Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 32
Текст из файла (страница 32)
решекие задач)г 2.2~). Из задачи 1.52 и. 6) следует, чта оптимальиой оценкой т(О) =р~'...Ри" при й< +...+Ли( и является статистика т' =гщ)»,...(ио)»и/(л)»,+,,+»и Оценки для произвольных полипомов строят с помощью линейных комбинаций этих статистик (на осиоваиин лииейвости свойства оптимальности). 2.64. Модель 51[В, а') является моделью зкмпоиенциального типа и выборочное среднее Х является для нее полной достаточной статистикой поэтому Т вЂ” оптимальная несмещенная оценка функции т(В) = О (ср. с задачей 2.50). Аналогично доказывается оптимальность оценок, укаэанных в задаче 2.!б, поскольку То — полная достаточная статистика для модели д!(и, В').
2.85. Имеем Е»Т~ = Ро(5 ( хо) = т(0), т. е. Т, — несмещенная оценка т(8). Поскольку в данном случае (см. решение задачи 2.6о) полная достаточная статистика есть Х, оптимальная оценка может быть вычислена по формуле — Ео(Т~(Л) = Ро(Х~ — Х ~ хо — Л) Х). Но К, — К и Х независимы (см. задачу 1.56) и ьо(К~ — Л) = л †! = й((О,— а 1, поэтому и г ~п хо — Хх то = Ро(Х~ — Х ~ хо — Х) = Ф( т()— ~7л — 1 а 2.66. Функцию )(х; 0) можно в даином случае записать в виде 8, 7 (х; 8) = еар ( 0[х + 0(х' + с (81, 01)), 01 = — т, Во = — »-.
)' 8»' 28»' Согласив критерию для г-параметрического экспоненциального семей» и став отсюда следует, что ( Л, 'Х„~', Х,') — минимальная полная дог=! 1=! статочнаи статистика. Таковой же является и эквивалентная ей пара (Х 5'), поскольку эти две статистики взаимно одкозпачко определяют друг друга. Отсюда следует оптимальность укаэанных в задаче 2.20 оценок.
л — 1 л — ! 2.67. Так как Е,(5') = — р, = — у О (см. задачу 1.27), л л л+ о Ео(Л») = 8» + — у'В' = — О' (см. задачу 2.13), то»х В Еир(Т) = и и = О. т. е. критерий полноты ке выполняется. 2.68. Пусть Х = (Хь ..., Х,) — соответствующие измерения: тогда х — выборка из распределения йг(вь Вгг) и речь идет об оценивании параметрической фуннции т (О) = — Ог. Используя решение задачи 2.67, находим, что гй г ! г ! л ! г г Ег~Л' — — 3) = В, + — В, — — — В, = Вь л — 1 л л — 1 и Отсюда в силу полноты достаточной статистики Т = (Х Зг) (см. зада. чу 2.66) следует, чта оптимальной несмещенной оценкой т(В) является ° н l- гг статистика ть = — гчХг — — 5 ). 4 ч и — 1 2.60.
Для любого события А условная рх(Т) = Рг(Тг 6 А!Т) н безусловная ух = Р,(Т, 6 А) вероятности по условию ие зависят от параметра О, при атом Еарл(Т) ум т. е. Егб(Т) Ох~В, где б(Т) = Рл(Т) — 74 Отсюда н нз условия полноты статистики Т следует, что яг„(Т) вн 74, т. е. указанные условная и безусловная вераятноств совпадают. Но зто и означает, что статистики Т, н Т независимы. 2.70. В данном случае Ту = Х! + Х$ + Х1 — полная достаточная статистика (см, решение задачи 2.64) и Тг 7(Хг г хг) — несмещенная оценка т(В), поэтому оптимальная оценка тз = Ег(уг!Т) = Ргг — г ( — г ~ Т). ~Т Т Здесь статистика П = Хг/Т = Угой + д, где Уг = Хг/В, 1 = 1, 2, 3, Хг г= Угг + Ум имеет РаспРеделенне, не зависЯщее от паРаметРа О (поскольку Ег(уг) = 37(0,1), г' 1,2,3)„следовательно, по теореме Басу (см.
задачу 2.69), П и Т независимы. Итак, ть = Тггь — ), где Рч(и) = гхг ъ = Р(П ~ и). Вид функции распределении Тг(и) получен в задаче 1ЛВ для произвольнога объема выборки. Полагая и = 4, в данном случае имеем: при О ( и ~ 1 хг(и) = 1 — — В~1 — и'! 1, — ) = —. при — 1г и(0 !+и Тг(и) = ! ~г( и) 2 Таким образом, 6(п) = !7( — 1,1) и окончательна получаем, что ! црн хг) Т, — ~~! + — ) прн !хг! и. :Т, 1г хгч т) 0 при хг ( — Т. Х вЂ” О 2.71.
