Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 36
Текст из файла (страница 36)
3] Чтобы получить о.м.п. параметра О, надо максимизировать по 0 в л ину й (б,; 0) = Сэл „'/С'. Ио Я(ИЫ 0+1) (Р+1](г/ — л+б„— Р) 8(г(; Р) (Р+ 1 — г(.) (Г/ — Р) Ы, откуда изходни, что д (Иы Р+ !) ~» 2 (бж Р) при Р ~» — (Дг + 1) — 1. л б Следовательно, если число — (й/+ !) ие целое, то максимум дости.
л г г(. гается в точке Ре = гŠ— (йГ+ 1)) В противном случае максимум до- А стигается в двух точках: Рв н Ре — !. Таким образом, в любом случае о.м.п, б, Ре. 2.1Н. Фуикцнн правдоподобия для 1.8 выборки имеет внд Е! = Е/хг, 8*, Ог) =, ехР( — г (~ + (х! — 8.7)) (1(2л Вт) ' ( 28$ ! (см. решение задачи 2.86), а поскольку выборки независимы, Функция правдоподобна для всех выборок равна е = П 1.! = (2ле!т! гехр ! — — г 2', л,(хг — Оп)т— 20 где ! = — 2',ллл л = л|+ ...
+ ль Отсюда следует, что показатель л г 3 экспоненты не положителен и обращается в нуль лишь при Ол = хл / = 1, -. й. Ог = !. Тем самым о.м.п. параметров имеют указанный в задаче вид. /(алас имеем (см, решение задачи 2.!) х х 2001= — ХлЕ 5, = — Хл, т 1 л! 1 т и й т О, = О,, л,,' ' л,,' и, л следовательно, несмещенной оцснной 0', является в данном случае л статистика — 01.
л — й 2.116. Учитывая выбор константы с,, имеем у = Р, Ял ! Х вЂ” О(/О ( с ) = Р (0(! — с /т/л ) ( Х( В(! + с,/ /и )) = = Р, (Х/(! + ст/чг«) ( 0 ( Х/(1 — сг/ /и )). В случае модели с отрицательным параметром исходнОе равенстао принимает аид у = Ре(./л !Х вЂ” 01/!О! ( с,). откуда следует, что ис. комый интервал (Х/(! — ст/ /и) Х/(! + ст/-/л)).
2.116. !) Здесь Е,(С (Х; 0)) = !У(0, !) и, следовательно, С (Х; О)— центральная статистика. Далее получаем Ре (Х~ ( С (Х; 0) ( Дг) = Ф (Вг) — Ф (ф) = т о и решениями уравнений С(Х; О) = Хь бт являются У, = Х вЂ” — йь « Т, = Х вЂ” — йь Тем самым доверительныи интервал Лг(Х) имеет 181 Указанный вид. Его длина ! = — (Ор — й>), пазтомУ, чтобы по. =,/й строить наикратчайший интервал, нада минимизировать разность кт — йр при условии Ф (ьг) — Ф (йр) = т.
Для этого воспользуемся методом Лагранжа нахождения условного зкстремума. Составив функцию Лагранжа Н (йп йр, Ц = яр — я, + Л(Ф(др) — Ф (Ф) — у) и приравняв все ее частные производные нулю, получим систему уравнений Ф'(Ф) = Ф'(йт), Ф (йр) — Ф (др) = у. В силу четности аукав 02 цин Ф'(») = †,я е ' , нз первого уравнения получим я1 = — «р. у ил Учитывая второе уравнение и соотношение Ф ( — ») = 1 — Ф(»), полу- чим 2Ф (ят) — 1 = у, откуда ят = сг 2) Длина ! ловерительиого интервала Ьер(Х), доверительный уро- вень у и объем выборки л спнзаиы в данном случае соотношением 2ас, ! = —.
Отсюда имеем, что прн заданных ! и у необходимое число т/й наблюдений л = л(1, т) = [4 ~-1, а при заданных л н ! доверитель»1~л т ный уровень у = у (л, () = 2Ф гх — ) — 1. В частности, сарр = 2,5758 'ч 2а) н для 1 = 0,5 (при а = 1) величина л = 108, а для ! = 0,1л = 2553. 2.117. Плотность распределении случайной величины ТТО, явлню. щейся в данном случае центральной статистикой, равна — Рр ~ — ~ ») = — Рр ~ г- ~ »') = 2»й (»'), д» ' ~ 0 ) д» ' ~ 0 пазтаму Рр (О р= йг(Х)) = Рр(а, ( — < ар) = 2)»й„(»т)р!» = у.
