Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 21
Текст из файла (страница 21)
6.14; она лежит правее и ниже пряу—х-Ъмой у = х - 5. Эта прямая проходит через точку с координатами тх =2;ту=—3 (центр рассеивания). В силусимметричности нормального законаъероятность попадания случайной точкипо одну сторону от прямой, проходящейчерез центр рассеивания, равна вероятности попадания по другую сторону отРис. 6.14этой прямой, поэтому P ( F < X — 5) = - .г) Р(|Х|< 1 ) = Р ( - 1 <Х< 1) = Фэ(1-2-Ф5= 0,1573.д) Щ\Х\< 1)(|У|< 2)) = Р(|Х|< 1)P(|F|< 2) :0,1573 Ф32-3ф*-2-3= 0,0476.6.15.
Система случайных величин (X, Y) имеет распределениес плотностью /(я, у). Выразить через плотность распределения вероятности событий: а) X > Y; б) X >|У|; в) \Х\> 7; г) Y - X > 1.Р е ш е н и е . На рис. 6.15, а> б, в, г заштрихованы областиDa)D6 , DeJ Dz, попадания в которые соответствуют событиям а),б), в), г). Вероятности попадания в них:—ООXz)P(X>Y)=fff(x,y)dxdy;6)P(X>\Y\)ООX0-х=fff(x,y)dxdy;оо \х\b)P(\X\>Y)=fff(x,y)dxdy;r)P(Y-X>l)=fJf(x,y)dxdy.-00 X+ \6.16. Система двух случайных величин X, У распределена понормальному закону с параметрами тх =гпу =0; ах =<ту = а ;тщ =0.
Определить вероятности следующих событий: a) \Y\< X]б)7<Х;в)7<|Х|.141Рис. 6.15Р е ш е н и е . На рис. 6.16, а, б, в показаны области, соответствующие событиям а), б) и в). При круговом рассеивании вероятности событий будут: а) 0,25; б) 0,5; в) 0,75.^-х6.17. Случайная величина X имеет плотность распределенияf(x); случайная величина Y связана с ней функциональной зависимостьюY = X\Найти функцию распределения F(#, у) системы (X, Y).Р е ш е н и е . Исходим из того, что значение случайной величины У полностью определяется значением случайной величины X.Случайная точка (Xf Y) может находиться только на кривойу = х2.
Вероятность попадания ее в квадрант с вершиной в точке(я, у) равна вероятности попадания случайной точки X на проек142цию на ось Ох участка кривой у = х2, попадающей в квадрант(рис. 6.17). Пользуясь этой интерпретацией, имеем|0F(x, у) •ЯJf(x)dx-VFприу < О илиу>0иприу >0иx>Jy,приу >Ои- <Jy <x<х < —*Jy,Jy.-Л"6.18.
Случайная точка (X, У) распределена по нормальному закону на плоскости:f(x,y) = —e22-гсНайти вероятность р попадания точки (X, Y) в квадрат R (заштрихованный на рис. 6.18), сторона которого равна двум.Р е ш е н и е . Так как рассеивание круговое (ох =оу = 1), то координаты точки (X, Y) остаются независимыми при любом повороте координатных осей, и поэтому при повороте на 45° получаемт2Р2Ф*U: 0,467.6.19. Случайная точка (X, Y) распределена по нормальному закону на плоскости с параметрами1;та,-1;<т, =1;ст у =%гщ = 0.Найти вероятность того, что случайная точка попадет внутрьобласти D, ограниченной эллипсомта.2 , (У + 1)2 = 1.(*-!)' +Рис. 6.18143Р е ш е н и е . Область D ограничена эллипсом рассеивания Ег, сполуосями а = а =\1Ь — оу = 2; вероятность попадания в эту об_1ласть р = 1 - е 2 « 0,393.6.20.
Производится стрельба по точечной (малоразмерной)цели снарядом, зона разрушительного действия которого представляет собой круг радиуса г. Рассеивание точки попадания снаряда круговое, с параметрами тх =ту = 0 ; сгх =ау =2г (центррассеивания совпадает с целью). Сколько выстрелов нужно произвести для того, чтобы разрушить цель с вероятностью Р = 0,9?Р е ш е н и е . Вероятность разрушения цели при одном ВЫСТреле р —— 1 — €>^z 0,118. Потребное число выстреловn>MlzZ)=Ji^.18)4,,e.n=:19.-lg(l-p)lg 0,8826.21.
