Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величинаX— число попаданий первого стрелка; Y— второго стрелка. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка pv для второгор2. Построить функцию распределения F(x,y) системы случайныхвеличин (X, У).Р е ш е н и е . Составим таблицу значений функции F(x, у) дляразличных значений аргументов. Так как случайные величины(X, У) независимы, тоF(x, у) = Р(Х < х) Р(У <у) = Л ( а О а д .Построим функцию распределения F^x):0 приF1(x) = qx при1 прих < О,0 < х <1,х > 1,где^ = 1 — р г Аналогично0д2 = 1 - р 21приприприу < О,0<у<1,2/ > 1.131Значения функции F(x, у) даны в таблицеXУх <00 <х<Х> 110000 < у< 1091^292х> 10Ф1У<06.2. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна р.
Рассматриваются две случайные величины: X —число попаданий; Y — число промахов. Построить функцию распределения F(xy у) системы (Ху У).Р е ш е н и е . Случайные величины (X, Y) зависимы, причемжестко (функционально):X + Y = l.Таблица возможных значений X, Y с соответствующими вероятностями будетУзXi0100Ч1Р0|Значения функции F(x, у) даны в таблицеXУ0 <х < 1х> 10000 < у <100рх> 10Ч1х<0У<0!6.3. Функция распределения системы двух случайных величин{X, Y) равнаF(x, у). Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D (рис. 6.3), ограниченную справа абсциссой а,снизу и сверху ординатами % 8.132О т в е т . Р ( ( Х , Y) G D) = F(a, 6) - F(a, 4).6.4.
Дана поверхность z = f(x,y\изображающая плотностьраспределения системы (X, Y) (рис. 6.4). Задано некоторое значение х. Дать геометрическую интерпретацию:I Ях> У)Рис. 6.3Рис. 6.4а) значению /г (х) в точке х;б) условной плотности распределения / 2 (у\х).Р е ш е н и е . Для данного х:а) fl (x) изображается площадью сечения, заштрихованного нарисунке;б) условная плотность распределения изображается кривой,каждая ордината которой равна ординате сечения, деленной на6.5. Имеются две независимые случайные величины (X, У),подчиненные каждая показательному закону:Л(*) =Оприх < О,Оприу < О,Хе"прих > О,\ie -м-уприг/ > 0.Написать выражения: а) плотности распределения системы;б) функции распределения системы (X, У).Ответ.f(z,y)F(x,y) ==0х ^ е -(х*+Ыприх <0приж > 00Л(1-е- *)(1-е-^)илииприх <0приа:>0У<0,У>0,илиу < 0,У>0.6.6.
Система случайных величин (X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R со стороной 1 (рис. 6.6 а).133бРис. 6.6Написать выражение плотности распределения /(я, у). Построитьфункцию распределения системы.Написать выражения /^(х),/ 2 (у). Определить, являются лислучайные величины (Ху Y) независимыми или зависимыми.[1 при (ж, у ) € Д ,О т в е т . /(я, у) =[О при (х, у ) ^ Л .0хуF(x,y) =XУ1приприприприприх<0или У < 0 ,0 < гг < 1 и 0 < у < 1 ,0<х<1и У >1,х> 1и 0<у<1,х> 1и у >1.Поверхность F(x, у) представлена на рис. 6.6, б.\1приа: €(0,1),прих^(0,1),1приу €(0,1),0приу g(0,l).Л(*) = 0лы=Случайные величины (X, У) независимы, так как/(*,!/) = Л 0*)/ 2 (У)6.7.
Поверхность распределения системы случайных величин(X, У) представляет собой прямой круговой конус (рис. 6.7, а); основанием конуса служит круг К с центром в начале координат и срадиусом г0. Вне этого круга плотность распределения равнанулю.134К?, у)Рис. 6.7а) Написать выражение f(x,y).6) Найти / х (х); f2(y); f2(y\x);/х (xj у). в) Определить, являются ли случайные величины X, У зависимыми, г) Определить, являются ли случайные величины X, Yкоррелированными.Решение.— (го ~4х2a) f(x, у) =+У2]П Иz2+j/2<r02,прих2+у2>Го;Рб)Л(х) ={ГГХ<1ОУ1 О -Гп-Кт=\п—пrхо+Vo-а; Щпри|я|<г 0 ,при\х\>г0,2rГл-КгoVro2 - 2 / 2 -У2Щ\г0 +V r o 2 - 2 / 2 ] приМ<г 0 ,при|у|>г 0 .12/1Далее, при|а;|< г0г 0 - -у/ж2 + у2r 2/2(2/!*) =го Vro2-х2- я2In2- при |y|<Vro2 - * 2 .^о + V o - * Iпри |j/|>yfrf^x2135ипри|у|<г0г0 - V* 2 + у2\(Х\У) = -roVro2 -У2 - У 2 I n0п—л(ro + Vro - У\У\\при \х\<^т1) при-у2,\х\>4^в) Так как fx (х\у) ^ Д (я), то случайные величины X, У зависимы.г) Находим корреляционный момент К^ так как mx — my — О, тоКх*=ffxyf(x>y)dxdV ^ffxyffay)dxdy + JJxyf(x, y)dx dy,(K,)(K)(K2)где Кг — правая половина круга К; К2 — левая половина (рис.
6.7, б).Функция xyf(x, у) нечетна относительно аргумента х, поэтому интегралы по Кг и К2 отличаются только знаком; в сумме интегралы взаимно уничтожаются, значит, К = 0, и случайные величины Ху Унекоррелированы.6.8. Система случайных величин (X, У) распределена по закону:1 + х2 + х2у2 + у 2а) Найти коэффициент а.
