Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 34
Текст из файла (страница 34)
С помощью подстановкн 191 1 0 = х + — Т44 ураппепие правдоподобия приводится к каноническому 3 виду х + Зр х + 2 Г. = О, зр. = Т4, + Т㻠— — Т4» — 1, » 1 3 г( 2» 24, = Т4»( — (Т44+ Т»»] — — Т4» — 1) ° ~з 21 Условием того, что оио имеет едянственный действительный корень, является неравенство р,'+ дг ~ О, (см. Решение задачи 229), которое очевидно при р, ) О. Так нак выборочные моменты сходятся по вероитностн прн и-4. о» к соответствуюшнм теоретическим моментам (см. решение задачи 1.38), то р. сходится по вероятности к величине 1 г г 1»т — 1т)+ 1 — — 0 — 1) = — 1ч! — — О ) ) О.
Таким образом, при больз~ з ) з~ з ) ших значениях л уравнение правдоподобия имеет один дейстнительный корень, который и является оценкой максимального правдоподобия О.. Асимптотн4еская дисперсия оценки О, равна 1»4!.(0), где а»!пЛ Г 1+О' 40 !+30' 4 (0) = — Еа — т = — пЕ»[ — — г т + — — ~-г-Т4» тт(Т44 ай ( (! — 0) (1 — 0) (1 — О) г 1+0» 40» 1+30» — 2ОТ„+ Тм)Ъ = — [ + —,-., — —,—,(2 — 20»)~= ( (! -О ) (! - а ) (! - О ) 1 + 0» (! — 0~)~ Таким образом, при л о» Ей,Т (΄— 0))- й((О, (': — ".,-) . 2.92. По центральной предельной теореме статистика Т„асимпто.
ти 4ески нормальна с нептром в 0 и асимптотической дисперсией ! — В»(Х4У4) = — [Еа(Х»4У»4) — О'), поэтому задача сводится к вычислению и и смешанного момента Еа(Х(У»4). Твк как в данком случае характеристическая функции Ч((, 1») = Е»с!ь~'4'ьг) = схр ( — — (г»4 + 20!41» + !3~, 2 то а4 Е (Х»у») Ч( 4») ~ — 1+ 20» дг)аг» 4 ! =о Таким образом, ()4(Х4У,) = 1+ 0' и поэтому асимптотическая эффектна. ность оценки Т. равна еб(Ты О) = (- — р) . 2.93. 1) Рассмотрим функцию правдоподобия Л вЂ” 4 Е(х; 0) = П)(х4, 0) = [(2н)')Х', ! ) ехр( — — Х, (х4 — р)'2, (хг — р)). 2, 182 Здесь ~ (х! — р):~Я '(х! — р) = ~; (х! — х) ~, '(х! — х) + г=! * л(х — р)",г; [х — р).
Использовав легко проверяемое равенство у'Ву = 1г(ВУ), где У = уу', и линейность оператора 1г, получим 2, '(х! — х)" Х', (х! — «) = и 1г (2', 2',(х)). ! ! Из этих соотношсннй следует приведенная в указании к задаче формула, нз которой следует, что максимизация по 0 функцнн Цх; О) эквивалентна минимизации по р н 2, 'функции «(х! р, Х) = (» — р)' Х (х — р) + )1г ф Х(х)) — й— -!П)х-'2(х))1. Обозначнм через Л!, ..., Л! корни харангернстнческого уравненнн 'Я(х) — ЛЕе ~ = О нлн, что то же, уравнення 1~,'(л)-Л2,' ~=0. Тогда выраженне в нвадратиых скобках равно Л! + ...+ Л! — й— — !п(Л!...Л!) н можно записать ф(х; Р.
2', У'= (х — !з)' Х', (х — Р) + 2, '(4 — ! — (п З,). ! ! — ! ПосколькУ 2,' положительно опРеделена н ! — 1 — !пЛ~ О, ззГЛ) О, нз последнего представления получаем ф(»! р, 2,') Ъ О, прнчем ра- венство нулю нмеет место только прн р = к н !.! = ...= Л! = !. т, е, когда 2; = Я(х). 2) Согласно задаче 2.4, несмещенной оценкой о,! является стал / и тнстнка — 5ч, следовательно, Егт — ~;) л — ! 'т и — ! 3) Чтобы получить указанное выражение для шахЦх,8), достав точно учесть, что!У® (х)2г(х))=1гЕ,=й. 2.04. Моменты Е!(Хз!) можно вычислить следующим образом.
