Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Имеется случайная величина X с математическим ожиданием тх и дисперсией Dx. Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин:Y = -X;Z = X + 2Y-\\О т в е т . т у = -mx'1Dymu =2ra x -b,Du=Ds',mxU = ЗХ - Y + 2Z - 3.=-mx-\\DZ= Dx]=4DX.7.12. Имеется система случайных величин (X, Y, Z) с заданными характеристиками: математическими ожиданиями тх,ту, т2и корреляционной матрицей|£>К.хуD„К yzD.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины U = аХ — Ь Y + cZ — d.О т в е т , га,, = атгг —ЬтЧ1 +сту — d:2D,L = o ^ , +b ti,+c*D, ЪхЬКщ + 2acKxz-2bcKyz.7.13. Имеется n-мерный случайный вектор Х = (Х1гХ2, ...,Хп), составляющими которого являются п случайных величинХ{ с математическими ожиданиями тх.
(г = 1,2,..., п), дисперсиями Dx. (г = 1,2,..., п ) и нормированной корреляционной матрицей1Г*Л1(* = 1,2, ...,n;« <j).160Случайный вектор X преобразуется в m-мерный случайныйвектор Y = (Ух, У 2 ,..., Уш ), причем составляющие вектора Y получены из составляющих вектора X линейными преобразованиямиYk=f2*ikXi+h(* = 1 , 2 , . .
. , т ) .г'=1Найти характеристики случайного вектора Y: математическиеожидания га (к = 1, 2,..., га), дисперсии Dyk (к = 1, 2,..., га) иэлементы нормированной корреляционной матрицы||r^J(I = 1,2,..., га; * < / ) .пО т в е т . т о ^ = ^ ) a u - m X j + ЬА.JL.а„(А; = 1, 2,..., т ) ;К.,,DUг=1i<j\иУ к У \где1=1t<j7.14. Имеются две независимые случайные величины X и У.Величина X распределена по нормальному закону:Величина У распределена равномерно в интервале (0; 2).Определить: а) М[Х + У];б) М[ЯУ];в) М[Х 2 ];г) М[Х - У 2 ]; д)D[X +Y};e)D[X-Y].Решение.а) М[Л" + У] = М[Х] + М[У] = 1 + 1 = 2;б) M[XY] = М[Х] М [У] = 1-1 = 1;22B )M[X ] = a 2 [X] = D[X] + m = 4 + 1 = 5;г ) М [ Х - У 2 ] = М[Х]-М[У 2 ] = 1 - а 2 [ У ] = 1 - ( — + 1 )112Jд) D[X + У] = D[Z] + D[7] = 4 + - = 4 ;оl3О22~™е) D[X - У] = D[X] + (-l) D[y] = Л4iО1617.15.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, а). Определить: а) М[2Х + 3]; б) М[ЗХ2 - 2Х +1];B)D[2X + 3 ] ; r ) D [ X 2 + l ] .22Р е ш е н и е . ш 1 = | ; Dx=^,a 2 [X] = 2 _ .а) М[2Х + 3] = ЩХ] + 3 = а + 3;б)М[ЗХ 2 - 2 Х + 1] = За 2 [Х]-2М[Х] + 1 = а 2 - а + 1;B ) D [ 2 X + 3] =4DX=^-;v)D[X2 +l} = D[X2] = cc2{X2)-(M{X2})2= а2[Х2]--(а2[Х])2; a2[X2] = ±/V<£r = ^-;отсюдаD[X2+1] = — -= —а4457.16. Случайная величина X подчинена нормальному закону:№••12a'aV^KНайти математическое ожидание случайной величины7 = 1 -ЗХ2+ 4Х 3 .Решение.га,: М [ 1 - З Х 2 + 4 Х 3 ] = 1-ЗМ[Х 2 ]+4М[Х 3 ].Т а к к а к т х = 0,тоМ[Х 2 ] = DX = a 2 ; М[Х3] = 0; ту = l - 3 a 2 .7.17.
