Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваютсясобытия:А — обнаружен ровно один из четырех объектов;В — обнаружен хотя бы один объект;С — обнаружено не менее двух объектов;D — обнаружено ровно два объекта;Е — обнаружено ровно три объекта;F — обнаружены все четыре объекта.Указать, в чем состоят события:1)А + В; 2) АВ; 3) В + С; 4) ВС; 5) D + Е -f F; 6) BF.Совпадают ли события BF и CF? Совпадают ли события ВСnD?О т в е т . 1)А + В=В; 2) АВ = А; 3) В + С= В;А)ВС=С;5)D + E + F=C;6)BF= F.BFn CF совпадают; ВС и D не совпадают.2.6.
Событие В является частным случаем события А, т.е. из появления события В сдостоверностью вытекает появление события А (рис. 2.6). Чему равны: 1) их сумма;2) их произведние?ОтветЛ)А + В =Рис. 2.622А;2)АВ=В.2.7. Назвать противоположные для следующих событий:А — выпадение двух гербов при бросаниидвух монет;В — появление белого шара при вынимании одного шараиз урны, в которой 2 белых, 3 черных и 4 красных шара;С — три попадания при трех выстрелах;D — хотя бы одно попадание при пяти выстрелах;Е— не более двух попаданий при пяти выстрелах;F — выигрыш первого игрока при игре в шахматы.О т в е т ы.
А — выпадение хотя бы одной цифры;В — появление черного или красного шара;С — хотя бы один промах;D — все пять промахов;Е — более двух попаданий;F — выигрыш второго или ничья.2.8. Событие В есть частный случай события Л, т.е. из появления события В следует, что событие А произошло. Следует ли изД что А произошло?О т в е т . Нет, не следует! Например: опыт состоит из двух выстрелов; А — хотя бы одно попадание; В — два попадания.
Еслипроизошло Д из этого следует, что А произошло. Если же произошло В (менее двух попаданий), из этого еще не следует^чтопроизошло А (ни одного попадания). Наоборот, из А следует В.2.9. Если событие В представляет собой частный случай события Ау зависимы эти события или нет?О т в е т . Зависимы, если Р(А) ^ 1, так как Р (А \В) = 1.2.10. Зависимы или независимы:1) несовместные события;2) события, образующие полную группу;3) равновозможные события?О т в е т .
1) Зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль вероятности всех остальных; 2) зависимы, так как непоявление всех, кроме одного, обращает в единицу вероятностьпоследнего; 3) могут быть как зависимы, так и независимы.2.11. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет.Рассматриваются события:А — выпадение герба на первой монете;D — выпадение хотя бы одного герба;Е — выпадение хотя бы одной цифры;F — выпадение герба на второй монете.Определить, зависимы или независимы пары событий:1)AHE;2)AHF;3)DHE;4)DHF.Определить условные и безусловные вероятности событий вкаждой паре.23Ответ.311)Р (£) = - ; Р (Е \А) = -; события зависимы.2)Р(Л)=Л; Р (Л |F) = - ; события независимы23)P(Z>) = i ; Р (D |1?) = - ; события зависимы,о44)Р(Д)=Л Р (D \F) = 1; события зависимы.42.12.
Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:А — появление туза;В — появление карты красной масти;С — появление бубнового туза;D — появление десятки.Зависимы или независимы следующие пары событий:1) А и В; 2) А и С; 3) В и С; 4) 5 и Д 5) С и D?Ответ:1) независимы, так как Р (А) = — = —; Р (А \В) = — = —;vv52 13'26 132) зависимы, так как Р(Л) = —; Р(А\С) = 1;±о3) зависимы, так как Р (В) = - ; Р (В | С) = 1;4) независимы, так как Р (В) = - ; Р (В |D) = - ;5) зависимы, так как несовместны.2.13. В урне а белых (б) и Ъ черных (ч) шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара.
Найти вероятность того, что оба шара будут белыми1^.О т в е т. По теореме умножения вероятностейР(бб) = - 2iZlL..а+Ъ а+Ъ—12.14. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимаетсяодин шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. Послеэтого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, чтооба вынутые шара будут белыми.Ответ. Iа+ЬДанная задача, как и ряд других в гл. 2, может быть решена и с помощью непосредственного подсчета числа случаев; здесь требуется решить их с помощью теорем сложения или умножения.242.15. В урне а белых и Ь черных шаров.
