Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Определить: а) математическое ожидание и дисперсию числа узлов, которые придется заменить; б) математическое ожидание суммарного времени Г,которое будет затрачено на ремонт вышедших из строя узлов.Р е ш е н и е. а) Обозначим Х{ число узлов г-го типа, вышедшихиз строя за время т. Эта случайная величина распределена по закону Пуассона и имеет математическое ожидание тх_ = Х г т идисперсию Dx = X • т.Обозначим X общее число узлов, вышедших из строя за времят. Имеемпппt=i»=1j=i187Так как величины Х{ независимы, тоД.=Ел.,= т £ х <г =1г =1б) Обозначим Т{ общее время, затраченное на ремонт всех вышедших из строя за время т узлов г-ro типа. Оно представляет собой сумму времен, затраченных на ремонт каждого из узлов.
Таккак число этих узлов равно Xit тот. = г.(1) + т. (2) +...+г. (Х,) = у л т. (А:)jfc=lгде Т\к^ — случайная величина, распределенная по показательномузакону с параметром\i { ; величины Т^, Т\2\ ... независимы.Найдем математическое ожидание случайной величины Т-; дляэтого сначала предположим, что случайная величина Х{ принялаопределенное значение га. При этом условии математическоеожидание величины Г- будетгага-1^(т)=х;м[г/')]=х:—=—•к=1 Ргк=\PiУмножив это условное математическое ожидание на вероятность Рт того, что случайная величина Х{ приняла значение га, ипросуммировав все эти произведения, найдем полное (безусловное) математическое ожидание величины Гг:Ч.=Ёт,т=\Р......тР-—=—Т,т=—П*Л =PiPi m=lPiХ.-ТPiПрименяя далее теорему сложения математических ожиданий,получимМ[Т] = т £ ^ .z=i М-»Заметим, что тот же результат можно получить путем следующих (не вполне строгих) рассуждений.
Среднее число выходов изстроя узла г-го типа за время т равно X • т; среднее время ремонтаодного такого узла равно 1 / \1{ ; среднее время, которое будет затрачено на ремонт всех вышедших из строя за время т узлов г-готипа равно X • т / \i •; среднее время, которое будет затрачено наремонт узлов всех типов, равноТп^У2~1--i=l Pi1887.56*. Условия задачи 7.55 изменены таким образом, что каждый вышедший из строя узел отправляется в ремонт, а техническое устройство на это время прекращает работу; при неработающем (выключенном) устройстве узлы выходить из строя не могут.Найти: а) математическое ожидание числа остановок устройстваза время т; б) математическое ожидание той части времени т, в течение которой устройство будет простаивать (оно же среднее время, затраченное на ремонт).Р е ш е н и е , а) Обозначим X — число остановок за время т инайдем его математическое ожидание гаг Задачу будем решать спомощью следующих не совсем строгих (но тем не менее верных)рассуждений.
Рассмотрим неограниченный во времени процесс работы устройства в виде последовательности «циклов» (рис. 7.56),1-й цикл 2-й цикл 3-й циклРис. 7.56каждый из которых состоит из периода работы системы (отмеченжирной линией) и периода ремонта. Длительность каждого циклапредставляет собой сумму двух случайных величин: Граб (времениработы устройства) и Трем (времени ремонта).
Средняя длительность времени работы устройства mt аб вычисляется как среднеевремя между двумя последовательными отказами в потоке отказовплотности X = \X {; это среднее время равно mtНаходим среднее время ремонта mt=—=х.Х>,. Будем его искать поформуле полного математического ожидания при гипотезах Я- —ремонтируется узел г-го типа (г = 1, 2,..., тг).Вероятность каждой гипотезы пропорциональна параметру Х^Р(Я4) = - ^ -£*«Хх«=iУсловное математическое ожидание времени ремонта при этойгипотезе равно 1/щ ; отсюда189Среднее время циклатXXfz^XTTi V>i )Теперь представим себе последовательность остановок устройства как последовательность случайных точек на оси Ot, разделенных интервалами, в среднем равными mt . Среднее число остановок за время т будет равно среднему числу таких точек на отрезкедлиной т:ттх=Хт—Г'б) За каждый цикл устройство будет простаивать (ремонтироваться) в среднем время mt=— У^—*-; за тх циклов среднеевремя простоя будет равно7.57.