Независимые случайные величины ХиYраспределеныпо законам f1(x),f2(y),графики плотностей которых представлены на рис.7.17, а, б.Рис. 7.17162Определить: а) М[Х+ Y]; б) D [ 3 X - 6 7 + l]; в) M[XY};T)M[2XY-3X2+ Y2-1].Решение.ЩХ] = \а; M[Y] = h; D[X} = ^;ооВ[У]=Л1оloa)M[X + Y} = -(2a + b);О6)D[3X - 6У + 1] = 9DX + 36Dy = — + 2b2;B)M[XY] = -ab;Оr)M[2XY-3X2+Y2 -l] = 2M{XY}-3cL2[X} +14Aa2\Y}32 ^ Ь2л—1 = —aba -i1.9267.18.
Ответить на вопросы а), б), в) предыдущей задачи, есливеличины X, Y зависимы и их коэффициент корреляции равенг =-0,9.Решение.а)М[Х + У] = -(2а + 6);Оabб) D[3X - 67 + 1] = — + 262 + 36- ,•0,9 =2Vl808= !f- + 262 + lflab;2в) M[XY] = -ab - 0,9— = — ab.918 1807.19. По сторонам прямого угла хОу концами скользит линейкаАВ длины I, занимая случайное положение (рис. 7.19), причем всезначения абсциссы X ее конца А на оси Ох в пределах от 0 до I одинаково вероятны.Найти математическое ожидание расстояния R от начала координат до линейки.уР е ш е н и е . Случайная величина X рас- ^1пределена равномерно в интервале (0,1):/(*)=-прих G (0,1),0прих 0(0,0Рис. 7.19163Случайная величина R выражается через X формулой (см.рис.
7.19)* - * , !<*>I2Ее математическое ожидание равно!х)-т/Iо7.20. Случайные величины V, С/связаны линейно со случайными величинами X, Y:V = aX + bY + c; U = dX + fY + g.Известны числовые характеристики системы случайных величин (X, Y): тх, ту, Dx, D , Кху. Требуется найти числовые характеристики системы случайных величин (V, U): mv, ти, Dv, Du, Kvv?т.vuРешение.mv=amx+Ъту + с; Dv = a2Dx+b2Dym u=dmx+fmy+g;Du = d2Dx + f'Dv+2abKxy]+ 2dfKxy .ДалееV = aX+bY;Km=U=dX+fY;M[VU] = adDx + bfDy + (af + bd)K„ ; rm =K7.21.
Производится стрельба независимыми выстрелами по некоторой цели; вероятность попадания в цель для каждого выстрела равна р. Запас снарядов неограничен; стрельба ведется до А;-гопопадания, после чего прекращается. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов.Р е ш е н и е . Обозначим X — число израсходованных снарядов.Имеемх=х1+х2+...+хк,где Хх — число выстрелов до первого попадания (включая первое);Х2 — число выстрелов от первого до второго попадания (включая второе);164Хк — число выстрелов от (к- 1)-го до &-го попадания (включаяJfc-e).По теореме сложения математических ожиданийМ[*] = £М[*,].Так как выстрелы независимы и вероятность р одинакова длявсех выстрелов, можно вычислять М[Х{ ] как математическоеожидание числа выстрелов до первого попадания (см.
задачу5.15): М[Х± ] = —, откудаVЫР7.22. Тело взвешивается на аналитических весах. Истинное(неизвестное нам) значение массы тела равно а. Вследствие наличия ошибок результат каждого взвешивания случаен и распределяется по нормальному закону с параметрами а и а.Для уменьшения ошибок взвешивания пользуются следующим приемом: взвешивают тело п раз и в качестве приближенного значения массы берут среднее арифметическое результатов пвзвешиванийу(») =Lyx{а) Найти характеристики случайной величины У(п) — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.б) Сколько нужно сделать взвешиваний для того, чтобы уменьшить в десять раз среднюю квадратическую ошибку массы?Решение.а)М[у(">] = 1 £ м [ Х , ] .Так как все взвешивания производятся в одинаковых условиях, тоМ[Х; ] = а при любом г;М[У(п)] = 1]Га = —а.Считая ошибки отдельных взвешиваний независимыми, находим дисперсию У(п):2( ,D jr<TD|T " ] = - V l ) [ ' ] = п*^ IT=i)пап22ап165б) Число взвешиваний п находим из условияа\Г1")]=К=°=±-V пJn10n =ioo.7.23*.
