Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - Задачи и упражнения по теории вероятностей (1115276), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если ракета выведена в окрестность цели, она поражает ее с вероятностью р3- Найти вероятность того, что цель будет поражена.Ответ.рх[1-(1-р2рг)2].2.47. Производится стрельба одним осколочным снарядом побеспилотному самолету-разведчику. Уязвимыми частями самолета являются: двигатель и отсек с аппаратурой.
Поражение любойчасти приводит к выходу самолета из строя. При данном положении точки разрыва снаряда в двигатель попадает ml осколков, а вотсек аппаратуры га2 осколков. Каждый осколок, попавший в двигатель, поражает его независимо от других с вероятностью pv а попавший в отсек аппаратуры — с вероятностью р2. Найти вероятность вывода из строя самолета при данном положении точки разрыва.О т в е т . 1 - (1 - рг)П1(1 р2Г2.2.48. Производится стрельба двумя снарядами по к бакам с горючим (к > 2), расположенным рядом друг с другом в одну линию(рис. 2.48).Каждый снаряд независимо от других попадает в первый бак свероятностью pv во второй — с вероятностью р2 и т.д. Для воспламенения баков требуется два попадания в один и тот же бак илидва попадания в соседние баки.
Найти вероятность воспламенения баков.Р е ш е н и е . Событие А — воспламенение баков — распадаетсяна сумму двух вариантов:А = Аг + Л 2 ,0ЫВВВЫРис. 2.4832где А1 — оба снаряда попали в один бак;А2 — снаряды попали в соседние баки.г=1p(A2)= PiP2 +P2P1 +к-1+Р2Р3 + PzP2 + '-+Pk-iPk + PkPk-i = 2 ] C p * ' p * + i ;г=1к-1P(A) =2г =1J2p i+2T,PiPi +1г =12.49. Завод выпускает определенного вида изделия; каждое изделие может иметь дефект; вероятность дефекта р. После изготовления изделие осматривается последовательно к контролерами;г-й контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью р{ (г = 1,2, ..., к).
В случае обнаружения дефекта изделиебракуется. Определить вероятности событий:А — изделие будет забраковано;В — изделие будет забраковано вторым контролером;С — изделие будет забраковано всеми контролерами.к1О т в е т . Р(А) = р\P(B) =p(l-Pl)p 21х-Ш -^)г=1Р(С) = рЦр..г=12.50. Завод изготовляет определенного типа изделия; каждоеизделие имеет дефект с вероятностью р. Изделие осматриваетсяодним контролером; он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью pv а если дефект не обнаружен, пропускает изделие в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта; вероятность этого равна а.Найти вероятности следующих событий:А — изделие будет забраковано;В — изделие будет забраковано, но ошибочно;С — изделие будет пропущено в готовую продукцию с дефектом.О т в е т .
Р ( Л ) = рр1 + ( 1 - p)ot; Р(Я) = (1 - р)а;Р(С) = р(1 - рх).2.51. В условиях предыдущей задачи изделие осматривается неодним контролером, а двумя. Вероятности забраковать дефектноеизделие для первого и второго контролера равны соответственноpv pv вероятности по ошибке забраковать изделие, не имеющее де33фекта, равны соответственно а х , а 2. Если хотя бы один контролербракует изделие, оно идет в брак.
Найти вероятности событий А,В, С.О т в е т . Р(Л) = р [ 1 - ( 1 - р 1 ) ( 1 - р 2 ) ] + ( 1 - р ) [ 1 - ( 1 - а 1 ) хх(1 - а 2 )]; Р(В) = (1 - р)[1 - (1 - а , ) ( 1 - а 2 ) ] ; Р(С) = р(1 - рг) хх(1-р2).2.52. Прибор состоит из п блоков (рис. 2.52); выход из строякаждого блока означает выход из строя прибора в целом. Блокивыходят из строя независимоДПП Л ... Г ПРУГ о т ДРУга- Надежность (веI I I II I роятность безотказной работы)каждого блока равна р. Найтиv1 надежность Р прибора в целом.уКакова должна быть надежность рх каждого блока для обеспечения заданной надежностиРис. 2.52Рг системы?ИП р и м е ч а н и е . Здесь и в дальнейшем на схемах элементы, без которых работа системы невозможна, изображаются как звенья, соединенные«последовательно»; дублирующие друг друга элементы изображаются соединенными «параллельно».