Введем случайные величины Уг = — 0 —, 1 = 1, ..., и, распределение которых не зависит от 9 = (Вь Вг). Тогда Хг — Х Уг — У 5 (Х) 5 (У) т, е, распределение статистики (7 нс зависит от О. Поснальну Т = = (Х бг(Х)) — полная достаточная статистика для модели йГ(вг, 81) 173 (задача 2.66), па теореме Басу (см.
задачу 2.69) Т н Н независимы, 2.72. Так как Е,Т, = Ро(Хю щ хо) = т(0), та Тю — несмещенная оценка т(0). Следовательно, оптимальная опенка может быть найдена по формуле (далее Т = (Х, Яю)) тю = Ею(Т~)Т) = Рю(Х~ ( «ю)Т) = Рю(П ( ио! Т), Х| — Х «о — Х где П = . , ио = . Но на основании решення прет(л — ! 5 (» — 15 дыдущей задачи статистнкйцн Т независимы, поэтому то = Тю(ию). Функция распределення статистика П вычислена в задаче 1.58. Используя этот результат, получаем ! (, и — 2 11 2 т ' 2 '2г' ! — — В(! — июю; —, — 1.
если Х ( хо, 1 ю я — 2 ! — В(т! — июю; —, — ). если Хл хю. 2 т ' 2 ' 2)' Для расчетов можно попользовать таблицы функцны бета-распределе. ння В(1; о, Ь). 2.76. Модель Г (О, Ц является моделью экспоненциального типа н для нее Т = 2',Хг — полная достаточная статистика. Следовательно, ( ю указавыые а задаче 2.21 оценкн — оптымальыые. Чтобы доказать второе угвержденке, досгатачно убедиться в там, что ые существует фуыкцнк Н (Т), удовлетворяющей условию Е,Н (Т) = 0 '«гТ 0 ) О. Это условне межою запасать в виде ) Н,(х)е ™ю(х = г' "«ю/х > О, ю где х = —, Н~(х) = Н(х)х'" '/Г (Хл). 0' Если ж = о — ьл + ! — целое, та, прадифференцнровав это тождество па х т раз, получнм ~ Ню(х)х е Рйх О, о Этот интеграл есть преобразованке Лапласа от х Ню(х), поэтому отсюда следует, что Н(х) = О прн х ) О.
2.74. Так как Т вЂ” полная достаточная статистика, та достаточна убедиться в несмещенности оценкнгто Ео(Т) = Г(0, лл), поэтому е, р(гт) = ~ р(гх) '"-'е-"гюы((г(д )О'") = ю =10 (р) р"'-'е жару(Г(дл) (О!)( ). о Далее, 1 -мк «1,1мю-г1- Ь е — — ".(~)».— юГ (л !)) 174 Отсюда, так кап можно менять порядок интегрирования, получаем Е»т» = — т ~ф(0)Н' 'Е »Г'г/у Еар(Л]. 1 г (л)а В частности, если а ) — Л, тп для гр(х) = х' среднее Езф(4) суцгествует н т(0) = Е»ф(Ц = 0' Поэтому Г(Л -1- а) ! Г(лп)Т' (,„,, „„,б, Г(л )Г(о+ Л) Г(Л) Г(!.(и — 1)) ! Г(Л) Г(а + Лп) При а = 1, 2 приходим к результатам, полученным в задачам 2.48 н 2.51 соответственно. 2.75. Имеем т(0; 1) Езе(0 — 1) = Рэ(Л э 1), поэтому ! Г (Лп) 1,— и, " = Г (Л) Г (Л („,)) ) е ( Т вЂ” М (1 — ) * о Здесь е (хТ вЂ” !] = 1.»э х ~ Г/Т, поэтому, если Т ж: 1, то интеграл равен нулю, а при Т ~ 1 он выражается через функцию бета. распре.
делении: ~ хь '(1 — х)Ц" '! 'гГх = В(л, Л(п — 1]](1 — В ( —; Л, Л(п — 1)). Е частности, при Л = 1 1 В(х; 1,п — 1) = ((! — х]" тг(х = 1 — (1 — х)" =.(Е.- ) ~, что позволяет получить указанный результат для экспоненциального распределения. 2.70. Записав функцию правдоподобия в виде согласно критерию факторизации получаем, что Т вЂ” достаточнап сга. тпстика.