По некоторой цели производится п независимых выстрелов; вероятности попадания в цель для этих выстрелов равныpv p2j..., рп. Для упрощения вычислений эти вероятности осредняют, заменяя одной постояннойп171г=1По этой средней вероятности приближенно определяются математическое ожидание тх и среднее квадратическое отклонениедх числа попаданий X. Будут ли эти характеристики вычисленыверно? Если нет, то в какую сторону будет ошибка?Р е ш е н и е . Математическое ожидание будет вычислено верно:™>х =п р = — \ р. = тх.ЧТО касается среднего квадратического отклонения ах, то онобудет завышено: дх >ох. Для доказательства сравним приближенное выражение дисперсииDx = n pq,meq=l-р = —VV = —VVl-p.
)с ее точным значениемD* = &*?*•г=\Преобразуем двумя способами суммупппп^2(Pi ~Р)(Яг ~q) = J2Piqi -J2PiV~J2Pqiг=1пг'=1= ^2PiQiг=1+ ПРЯ =г=1-npq,г=1Х > ; - p)(qt - q) = J2(Pi ~ Ю(1" Pi - 1+ P) = -J2(Pi ~ P)2 ^ °»=1166t=li=lОтсюдаХ > ? < -npq=Dx-Dx<0,DX>DXt=lчто и требовалось доказать. Заметим, что знак равенства вDx > Dx достигается только при рг = р2 = ...
= рп = р.7.24. Светящаяся точка, изображающая наблюдаемый объектна круглом экране радиолокатора, может случайным образом занимать любое положение на экране (плотность вероятности постоянна). Диаметр экрана равен D. Найти математическое ожидание расстояния R от светящейся точки до центра экрана.Р е ш е н и е . R = sjX2 + Y2, где (X, Y) — система случайныхвеличин, распределенная равномерно в круге KD диаметра D:Опри(x,y)eKD,при(x,y)#KD.mr =M[R] = ffjx2+y2 ^=-dxdyили, переходя к полярной системе координат (г,ц>),2ът.
=D/2/ dtp / r2dr = —.>*D2lI37.25. Две точки Хи Y, независимо друг от друга, занимают случайное положение на отрезке (0; 1) оси абсцисс (рис. 7.25, я), причем плотность вероятности на этом отрезке постоянна для обеихслучайных величин. Найти математическое ожидание расстоянияR между этими точками и квадрата расстояния между этими точками.Хг—£—ГРис. 7.25167Р е ш е н и е . ИмеемR=\Y-X\;mr=M[\Y-X\].Изобразим систему (X, У) как случайную точку на плоскостихОу (рис. 7.25, б), распределенную с постоянной плотностьюf(x,y) = l в квадрате со стороной 1. В области Д : X > Y;\Y - Х|= X - 7.
В области D2: Y > X; \Y - Х\= Y - X.тг = \\(x-y)dxdy+ If (у - х) dx dy =(A)l= JdxJ0(D2)xIУ(х- y)dy + JdyJ0022M[R ] = M[\Y-X\ ](у - x)dx = -.0= a2[Y] + a2[X}-2mxmy=2{Dx+m2x)~2ml=\.о7.26. На оси абсцисс имеются два соседних отрезка (рис. 7.26)длиной по единице; в пределы одного из них случайным образомпопадает точка X; в пределы другого —XffYточка У, причем координаты точек X ия Y независимы. Плотность распределе012ния каждой из случайных величин X,Y в пределах соответствующего отрезРис.
7.26ка постоянна. Найти математическоеожидание, дисперсию и второй начальный момент расстояния Rмежду ними.Решение.=R=Y~X: mr=M[Y]-M[X}= l]1Dr=Dy+Dx=^.*2[R] = M[R2} =Dr+m2r=^о7.27. Имеется квадрат К со стороной, равной 1 (рис. 7.27). На смежные стороны квадратаслучайным образом и независимо друг от другападают точки Хи Y; каждая из них имеет в пределах соответствующей стороны равномерноераспределение. Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними.Решение.R2=X2+Y2;168m2=M[R2] = a2[X) +OL2[Y) = ~.7.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