Надежность каждого элемента записывается в соответствующем прямоугольнике.О т в е т . Р = р п ; рг =цр\.2.53. Для повышения надежности прибора он дублируетсядругим точно таким же прибором (рис. 2.53); надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя первого прибора происходитмгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройстваравна единице).
Определить надежностьсистемы двух дублирующих друг другаприборов.Рис. 2.53Р е ш е н и е . Отказ системы требует совместного отказа обоих приборов; надежность системы равна 1 — (1 — р) .2.54. Та же задача, но надежность переключающего устройства П, обеспечивающего переключение с отказавшего первогорприбора на второй, равна рг (рис. 2.54).О т в е т . Надежность системы 1 - (1 - р) хх(1ргр).рPi2.55. Для повышения надежности прибоПра он дублируется (п - 1) другими такимижеРис.
2.54приборами (рис. 2.55); надежность каж34дого прибора равна р. Найти надежностьР системы. Сколько надо взять приборов,чтобы повысить надежность до заданнойР{?P U-iP Up)";n>lg^~Pl\-lg(l-p)2.56. Та же задача, но для включения каждого дублирующего прибора применяетсяустройство с надежностью р1 (рис. 2.56).О т в е т . Р = 1 - (1 - р)(1 - ViP)',О т в е т . Р = 1 - (1 -п>lgfl-PJ-lgfl-p)P [—'Pi ic. 2.55+ 1.PIg(l-PiP)2.57*. Техническая система состоит изP H "Piп блоков, надежность каждого из которыхравна р.
Выход из строя хотя бы одногоP Uблока влечет за собой выход из строя всейPiсистемы.С целью повышения надежности системы производится дублирование, дляPiP H .чего выделено еще п таких же блоков.Надежность переключающих устройствполная. Определить, какой способ дубРис. 2.56лирования дает большую надежностьсистемы:а) дублирование каждого блока (рис. 2.57, а),ppp— •pppp—\ppp —ppбРис.
2.57б) дублирование всей системы (рис. 2.57, б).Р е ш е н и е . Надежность системы, дублированной по способуа), будет ра = [1 - (1 - р)2]71 ,по способу б): рб = 1 - (1 - рп ) 2 .Покажем, что ра > р6 при любом п > 1 и 0 < р < 1 .Так какра=[1-(1-р2)Г =[1-1 + 2р-р2]п =рп(2-р)»,р б = 1 - ( 1 - р п ) 2 = 1 - 1 + 2р" -р2пр"(2-рп),=то достаточно доказать неравенство: (2 — р)п > 2 — рп .Положим q = 1 — р (q > 0); неравенство примет вид(2-1 +?)" >2-(1-д)"ИЛИ(1 + 9 ) " + ( l - g ) n > 2 .Применяя формулу бинома, замечаем, что все отрицательныечлены уничтожаются:П(П - 1)(1 + ? ) я + ( l - g ) n =П(П - 1)1+Щ+—2оV + ...
+= 2 + n(n - I ) ? 2 + . - > 2 ,-нчто и доказывает требуемое неравенство.2.58. В технической системе дублированы не все, а только некоторые (наименее надежные) узлы. Надежности узлов проставлены на рис. 2.58. Определить надежность Р системы.О т в е т . Р = [1 - (1 - Pl)2][l - (1 - p2f}p3Pi[l- (1 - Рь?)-i^2 [Ръ\PiРзРгГРГРАРъ\Р21 ГРис.