Пусть 4(1]=Еге '=ехр(гУО!- — Оф тогда ну, 2 Е!(Х',) = Еее ' !р( —,) = ехр )йО, + — О!). Отсюда т!(0) = ЕеХ, = ехр (О + Оэ/2) тз(0) = (ЗэХ! = ЕеХ! — (ЕзХ!) = т~!(0)(е — !) Поскольку о. м. п. (Оы, 63.) = (У, 5'(У)), то согласно свойству ннварнантпостн оценок максимального правдоподобна т,.
= ехр(У + 5з(У)/2), тз, = т!'.(ез'У' — 1). !$3 Далее, поскольку у и Зт(у) независимы (см. задачу !.66], Еэт, зйуыэ г Оз! тт = Еее Е,е . Здесь Е!(У]=АГ(О!,— ) и аналогично предыдущему ' л) Еэе' = ехр(О, + 0',/(2л)). Далее имеем Еалд'(У]/От) = д'(л — 1) (см., например, решение задачи 1.88), поэтому ееез ГУ]/Э = 9(0$/(2!и)), где 9(!) = Еелх'- = (1 — 29) (см. решение задачи 1.39). Отсюда "М Отт еэез !У!гэ = (1 — — ) 2 . из этих соотношений окончательно находим л/ Еэт„тг(0)ехр (- — От! (1 — — ) — -ьт!(В). 2л 1т л) 2.96. Здесь л до1п.(ал)=!01п(0" ) "(О)па(»]»1=0 — Д(О)/((О)= — (.— 1ь(0]), В где 9(О) = ОД(0)/((0) = 2',»л(»)О'/((О) = Ечб.
Отсюда следует, что урване- ине вравдоподобия имеет указанный вид. Асимптотическая дисперсня оценки О равна (ш(0)) ', где функция информации равна г(О) = — еа — т(п)($; и) = еэ( — -э — + — ) = и'(0)/В. дт г Š— р(О) и'(В) \ дО ' ~ 6 6) УО В частности, для распределении В!(г, 0) среднее р(О) — н реше. 1 — 0 кием уравнения р(В) = Х являетсн О„=.ч/(г + Х) (что совпадает с ре- зультатом, полученным при решении задачи 2.84], а !(0) = н (0) Π— — Р- (результат, приведенный а задаче 2АЗ). 2.97. В данном случае ))О) = е' — 1, н(О] = О/(1 — е В] а уравнение правдоподобна 0=»(1 — е ) точно решить нельзя, поэтому для при. блнженкого вычисления о.
и. и. О„можно воспользоваться методом накопления. Здесь (см. решение задачи 2.96) (/(»; 6) = — (п Е(»; 6) = — (» — р(0)), г(0) = д л . 1 — (1+0)е ' дВ ' 0 ' 0(1 — е ')' н искомые уравнения имеют внд о =о +(г(;О]/( !(6]], 8=о, 1,... 2.98. Для записи этих уравнений (см. решение предыдущей задачи) д!п б(0) надо знать функцию внлада ЦО) = — н функцию информации д(/(О) г„(0) = — Ее —.
В данном случае до л1 » Цо) = ... П Рь(0], и(0) = ]'. — 'РДВ], л,!...!ьг,, ',, р,(о) ' .э)= — х ' ' ' !» - зы!о!г! м, РУ(0)Р(0) — (РЯВ))' Р(0] ! » поскольку Еэй! = лр(0] и ~ Р,(0) = 1 э!/О 184 2.99. Так как здесь <(0) = '/х (задача 2.43), то итерационная процедура имеет внд 2 .г, — 0 а.,-ь.:.— ч,е -ц ..., ~<ч- х л ' ' ' "",, 1+(х< — О) В качестве начального приближенна Вэ можно взять значепне выборочной меднаны Т. = Х<!.