Из урны вынимаютсясразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.Р е ш е н и е . Событие может появиться в двух несовместных вариантах: бч или чб; по теоремам сложения и умноженияР(бч-Ьчб) =а + ба + Ь - 1Ьа + Ь а + Ь-1(а + Ь)(а + Ь - 1 )2.16. Та же задача, но шары вынимаются последовательно и после вынимания первый шар возвращается в урну.Ответ. 2-.(а + Ь)22.17. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны в случайномпорядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары.Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.Р е ш е н и е .
Вероятность события может быть найдена непосредственно (см. задачу 1.10). Тот же результат может быть получен и по теоремам сложения и умножения:Р(6б + чб) = —±^±- +a+Ъ а+ Ь— 1а+ Ъ а+ Ъ—1а+Ь2.18. В урне а белых, Ъ черных и с красных (к) шаров. Три изних вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайнеймере два из них будут одноцветными.Р е ш е н и е . Чтобы найти вероятность события А — по крайнеймере два шара будут одноцветными, — перейдем к противоположному А — все шары разных цветов:Р (А) = Р (бчк + бкч+ кчб +...) =V/у6 комбинацийаЬса + Ь + с а + Ь + с — 1 а + 6-fc — 2ОтсюдаР(Л) = 1 - Р ( Л ) = 1 -fo6c(а + Ь + с)(а + Ъ + с - 1)(о + Ь + с - 2)2.19. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами.Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно.
При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероят25ность того, что после трех игр в коробке не останется неигранныхмячей?Р е ш е н и е . Событие А может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено; поэтомуР(Л)-1 6 5 4 3 2 1_ 59 8 7 9 8 7 17642.20. В коробке N= IM новых теннисных мячей; для однойигры из коробки вынимают М мячей; после игры их возвращают вкоробку.
Найти вероятность того, что после I игр в коробке не останется неигранных мячей.TW.X(N-M)\О т в е т . Р(А) =^'—.[ЛГ(ЛГ_1)...(ЛГ-М + 1)] М2.21. В ящике лежат п новых теннисных мячей; А; из них вынимаются и ими играют \к < — . После игры мячи возвращаются вящик. Следующий раз из ящика снова берут наугад к мячей. Найти вероятность того, что все эти к мячей будут новыми (неигранными).~п-кп-к-1п-2к + 1[(п-к)\}2О т в е т. р =...= ——— .пп—1п —k+lп\(п—2к)\2.22. Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковые размеры обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них можетотличить правую калошу от левой, но не может отличить свою отчужой. Найти вероятности следующих событий:А — каждый гость наденет свои калоши;В — каждый гость, наденет калоши, относящиеся к одной паре(может быть и не свои).Р е ш е н и е .
Каждый гость выбирает одну правую калошу и одну левую; правых калош Nn левых N. По теореме умноженияN2 (N-l)222(N\)2P(m = . i _ L _ . . . i = —.v}N N-lN\2.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий А и By если гости не могут отличить правой калоши от левой ипросто берут первые попавшиеся две калоши.Р е ш е н и е. По теореме умноженияP04) = A_JК J26?!_... = Ж_;2N 2N - 1 2N - 2 2N - 3(2ЛГ)!Р(В) = 1 — - — 1 — - — 1 — - — ... =,2 J V - 1 2АГ-3 2АГ-5(2ЛГ-1)!!где(27\Г - 1)!! = 1-3-5...(2i\T - 1).2.24.
Бросаются две монеты. Рассматриваются события:А — выпадение герба на первой монете;В — выпадение герба на второй монете.Найти вероятность события С = А + В.Решение.Р(С)= Р(А)- Р(АВ) = - + - - - = vv / + Р(В)v'2 2 4 4или, через противоположное событие, Р (С) = 1 — Р ( С ) = 1 —-I = i4~ А2.25. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбывероятность поражения первого двигателя равна pv второго двигателя р2, кабины пилота р3.
Части самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.Р е ш е н и е . Событие А — поражение самолета есть сумма двухсовместных событий:D — поражение обоих двигателей;К— поражение кабины.P(A) = P(D) + P(K)-P(DK)=Plp2+pz-Plp2pz.2.26. Два стрелка, независимо один от другого, делают по двавыстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания вмишень при одном выстреле для первого стрелка pv для второгор2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