б) Установить,являются ли величины X, У зависимыми; найти fx(x); f2(y)- в) Найти вероятность попадания случайной точки (X, У) в пределы квадрата Д, центр которого совпадает с началомкоординат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 6 = 2 (рис. 6.8).Р е ш е н и е. а) Из условияJ J f(x,y)dxdy = 1находим а = — .ITб) Случайные величины X,, ,Л(*) = тг(1 +1 ж2) ;f2(y)-136чYнезависимы:1-К(1 + У 2 );f(x,y) =f1(x)f2(y).1 1B)P((X,Y)eR) =dxdy1ff{^_У(1 + х2)(1 + у2)46.9. Имеются независимые случайные величины X, У.
Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами: тх = 0; ох = — . Случайная величина У распределена равл/2номерно на интервале (0, 1). Написать выражения для плотностираспределения /(х, у) и функции распределения F(x, у) системы(I, У).я, — е~х2 при у €(0,1),О т в е т , /(х, у) —при y g ( 0 , l ) .00приу < 0,F(s,y) = F^z)F 2 (y) = уФ*(ху/2)при0<у<1,Ф * (xV2)приу > 1.6.10. Поверхность распределения /(х, у) системы случайныхвеличин (X, У) представляет прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (рис. 6.10, а), авысота равна к Определить радиус цилиндра г, найти fx (х); / 2 (у);Шг/);/2(г/к);™*; #.; Кщ, •Л*, у)Рис.
6.10Р е ш е н и е . Радиус цилиндра г определяется из условия: объем цилиндра равен единице, откуда г = / — . Плотность распределения /(х, у) имеет вид2TL/(«!»)=•ft,0,еслиесли,2^2х +у <г ,х2 + у 2 > г 2 .137Следовательно,00—оо2Vr2-x2/iпри|х|<г,Опри|х| > г.Аналогично,Ы г 2 - y2h[Оприпри|з/| < г,|у|>г.График функции Д (ж) показан на рис. 6.10, & При |у|< г1Л(%) =f(x,y)22 ^г - * //2Ыпри2Опри22я|<л/г|я|<V' - у ,М> ур-у^-Аналогично, при |ж|< г12/2(vl*) = 2л/г - х2[Оприы<^при| y | > V r2-x2.^2«.2Г — X ,Математические ожидания равны нулю:тх=7Пу= 0iтак как функция /(х, у) четна как по х, так и по у;Dx=2hr[x2Jr2J-x2dx=hr*-= —;cxА Д=\KV=0.6.11. Система случайных величин (X, Y) распределена по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением а:1(Х,У) =1V* 2 +* 2 >2<т2-гсст2а) Заменить приближенно этот закон распределения закономпостоянной плотности в круге; радиус круга г0 подобрать так, чтобы сохранились неизменными дисперсии величин Хи Y.б) Заменить приближенно этот закон распределения законом споверхностью, изображаемой прямым круговым конусом с центром основания в начале координат; радиус гг основания такжеподобрать из условия равенства дисперсий.138Решение.а) Сравнивая с задачей 6.10, из соотношения Dx'О2— = а находим г0 = 2а.б) Сравнивая с задачей 6.7, из соотношения3Г^20(К)^1л/20а = 2,58 а.~ л/36.12.
Случайная точка (X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, заштрихованного на рис. 6.12, а. Написать выражение плотности распределения /(ж, у). Найти выражения плотностей распределения fx(x), / 2 (y) отдельных величин X,Y, входящих в систему. Написать выражения условных плотностей fx(x\y) и f2(y\x). Зависимы или независимы случайные величины X, Y? Коррелированы они или нет?Р е ш е н и е . Площадь квадрата равна 2, поэтомунаходим г.1f&y)0при(х, у) е Д,при(х, у) £ R.1-х-I dy = 1 — хпри0 < х < 1,при- К х < 0,-(1-х)/l(*)=— / dy = 1 + х9J-(1+х)приX < —1ИЛИX> 1или, короче,ш-- 01 — |х| припри|х|< 1,\х\ > 1.График закона /г(х) показан на рис. 6.12, б (закон Симпсона).Аналогично,/ 2 ы=1-\у\при\у\<1,0при|у|>1.139Далее, при I j/1 < 1Л(Ф) = Л(»)12(1-|2/|)приопри |x|>i-|j/|.Ы < 1 - \у\,График плотности /г(х\у) показан на рис.
6.12, в. Аналогично,при|х|< 112(1-1^1)/ 2 (2'1 ) =[Опри\у\ < 1 - |х|,при|у|>1-|я|.а;Случайные величины X, У зависимы, но не коррелированы.1/-1\10Ы-1 0;1-ЫбР]дс.6.126.13. Плотность распределения системы случайных величин(Ху У) задана формулой[(*-2) 2 -1,2(*-2)(у+3)+(2,+3) 2 ]1,6 тгНайти коэффициент корреляции величин Ху Y.О т в е т. г^ = 0,6.6.14. Независимые случайные величины Ху F распределены понормальным законам с параметрамитх = 2 ; г а у = - 3 ; а ж = 1 ; а у = 2 .Вычислить вероятности следующих событий:a) (X<mx)(Y<my);б) X < 3; в) У < X - 5; г) |Х|< 1;д)(|*|<1)(|У|<2).Решение.a)P((X<mx)(Y<my))= P(X<mx)P(Y<my).б) Р(Х < 3) = Ф * f l - Я ] = Ф * (1) = 0,8413.140Х Х2 2Х4в) Искомая вероятность равна интегралу(*-2) 2 (У+З) 2Р(У<Х-5) = / / Л(D)8dxdy,2тгл/2взятому по области Д где у < х - 5. Область D заштрихована нарис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
