плотностью X (среднее число деревьевна единицу площади). Выбирается произвольная точка О в этомлесу. Рассматриваются случайные величины:Rx — расстояние от точки О до ближайшего к ней дерева;R2 — расстояние от точки О до следующего по порядку (второго по удаленности) дерева;i?n— расстояние от точки О до n-го по удаленности дерева.Найти закон распределения каждой из этих случайных величин.Р е ш е н и е . Функция распределения случайной величины Rxнайдена в предыдущей задаче:JP1(r) = l - e - l t r 2 x(r>0).Функция распределения F 2 (r) = Р(Д 2 < г) равна вероятноститого, что в круг радиуса г попадет не менее двух деревьев:F2(г) = 1 - е"*г2х - тгг2Хе~*г2х(г > 0).Аналогичными рассуждениями получимFn(r) = P(Rn < r ) = l - g ^ e где а = -тсг2Х.104a(r>0,п>1),ПлотностьFn (г) по г:распределенияdFfAr)^( -1n(r)dadadrfc=0получимдифференцированием<•*-'K-2тг\гk=0K'n-1e~a2i(\ra(n-l)(r>0).5.33.
В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме пространства vесть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с математическим ожиданием а = \v, где X — среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределениярасстояния R от любой точки пространства до ближайшей к нейслучайной точки.Р е ш е н и е .
Функция распределения F(r) есть вероятность того, что в сферу радиуса г попадет хотя бы одна точка:F(r) = Р(Д < г) = 1 - е" -\v(r)з — объем сферы радиуса г. Отсюдагде v(r) = 4— -кго/(г) = 4-кг 2 \е3(г>0).5.34. В некотором звездном скоплении звезды образуют трехмерное пуассоновское поле точек с плотностью X (среднее количество звезд в единице объема). Фиксируется одна (произвольная)звезда и рассматриваются: ближайшая от нее звезда, следующая(вторая) по удаленности, третья и т.д. Найти закон распределениярасстояния R от данной звезды до п-й в этом ряду.О т в е т .
Функция распределения Fn (r) имеет видFAr) = l-Yl^e-\meaь=о /с!=^r3\*(г>0);плотность распределения/.(г) = ^^ = 7^е-4кХг»(г>0).dr[п — 1)!5.35*. Предыдущие задачи можно обобщить на произвольноечисло измерений N: в 7\Г-мерном пространстве случайным образомрасположены точки. Число точек, попадающих в некоторую замкнутую область V этого пространства, есть случайная величина X,105подчиненная закону Пуассона. «Объем» v этой области Vопределяется так:V=dx dxI (V)Ii 2"-dxN'(V)Математическое ожидание случайной величины X будет равно\v, где X — среднее число точек, находящихся в единичном объеме.Требуется найти закон распределения «расстояния» R от любой точки этого пространства до ближайшей случайной точки.Под «расстоянием» R между двумя точками х(хг,х2, ...,xN) иУ (у г, У 2i •••» Уы) понимается величинаР е ш е н и е .
Известно, что объем vN (г) гиперсферы радиуса г вЛГ-мерном пространстве равенN+l22N-1-к 2NUприN - нечетном,приN — четном,NVN(r):2-гс2M^i)rN1при АП!= 1 -3 -5 -7 •... • N (при нечетном N). Заметим, что «площадь» поверхности гиперсферы SN(r) радиуса г в АГ-мерном пространстве определяется так:dNSN (r) = Т" VN ( Г ) = — VN (r)-drrФункция распределения случайной величины R будет равнавероятности того, что в гиперсферу радиуса г попадает хотя быодна случайная точка:F(r) = Р(Д < г) = 1 - е" х ^ (г)(г > 0),откуда/(г) = \5„(г)е-х^(г)(г>0).5.36*. Рассматривается Af-мерное пространство, в котором задано пуассоновское поле точек с плотностью X (среднее число точек в единице JV-мерного объема).
Найти закон распределениярасстояния от произвольной точки поля до n-й от нее в порядкевозрастания расстояния.106О т в е т . Функция распределения^ ( 0 = 1 - ЕJfc=0т гЛ!е _ а(г>°)>где а = \vN (r); плотность распределения. п-1a/„(')= ( п - 1 ) ! e~ \SN(r)(г>0)(см. задачу 5.35).5.37. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра,распределяется по закону Пуассона с параметром а.
Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднемеще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, тоавтомобиль ставится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание М[Г].Решение.ti22,5Piе-"ое-"361-е~а2(п2)1+ а+ —22 VМ[Г] = е- а |2 + 2,5а + ~ а 2 + 6 1 - е " а 1 + а - Ь ^2а2= 6 - е " ( 4 + 3,5а + 1,5а ).5.38.
Производится вынужденная посадка самолета на мелкийкустарник. Точки, в которых растут кусты, представляют собойравномерное пуассоновское поле точек с параметром X. Размахкрыльев самолета равен г, а длина пробега L. Благополучная посадка возможна, если самолет не заденет ни одного куста (размерами кроны куста можно пренебречь). Определить вероятность ртого, что самолет произведет благополучную посадку.О т в е т .
р = е~ .5.39*. Обследуется группа животных; каждое из них с вероятностью р является больным. Обследование производится путеманализа крови. Если смешать кровь п животных, то анализ этой107смеси будет положительным, если среди п животных будет хотябы одно больное. Требуется обследовать большое число N животных. Предлагается два способа обследования:1) обследовать всех N животных; в этом случае нужно провести панализов;2) вести обследование по группам, смешав сначала кровьгруппы из п животных; если анализ отрицательный, считать, чтовсе животные группы здоровы, и переходить к следующей группе из п животных; если анализ положительный, обследовать каждое из п животных и после этого переходить к следующей группе ( п > 1).Определить, какой способ обследования выгоднее — первыйили второй — в смысле минимального среднего числа анализов.Определить, при каком п = п* для обследования группы животных потребуется в среднем наименьшее число анализов.Р е ш е н и е . Случайная величина Хп — число анализов на группу из п животных при втором способе — имеет ряд распределенияXiPi1n+ 1n1- q, где q = 1 - р.Среднее число анализов на группу из п животных при второмспособе будетM[Xn} = qn + (n + l)(l-qn)= n-(nqn-1).При первом способе на группу из п животных приходится панализов.
Очевидно, при nq n < 1 первый способ выгоднее второго, а при nq n > 1 второй способ выгоднее первого.Установим, при каком q второй способ становится выгоднее икаково при этом будет оптимальное значение п — п*. Из неравенства nq п > 1 вытекает q > —=, а из последнего q > 0,694, так какминимум —== для целых п достигается при п = 3.Предположим, что q > 0,694, и найдем то значение п = п*, которое обращает в минимум среднее количество анализов, приходящееся на одно животное:e..!S£J_i_,. + I.ппДля этого надо найти наименьший положительный кореньуравнения108— ^ = -qn\nq-—= 0,annвзять ближайшие к нему два целых числа и прямой подстановкойих в й п выбрать оптимальное п*.
Уравнение — qn lng = —пInq = a; an = x приводится кподстановкойх2е~х = а хх а = — lng <= 0,366 . Последнее уравнение при малых а (и,значит, малых р — 1 — q) имеет решение х « л/а, откуда п* « - = .При немалых а непосредственное сравнение величин i?2, R3 и Д* позволяет сделать вывод о том, что i?3 < R2 всегда и что R^ < R4 при0,694 < q < 0,876; следовательно, при 0,694 < q < 0,876 оптимальноеп* = 3. Можно показать, что при q > 0,889 (р < 0,111) хорошее приближение дает формула п* « - = + 0,5.5.40.
Случайная величина X распределенапо «закону прямоугольного треугольника» винтервале (0, а) (рис. 5.40).а) Написать выражение плотности распределения.б) Найти функцию распределения F(x).в) Найти вероятность попадания случайной величины Хна участок от а/2 до а.г) Найти характеристики величины X: тх,Dxiox,\iz[X].Ответ.а)/(х) =2|l-£а;2-fб) F(x) = \чаж€(0, а),приж^(0, а).при0 < х < а,прих > 0.х1.4'B)F(a)-Fr)mприаРис.
5.40г,аа'=?;2?-=l8:<T-=^;1351095.41. Функция распределения случайнойвеличины X задана графиком (рис. 5.41).Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.2а + Ь. D={а-Ь)О т в е т . т„2125.42. Случайная величина X подчиненазакону Симпсона («закону равнобедренноготреугольника») на участке от - а до +А(рис. 5.42, а).а) Написать выражение плотности распределения.б) Построить график функции распределения.Рис. 5.42в) Найти числовые характеристики случайной величины Xmx,Dx)ox1\L3[X].г) Найти вероятность попадания случайной величины X в инатервал; а |.Ответ.а)/0Ф1_ 15прих Е (—а, а),прих£(—ауа).б) График функции распределения при х £ (—а, а) составлен издвух участков парабол (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