Т 0 Наикратчайший из рассматриваемых интервалов находится мнкимиза. цней отношении ат/а~ при условии )»й.(»р)р!» = —. Метод исопреде- 7 2' ленных множителей Лагранжа приводит в данном случае к уравнениям 1 атрй (а[) = азрй (ар) ~ й (») б» = т котоРые а обозиачениах а', = Хт„„, азр = Ктр „„сводатси к УРавненкЯм 1 ! ° Этн соотношение однозначна определяют а[ и ар, а тем самым и Х'„й„, Д,г „[1, с. 86, табл.
2.3[. Таким образом, оптимальный интервал имеет вид бч(Х) = (ТТ, ТТ) = (Тук,,с ТТхы „). 2.118. Здесь центральная статистика б (Х; т) = Тт/т, т = 0', и ут. верждеиия следуют из предыдущей задачи. 2.119. На основании указания имеем Р, (;1л — 1(Х вЂ” 0~)/5 ( ( гь — ~) = у, откуда следует что нижний у-доверительный интервал таков; (Х вЂ” 1,, >5/х/л — 1 ( О,). Аналогично, нз соотношения Рэ ( /л — 1(Х вЂ” О~)/5 ~ )— 1г,) = у получаем верхний у.доверитель- ный интервал: (О, ~ Х+ 1, „.~5ь/т/л — 1).
Наконец, центральным дву- сторонним у-лов рительпым интервалом является интервал (Х~ ~ 1,г 5/т/л — 1). Этот интервал имеет наименьшую длину среди всех у-доверительных интервалов вида (Х вЂ” а,5. Х + ат5), что дока- зывается так же, как аналогичное утвержление в задаче 2.116. 2.120. Здесь л5т/т — нентральнан статистика и центральным у.доверительным интервалом является интервал (л5'/х(ч.т л5'/х), ), а нижним и верхним у-ловерительными интервалами — саотнетстаснпо интервалы (л5'/у', . ~ ( От) и (От ~б.
л5Щ-т,, ~). 2.122. Выборочные средние Х и У независимы и нориальны И (О ~ а(/л) и ДГ(0' ~ атьтп) соответственно, поэтому Е(Х вЂ” У) = й((т, ат). Следовательно, (Х вЂ” У вЂ” т)/а — центральная статистика для т; у-доверительный интервал находится, как и в задаче 2.116 и имеет вид (Х вЂ” У ~ стт/ат~/и + ат/т]. Х вЂ” 091 1 У вЂ” О(г' 2.123. Поскольку Е( ) =- Л/(О, — ). Е( — ) = и/(О, — ), Е( —;5'(Х)) = Х'(л — 1), Е( — 4'(У)) = Х'( — 1), в силу независимости выборок = дг(0, 1), Е( —,!л5'(Х) + т5'(У))) = Х'(гп + л — 2), (о при этом случайные величины Х вЂ” У и л5'(Х)+ т5'(У) иезависимм (на основании теоремы Фишера).
Отсюда Е(1 э. г) = 5(гп+л — 2) н, следовательно, 1„+. т — центральная статистика для т. Соответствую- ший у-доверительный интервал строится так же, как и в задаче 2.119, и имеет вил ыт, 2.!26. ((о теореме Фишера Е(п5'(Х)/0(Ч5) = Х'(л — 1), 1(т Х Х 5т(У)/О(т1) = уэ(т — 1) и 5'(Х) и 5'(У) независимы, следовательно, Ь[Г, ь ~) = 5(л — 1, т — 1). Отсюда получаем, что центральный у-доверительный интервал для т имеет вид — ' /'; ..— я(т — 1) 5'(Х) / л(т — 1) 5'(Х) / т(л — 1) 5(У)/ 'ьтт, —, ° — ' т(л — 1) 5т(У)7 ~-'тл ° — . -)' 2.127. Так как Е(2лХ/0,) = х'(2л), Е(2ту/0,1 = хг(2т), то е(тх/У) = 5(2л, 2т).
Отсюда, нан и 0 предыдущей задаче, получаем, что искомый интервал имеет вид У/Х, г",. У/Х). 193 2.!28. Так как РХХго) х) = Рй(Х~ > х) = с и™ при х > О, то 1 Рт(0 ( х1п ( х + О) = 1 — е "* = у при х = — — ! п (1 — у), 1. е ( хгч + л 1 + — !п (! — Т), Хп!) — искомый интервал. л 2.120. Так как Еа(Х,/8) = В(0, 1), то Ер(ХО!/0) = 0(л, !) (см, зада'чу 1.35). Отсюда при 0 (~ ! (~ 1 пп Р.((ХО/О)" !) =Р,(ХО,/8~ ". = ') о Отсюда Р,) Хы, < 0 С Хи!/к(1 — у) = Р((/чю/О)" > 1 — у) = у.