Система трех случайных величин (Ху Yy Z) имеет плотность распределения /(х, у, z). Написать выражения:1) плотности распределения fx (х) случайной величины X;2) плотности распределения / 2 3(y,z) системы случайных величин (У, Z);3) условной плотности распределения / 2 3 {у, z\x)\4) условной плотности распределения/ 2 (у|ж, z)\5) функции распределения F(x, y,z)\6) функции распределения Fx (х) случайной величины X;7) функции распределения Fx 2 (я, у) системы (X, Y).О т в е т .
l)/ 1 (x) = J J / ( x,y,z)dydz\—ооооz2) /2,з(»| ) ~ ff(x> У' z) ^—ооf ff(x,y,z)dydz—ООf(x,y,z)4)/ 2 (г/к *):лff{x,y,z)dy—ооX5) F(x, y,z)=УZJ J J f(x, y, z) dx dy dz\-oo-oo—oo144X6) Fx (x) = F{x, oo, oo) ~0000I I j f(x> 2/> *) ^ dy Лгг;—00 —00 —00x7уoo) *1, a(*i 2/) = F(x, У, oo) = / f f f(x> У' z) & dVdz--00—OO—006.22.
Производится стрельба одним снарядом по точечной (малоразмерной) воздушной цели. Рассеивание точки разрыва снаряда происходит по нормальному закону; центр рассеивания совпадает с целью; средние квадратические отклонения ах=ау == о2 = а. Цель поражается, если расстояние между ней и точкойразрыва снаряда не превышает г0 = 2а.
Найти вероятность р того,что при одном выстреле цель будет поражена.Р е ш е н и е . По формуле для вероятности попадания в эллипсоид равной плотности имеем/9р = Р((Х, У, Z) е Е2) = 2Ф * (2) - 1 - ^ 4 • 2е"2 » 0,739.6.23. Система трех случайных величин (X, У, Z) распределенаравномерно внутри шара S радиуса г. Написать выражение плотности распределения системы /(ж, у, z\ плотностей распределения fx(x), /2(у)и fz(z) отдельных величин, входящих в систему, атакже условной плотности распределения fx(x\y, z).Решение.2f(x,y,z)= сО,2•+z2^2прих +у<г ,ПриЖ2 + У2 + 2 2 > Г 2 .Постоянную с находим из условия, что объем шара S, умноженный на с, равен единице: —тгг3с = 1, откуда с =.34гс гПлотность Д (х) определяется выражениемЛ (я) = J / / ( ж > 2/. *) <& <^При | ж| > г, очевидно, Д (ж) = 0.
При | я| < г имеем[с приО при(y,x)€Dx,(y,z)£Dx,где Д. — круг радиуса Vr 2 — ж2 (рис. 6.23, а, б). Следовательно,145у/г2— х2-гfx(x) = I I с dy dz = ск (г 2 — ж2)0г(|#|< г)(Л.)Таким образом,Зг2 -д;23Л СОН 4 гпри|ж|< г,при|ж|> г.Кривая распределения представлена на рис. 6.23 в. Числовыег2характеристики этого закона следующие: тх = 0; Dx = — . Плот5ности распределения / 2 (#)« / 3 (я) имеют ©идо/2Ыш=223 Г -з у4г0З г "2 - z«24г3опри\у\< г,при|у|>г,при\z\< г,при|г|> г.Плотность распределения подсистемы (Y, Z)оо/2,3(0»*) = / f ( z , y , z ) d x=^ ~ Ус dx = 2c-yjr2 — у2 — z2IVг - у22z2+t/2<r2,при- г2Опри146ООz +у >г .Отсюда при z + у < г 2 находим условную плотность распределения1f1(x\y,z)2= 2-(гУ\x\<yjr2 -у2при2-z2,~ ZОпри\Х\>ir2лЛГУ2- Z .6.24.
Система трех случайных величин (X, F, Z) распределена спостоянной плотностью внутри шара радиуса г. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) внутрь шара, концентричного данному, с радиусом г/2.О т в е т , р = -.86.25. Из урны, в которой а белых, Ъ черных и с красных шаров,вынимается один шар.