Найдем ее распределение. Заметив, что Р (2 а/О)' «х) = Р»(Е «О ~ — ")"") = 1 — е т, е, Еэ(2($/О)'] = Л~(2), аакодим Еэ(27/О') = Л'(2п]. Отсюда плотность распределения Т имеет аид — ! Г (п)0 " Условие Еэа(Т) = Оьг 0 ) О, в данном слУчае имеет внд 1 р(х)х" 'е»Вх = Оь/х > О. э Отсюда следует, что ф(х) = О, х ) О, т.
е. статистика Т вЂ” полная. Теперь достаточно проверить равенство Еэт' = т(0). Имеем (тзк как мажпа менять порядок интегрирования) Е»т» = (л — 1) )(! — 1)" '~~0((!х)Ы')/г(х) Ых~г)! = » » 1 а » =-с ~р(у)у' 'е '»Рггу = Еир(Ц = т(О). При о(х) = х" функция т (0) = 0" и т» = (и — !)Т ~1(! — 1)" »Н! = а Т/л. 2.77. Используя функцию Хевисвйда е (х), функцию правдоподобия можно записать в виде 1 ,х,— О,з Л (х; 0) — „П е (х~ — 0,) ехр !— е,",, о, ) 1 и = — „е (хн! — 01) ехр ! — — (х — О~)) .
Оз о Согласно критерию факторизации отсюда следует требуемое утверж. денис. 2.7В. Как н и задаче 2.77, запишем функцию правдоподобия в виде 1. (х; В) = Пг(хп О) е(хш — а(0)). Отсюда видно, что одномерной достаточной статистикой может быть тольно Хп н только в том случае, когда /(хп В) разлагается в произведение двух функций, одна из которых зависит от хь в другая — от О, т. е. если /(х; В) = й(х)/й (О). 2.79. Достаточность Х»г следует из решения предыдущей задачи. Чтобы проверить полноту, надо сначала найти распределение Хо» Имееы Р»(Хн! ( х) = Рв(Х~ ( х) = 1 — 11', О ( х ~ О.
ЛО)' Отсюда. если Е»гр(Хо) = — „([р(х] х" '»1х = 0 Х/ В ) О, е"; то, продиференцировав по О тождество )р(х) х" 'ох ии О, получим, что » о (О) = О, В ) О. Это означает полноту Хи> Поскольку Т» — несмещен. ная оценка В (см. задачу 2.24), она квк функция полной достаточной статистики является оптимальной среди всех песмещЕнпых оценок. Далее находим ехт. — Ву = е,(л(т'- о) + (л — 1) ог = = Л')у~т» + (Л вЂ” 1)'О' = »р (Л) 0', 176 х' где (см. решение задачи 2.24) 8 (х) = + (Л вЂ” 1)'.
Здесь л (л + 2) ! ° л(л + 2] поп»Р(д) = Р(дч] = т и хч = — г-. Таким обРазом, лла » (л + !) (л + 1) л+ 2 оценки Т» = — Х».» среднекзадратпческаи ошибка л+ ! О' 0' (л + !'Т' л (л + 2) 2.80. Длп модели й(0»,0») функция правдоподобия может быть записана в виде (.(х; 0) = е(8» — х»,»)е(х<»> — О,)/(Ог — 0»)', где е(т)— фуикция Хевисадда, следовательно, Т = (Хп» Х»„у — достаточная статистика. Плотиость распределения Т задана в задаче 1.36. Используя зтот результат, получаем, что условие Елр(Т) = 0 »У О зквивзлеитио условию ] 8 (х,, х»)(хг — «,)" ~»(х»»(х» 0 »~ О.
е, *, Дифференцируя зто тождество сначала по О», а затем по Ог, сводим его к тождеству 8(О», О»](О, — 0»)" ' = 0»~ О. Отсюда следует, что »р(Оь О») = 0 х»/ О» ( Ог, т, е, статистика Т вЂ” полива. Оценки, построеииые в задаче 2.25, представляют собой функции от Т, следова. л8» + 0» тельно, онп оптимальиы, Наконец, поскольку ЕеХп» = л+ 1 О, +пО» ЕеХ!.» = и+! (см, задачу 1,3б), статистики (л(Х»п — Х»,»]/(л — 1) и (и (Хм, — Х»»0/(и — 1) ивляются иесмещеииыми, а следовательно, и оптимальными опенками параметров О» и Ог соответствепио. 2.81.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