Так как ь,(2Т/О') = кт(2л), то Рь! и', т " т(8) < 2~ ех ) = у, что зкаиаалентно утверждению. 2.131. Имеем Ре (Оь т) Е Ст(Х)) = Ра( /и (Х вЂ” О~ ! От ' ( с и К~~ ~ л5т/От~ ( ~ К ~Саха,) = Р Д ~й ! Х вЂ” 0~ ! От ( ст,)Рс(К у, лб /8! О г т / !+уз 1 — тэк ( Хьхлт,) = (Ф(сп) — % — сп))~ — — =) = т у = у. 2 2.132. Согласна задаче !.59 п. 0) квадратичная форма т 2п 1 г —,(Х,-0,) — — (Х,-О,)(Х,— О,)+ — (Х,-0,) о<от от при любых О и '~~ имеет распределение кт(2), поэтому у = РаЯ ~ Х„'л) = Р„(0 Е б,(Х)), где бт(Х) = (О; С! = л(Х, — Оп Хт — Оэ)'Х, '(Х> — 8,, Хт — От) ( дттэ).
таким образом, бт(х) — искомая т доверительная область для 0 = = (Оь От). Это внутренность эллипса с центром в случайной то~не (Хь Хт), граница которого задается ураанепием () = дттт. 2.133. посколъну В3лт) = В1(ш О) (задача 1.30 п, 3)), случайная величина Т принимает значения О, 1/л, 2/л, ..., л/л и ес функция распределения Е( —, 0) = ~„С~,О'(1 — О)" Хл' ° =о является пепрерыаной и монотонно убывающей по О (при й ( л)! Р'! —; 8) = — лсь 10а(1 — О)" ь 3 с" О, й л л ' л Следовательно, искомый иитераал определяется решениями уравнений Г(Т; О) = 1 — Г(Т вЂ” 0; О) = (1 — у)/2, которые имеют указанный в формулировке задачи аид.
Если число наблюдений и велико, то для быстрого нахождении приближенного доверительного интервала для 6 можно воспользоватьсн асимптотической теорией оценок максимального правдоподобия. В данном случае о.м.п. 0 = Х (см. задачу 2.84) и функции информации 1(0) = (0(1 — 6)) ' (см. задачу 2.43), поэтому искомый интервал имеет вид (Х ~ сгч/Х(! — Х)/и). 2.134. При больших и имеем с' Ре(х/гг)Х вЂ” 6!/ гО(1 — 0) ( с,] = Рр((Х вЂ” 6)' ( — ' 0(1 — О)) и = Рэ(0т(1+ — ') — 20(Х+ — 'г) + Х' (О) = Ре((0 — Т~) (О Тт] ~ 0) = Рэ(Т~ ( О ( Тг), где ст Т,л = Тьт(Х) =(Х+ — "сй Х(1 — Х) — "+ — г 1+ — ' 2л и 4пг гг Таким образом, (Т„Тг! — искомый приближенный у-довернтельный интервал.
Если пренебречь членами порядка 1/л, то этот интервал «(г, хз х)гч у у г г задаче. 2.138. Поскольку дэ(2,/л(т(Х) — т(0))) Ф(0, 1], прн больших л у ка Рэ(2 т!л ! т(Х) — т(0) ! ( с ) = Рэ( т(Х) — —" ( т(0] ( т(Х) + — ' 2чгп 2./л/ что эквивалентно утверждению. 2337. Решение данной задачи аналогично решению задачи 2333, Здесь Цпу) = Л(нй), величина Т принимает значение А/гг, й = О, 1, 2, ..., и ее функция распределения р( й, 0) ~ — ч(ггб) непрерывна и монотонно убывает по О; у /г Х пО)' !В Поэтому искомый интервал определяется решениями уравнений Г(Т; 0) = 1 — Г(Т вЂ” 0; О) = (! — у)/2, которые имеют указанный аид.
При больших л (согласно задачам 2.84 и 2.43) справедлива аппроксимация для о.м п. 0 = Х: й,(-т,(' —" (х — 6)) — йг(0, 1), Х откуда следует указанный вид прибли>кенггого интервала. 2.138. В первом случае имеем у Ра(2т/гг! /Х т/6! < с ) Р(гпзх(0, 3/Х ~) < угО с т/Х+ 2/л г 195 Отсюда следует, что (~шах(0, -/Х вЂ” — «)~, (-/х+ — ') ) — нс2ь(л 2 Глг камый приближенный у.доверительный интервал дла О. Аналогична, используя другую аппроксимацию, имеем т Рг(Х/л!Х вЂ” О!/ХгО < с ) = Рг((Х 0) < с«0/и) = = Рь(0' — 20(Х+ — «) + Л' < 0) = Р (Тг < О < Т«1, г г — с, с« где Тш = Тсг(Х) = Х + — Т- Х вЂ” + — ";.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