Случайные величины X, Yt Z определяютсяследующими условиями:[1, если появится белый шар,Х= \[О, если появится черный или красный шар.[1, если появится черный шар,Y =[О, если появится белый или красный шар.[1, если появится красный шар,Z=[О, если появится белый или черный шар.Построить корреляционную матрицу и нормированную корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y, Z).Р е ш е н и е . Корреляционные моменты определим из таблицывероятностей отдельных значений X, Yn Z.ОбозначимУj , *к' *i>:Р((Х = :0(У = у,.)(Я = **))•ИмеемР0, о, о = Р ( ( * = 0)(У = 0)(Z = 0)) = 0;аа+ Ь+сЪР 0 > 1 1 о = Р ( ( * = 0)(У = 1)(Я = 0))==а+ Ь+сP l i O i 0 = P ( ( X = l ) ( r = 0)(Z = 0)) =P 0 i 0 i l = P ( ( X = 0)(r = 0)(Z = l)) =Рг1, 1,0= Рг1, 0, 1= Р-* 0,1,1= Рг1,1,1са+ Ь+с=0и*147rnna + b + c'•; m уza + b + c'a + b + c'i , j, кa0a + b + с)= 1a + b + c)a + b + с +ba+1 a + b + c)[1 - a + b + c)a + b + с-aba + b+сa + b + c)a + b + c ( a + ft + c ) 2+0Аналогично-ac(a + b + c)2'lKb-be(a + b + c)2yzДалее находим дисперсииA* =<* 2 [X]-m I 2 =a(b + c)2a+b+c(a + b + c)(a + b + c)2аналогичноb(a + c)DD2(a + b + c)c(a + b)=z(a + b + c)2Отсюда находим коэффициенты корреляцииК ху**—ab^ab(a + c)(b + c)РЖab^(a + c)(b + c)Аналогично"асIr„ = -^а_ _ IЬс~Т+ Ь)(с + ЪУ У> - ~^(6 + a)(c6.26.
Имеется система случайных величин X и F. Случайнаявеличина X распределена по показательному закону с параметром X:Л(*Н148ХеОХхприприх>0,а; < 0.Случайная величина Y при заданном значении X = х> 0 распределена также по показательному закону, но с параметром х:хе "^О/20/k):приприу > О,у < 0.Написать плотность распределения f{x,y) системы (X, Y) инайти плотность распределения f2(y) случайной величины У;найти условную плотность Д (х| у).Решение.f&y)0прих<0или\яе"(Х4"у):Еприх>0иXxdxh(v) = ff( >v)=-(* + ?)0у < 0,у>0.приу>0,приу < 0.Далее, при у > 0/(я, у)Л(%) = / Ы2а;(Х + з/) 2 е- ( х + у ) 10приприх > 0,ж < 0.6.27.
Даны две независимые случайные величины: непрерывная X с плотностью fx(x) и дискретная Y со значениямиJ/J , у 2 , ..., 2/ „, имеющими вероятности р х , р 2 , ..., рп. Найти функцию распределения системы (X, Y).XО т в е т . F(x, y) = F^ (ж) F2 (у), где Fx (х) = J fx (x) dx;0PiЧУ) = ^i - iрхприприу1у<уг,<у<у2,приук_х<у<ук,(к = 2,3,...,п),i=i1при2/>j/„.6.28. Случайная величина X — дискретная величина с двумязначениями х1их2 (х2 > хх), имеющими вероятности рх и р2.Случайная величина Y — непрерывная величина; ее условнымраспределением при X = х{ служит нормальный закон с математическим ожиданием, равным х{, и средним квадратическим отклонением, равным ст.149Найти функцию распределения F(x, у) системы случайных величин (X, Y). Найти плотность распределения / 2 (у) случайнойвеличины у.Р е ш е н и е .
F(x, у) = Р(Х < х) Р(У < у\Х < х).Пусть х<хг; тогдаР(Х < х) = 0 и F(x, у) = 0; пусть хг < х < гг.;тогда Р(Х < х) = рг и F(x, у) = pJ*(Y < у\Х = хх) = ргФ*V-ХлПри х > х2 по формуле полной вероятности имеемF(x,y) = px<f>*+ Р2Ф*Следовательно,[0F(x,y) =Р Х Ф*^ф*'у - Уаприх < хх,приз^ < а; < х 2 ,прих > х2.;+ Р2Ф*У-Я?2Далее, полагая ж = оо и дифференцируя по у, получаем{У-Ъ)2/2(y) = fF(oo,y) =ayОл[%Крге2а2+ р2е2a z6.29*.
Звезды на небесной сфере рассматриваются как пуассоновское поле точек. Число звезд, попадающих в объектив телескопа, является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона спараметром Х5, где S — площадь участка, вырезаемого на поверхно-Рис. 6.29150сти сферы полем зрения телескопа (в радианах) (рис. 6.29, а). Полезрения телескопа имеет координатную сетку (рис. 6.29,6) (отсчет ведется в радианах). Показать, что при любом положении телескопакоординаты (X, Y) ближайшей к перекрестию звезды распределеныпо нормальному закону с параметрамиР е ш е н и е . В задаче 5.31 было показано, что расстояние R отцентра перекрестия до ближайшей к нему точки пуассоновскогополя подчиняется закону Рэлея.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