1+,>, которая является состоятельной оценкой О, поскольку теоретнческая медиана в данном случае совпадает с В. Иэ задачн 1.32 следует, что прн л- ео ейт.)-79(в, — ) д<(0,— ). Следовательно, еИ(Т„; О) =-э=0,9... В и 2.100. Записав функцню правдоподобия в виде Цх;О)=е(В— — х<,>)/О" (см. решение задача 2.73), внднм, что она монотонно убывает по 0 лля О) х<.>, т. е.
принимает наибольшее значснне прн В =х<.>. Отсюда следует, что О. =Х<.>. Используя решение задачн 224, находам л В Еэф, = — 0= 0 — —, т. е. оценка 6, асимптотнческн несмещена, "= и+! = л+! ' ьа= 9 о ..*. <. (л+ !)(и + 2) Функция распределення Х<,> приведена в решении задачн 2.79. Отсюда нмеем, что прн ! ~ 0 Рэ( В п~~!)=Р (Х<>~~В(1 „))=1 (! ) ! е 0-0„ 3 т. е. в данном случае распределение О. не является аснмптотнческн нормальным (модель не регулярная). 1 2 101. Из вида функцнн правдоподобия Цх; О) = е ! О+ — — х< >) Х 2 ! т 1 >(е(х<>-0-1- — ) следует, что Цх; О] = 1 при всех О <и >ьх<„> — —, 2' ! к<о+ — л>,следовательно, любое значение 0 нз этого интервала макси- 2 л' 1 13 мнзирует Цх; В).
Пронзвольная точка Тш (Х<,> — —, Х<0+ — х! может г' 23 13 Й быть записана а ваде Т = а(Х<,> — — ) + (1 — а)(Хц> + — />, а щ 2) <ы (О, 1) Отсюда для нахождения несмещенной оценки В получаем условие ! Еэу = — — а + айэХ<,>+ (1 — а)ЕэХ<П = В Ь/О.
2 Воспользовавшнсь решеннем задачи 1.36, получнм, что а = —, 2' 1 Т = — (Х<ч + Х< >] — средняя точка интервала. 2 2.!02. В данном случае плотность ((х< В) = Ь 'а(х — 0]' '>( хехр( — ь (х — 0)'), х ,'м О, поэтому функция правдоподобия имеет внд 199 Цх; О) = П((хл О) = Ь '"и'е(х, — 0)П (хо! — О)' 'ехр( — ( — ') !. С!на монотонно возрастает на интервале — со < О ( хп! и равна нулю при 0) хгь следовательно, О = хгп — точка ее максимума. Рассматриваемая модель ке является регулярной, но о.
и. п. О, = Кщ в силу решения задачи 2.26 асимптотнческн нссмсзцена и состоятельна. Аснмптотн. ческос распределение Хп> приведена в решении задачи 1.37 н оно не является нормальным. т 2;л 2.!03. Здесь функция правдоподобин Цх,О]=~ — ) е ггтПхь Т= 3 д!пЕ = Х; х, и уравнение правдоподобия — = 0 имеет едянственное ре- 60 щенке О,= Т/л, макснмнзнрующее Л(х.О). Дашшн модель является частным случаем модели Вейбулла с„нензвестным параметром масштаба (см. задачу 2.76), пазтому о. и. п. О, совпадает с полной достаточной статистикой н является, в частностн, несмещенной одтнмальной оценкой О.
2.104. Внд о. и. п. т, следует нз решения здаачн 2.64 н свойства ннварнантностн оценок максимального правдоподобна. Из решения Лл .. Лл — ! задачи 2.2! имеем, что т. = — т(, где т(= — — несмещенная Лл — ! Т оценка О '. Отсюда имеем Езт. = — 0 = В + Л Лл — ! (Лл — Но ' т. е. т„ — аснмптотнческн несмещенная оценка. 7(алев получаем Лл Лл — — ( . 6.~). (Лл)' „з 0 т (т'(0))т (Лл — 1) (Лл — 2) Лл и!(0) 71 Отсюда следует состоятельносты.
н тот факт, что Хч(т,) У( —, ~). 2.106. В данном случае макснмнзацня функция правдоподобня сводктся к минимизации суммы Х; (х; — О ( = Х,' (хо! — О ~, откуда сле! дует, что О, совпадает с выборочной меднаной. Здесь нельзя воспользоватьсн теоремами об асимптотической нормальности о. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