2.582.59. Прибор состоит из трех узлов. В первом узле щ элементов, во втором п2 и в третьем щ. Для работы прибора безусловнонеобходим узел I; два других узла II и III дублируют друг друга(рис. 2.59). Надежность каждого элемента одна и та же и равна р.Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего36узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга.
Найти надежность прибора Р.Р е ш е н и е . Надежность узла I: р1 = р п 1.Надежность узла II: р1г = р"2.иhНадежность узла III: рш = рПъ._Надежность дублированного узла (II и III):ЧшнVудр}Рис. 2.59Надежность прибораp=pni[i-(i-pn*)(i-pn>)).2.60. Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна р;попадания отдельных ракет независимы.
Каждая попавшая ракетапоражает цель с вероятностью рг. Стрельба ведется до пораженияцели или до израсходования всего боезапаса; на базе имеется боезапас п ракет (п > 2). Найти вероятность того, что не весь этот боезапас будет израсходован.__Р е ш е н и е . Переходим к противоположному событию А —весь боезапас израсходован. Чтобы произошло событие А, первыеп - 1 ракет не должны поразить цель:Р(А) = (1-рр1)п-1]отсюда Р(Л) = 1 - ( 1 - р р 1 ) п " 1 .2.61. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,что после поражения цели в запасе останутся неизрасходованными не менее двух ракет.__Р е ш е н и е . Противоположное событие А — останется менеедвух ракет — равносильно тому, что первые п - 2 ракет не поразили цели:Р(1) = (1 - PPl)n-2;Р(Л) = 1 - (1 pPl)n-2.2.62.
В условиях задачи 2.60 найти вероятность того, что будетизрасходовано не более двух ракет.Р е ш е н и е . Чтобы было израсходовано не более двух ракет,достаточно, чтобы при первых двух выстрелах цель была поражена; вероятность этого Р(А) = 1 — (1 — ррх ) 2 .2.63. Производится стрельба двумя ракетами по самолету. Самолет имеет оборонительное вооружение, позволяющее ему произвести по каждой ракете два независимых выстрела. Каждым изэтих выстрелов ракета поражается с вероятностью р. Если ракетане поражена, то она независимо от другой поражает самолет с вероятностью Р.
Найти вероятность того, что самолет будет поражен.Р е ш е н и е . Чтобы поразить самолет, ракета должна быть непоражена. Вероятность поражения самолета одной ракетой с уче37том противодействия будет (1 — р)2Р,2а двумя ракетами 1 —2-[1-(1-Р) Р] .2.64. Радиолокационная станция ведет наблюдение за к объектами. За время наблюдения г-й объект может быть потерян свероятностью р{ (г = 1, 2,..., к). Найти вероятности следующихсобытий:А — ни один объект не будет потерян;В — будет потеряно не менее одного объекта;С — будет потеряно не более одного объекта.Ответ.
Р(А) = П(1 - Pi); Р(5) = 1 - П(1 - р. );г =1Р(С) = П(1 -i =1Pi)+ Pl(i - Р2)... 0-Рк)+!=1+(l-Pi)P2(1-Ps)-(l-ft) ++ ... + ( 1 - р 1 ) ( 1 - р 2 ) . . . ( 1 - Л _ 1 ) р 4 .Последнюю вероятность можно записать в виде2.65. Техническое устройство, состоящее из А; узлов, работало втечение некоторого времени t За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью qv второй — с вероятностью q2 ит.д. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживаети устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью р, а с вероятностью q = 1 — р объявляет узел исправным.Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя быодин узел устройства будет неисправным.Р е ш е н и е .
Вероятность г-му узлу быть неисправным послеосмотра равна вероятности того, что он стал неисправным за время t, умноженной на вероятность того, что наладчик не обнаружит этой неисправности: q{q. Вероятность того, что это событиеслучится хотя бы с одним из узлов, равна 1 — Г7 (1 — q • q).2.66. К условиям предыдущей задачи добавляется новое: по истечении времени t с вероятностью Q наладчика не оказывается наместе, и устройство пускается в ход без профилактического осмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