Случайная величина X распределена по нормальному закону с характеристиками тхиах. Случайные величины У и Z связаны с X зависимостями Y — Y2\Z — Хъ. Найти корреляционныемоменты К^, Kxz и Ку2.Р е ш е н и е . Для упрощения вычислений перейдем к центрированным величинам и воспользуемся тем, что для центрированной нормальной величины X = X - тх все моменты нечетныхпорядков равны нулю, а М[Х 2 ] = ст2, М[Х4) = Зох5.53). Так какY = (Х+ тх ) 2 - М[Х 2 ] = X2 + 2Хтх=(см. задачу+ т2Х - Dx - m x 2 =Х2+2Хтх-о2х;тоК^ =M[XY} = M[X(X2+2Xmx190- о2х)} = 2о2хтх.Далее-М[Х3]Z = {X+mxf= Х3+ЗХ2тхо2-{Зтхо3х3+ ЗХт2+т3х-о2+ т х) = Х +ЗХ тх+ ЗХт2х-Зтхо2х,и поэтомуКхг = M[XY] = M [ i 4 ] + ЗтхМ[Х3} + Зт2М[Х2}-Зтха2хМ[Х} =-Зо4х+ЗтУх.Наконец,^ у2 ^ М р Ч г Х ш , - а х 2 р 3 + 3 1 2 т ж i S l m f - 3 m A 2 ) ] == 5m x M[i 4 ] + 6 m J m , 2 - a x 2 ) M [ i 2 ] + 3 m ^ 4 = 1 2 m x a , 4 + 6 m X 2 7.58.
Воздушная цель перемещается над обороняемой территорией со скоростью v. В течение времени т цель находится в зонедействия средств противовоздушной обороны. Число обстрелов,которому может подвергнуться цель, находясь над территорией,есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона спараметром a = Хт. В результате каждого обстрела цель поражается с вероятностью р. Пораженная цель немедленно прекращаетполет, а) Найти вероятность Pt того, что к моменту t0 < т цель будет поражена, б) Найти среднюю глубину проникания цели наобороняемую территорию.Р е ш е н и е .
а ) Выделим из пуассоновского «потока обстрелов»цели с плотностью X поток «поражающих обстрелов» с плотностью \р. Вероятность того, что за время t0 цель будет поражена,равна вероятности того, что за время t0 произойдет хотя бы одинпоражающий обстрел: Pt — 1 - e~Xpt°.б) Введем гипотезу: цель поражена в интервале времени(£,£ + dt). Вероятность этой гипотезы будет \pe~Xptdt (0 < t < т).В предположении, что указанная гипотеза имела место, дальностьД на которой самолет будет поражен, равна vt. Следовательно,средняя глубина проникания цели на обороняемую территориюбудет:тmD = fvte-tXp\pdt=—[l-е"Хрт (\рт + 1)].191Заметим, что т D —> — при т —> оо.\р7.59.
Тело, масса которого равна а [г], взвешивается на аналитических весах четыре раза; получаются результаты Xv X2, Х3, ХА.В качестве измеренного значения массы принимается их среднееарифметическое: Y = — (Хг + Х2 + Xz + X4). Результаты взвешиваний независимы. Весы дают систематическую ошибкутх — 0,001 [г].
Среднее квадратическое отклонение каждого взвешивания ох = 0,002 [г]. Найти параметры: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y.Р е ш е н и е . ту = — -4 {тх + а) = а + 0,001 [г].Л,=р"40,=Ь,;С Г , = ^ - = <УЮ1[Г].7.60. Производятся четыре независимых измерения одной итой же величины X. Каждое измерение характеризуется одним итем же математическим ожиданием тх и средним квадратическимотклонением сг^. Результаты измерений: Xv X2, Х3, ХА. Рассматриваются разности между соседними измерениями: Yx — Х2 — Хг;Найти характеристики системы этих случайных величин: математические ожидания ту , га у , га у ; средние квадратическиеотклоненияо у , а у ,сгу ;нормированную корреляционную матри-цу к j\[V е ш е н и е.гап = га „ = га ,, = 0 .222У1о2У2В силу независимостиУзЛТвеличинXlyX2,Xz,X4* W 2 = M [ ( i 2 - i j ( i 3 - i 2 ) ] = -M[i 2 2 ] = -o^ ;^ 3 = M [ ( i 3 - i 2 ) ( i 4 - i 3 ) ] = -M[i2] = -a2;^ l , 8 = M [ ( i 2 - i 1 ) ( i 4 - i 3 ) ] = o.Г/ «192= Л, „= •-a.22a21• r2=01- -7.61.
Стрельба по некоторой цели Ц начинается в момент ее обнаружения и продолжается вплоть до некоторого момента t*, в который цель покидает зону обстрела и становится уже недоступной. Момент Т, в который обнаруживается цель, представляет собой случайную величину, распределенную с постояннойплотностью в промежутке от 0 до t*. Число выстрелов, котороеможет быть осуществлено по цели за время ее обстрела £*— Г, естьслучайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием а = \(£* — Г).
При каждом выстреле цельпоражается с вероятностью р. Найти полную вероятность поражения цели с учетом случайности момента обнаружения.Р е ш е н и е . Вероятность поражения цели есть функция момента обнаружения р (Г). Рассматривая пуассоновский поток«поражающих» выстрелов с плотностью \р, имеем р(Т) = 1 —_е-рЧ**-т) Полная вероятность пораженияt*-p\t*p\VОтметим, что при малых p\t* будет р « - p \ t * .7.62. Имеется кубический бак с горючим, на одной из шестистенок которого случайным образом появляется пробоина от осколка; пробоина оказывается с равной вероятностью на любой изшести стенок бака и в любой точке каждой из шести стенок.Вследствие наличия пробоины из бака вытекает все горючее, находящееся выше пробоины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
