Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 27
Текст из файла (страница 27)
г и. г ! ривапию. Тогда статистическим аналогом для коэффициента коррелп. ции р = сот (Еь $т)/~/ЯЪ~~ является р„= 5|г/5~5т. Если Е(3]3т) ( оо, то сушествУет О( 'Г~ Х„Хл) = — О(34з) н из неравенства Чебыг ! шева следует, что х — ~ Х„Хм -ь Е(3,3з) прн л -ь со. 1 р лг Но также Хг-~- Е3ь 5'(ХА-» Ось ! = 1, 2, поэтому р. -ь р, если толь- Р г Р Р но П3,»О,] = 1,2. 1.39. 1) Если А[с) = М(П, 'тэ), то Ееьг = е 2) Если Цц = Г(а, д], то Ееьз = (! — (о()' 3) Если цть ..., и,) = М(л; рь .,, р«), то Е(х,"„,*хх) = (х~р, + + ... +хара)". 4) Если Щ) = П(!), то Екг = е"' О б) Если Ц3) = В~(г, р), то Ехг = (1 — р)' ' 1.40.
Пусть 0 — ортогональная матрипа, прнводншан ~ к диагональному виду: 0'А,'0 = В, Обозначим В = 0Вмг; тогда ~„' = ВВ' и У = ВХ+ П, где номпоиеиты веятора Х независимы и нормальны Ф(0, 1). Далее, О Х'В'АВХ = Х'А,Х и по условию А', = В'АВВ'АВ = = В'АВ = А„т. е. матрипа А~ идемпотентна, Следовательно (см.
утверждение 2', п. 6 гл. !) Ц(]) = д'(1«А,), Но 1т А~ = (г(АВВ') = = 1г(А~ ] = гл, что и требовалось показать. 1.44. Совместная плотность распределения К~ и Хт равна и — 1 х,— 1 «ь+ «ь «г Яхь Кт) = + е ', х'ь хг)0. о '+ 'г(л<]г(л ) 145 х) Рассмотрим преобразование у< = х~ + хг, уг = . Оно взаимно«~ + хг однозначно отображает область (х,, «, ) О) на область (у~ ) О, 1 0 ( уг ( 1) н его якпбиан /(х,, хг) =— . Отсюда по формуле «~ + хг (1.2) плотность совместного распределения У, и Уг равна л, + л, — ! — х,/а л, — 1,! ,л, — ! У! е Уг 1 Уг) 1.46.
Формула для мамонтов следует аз обшей формулы для момен. тов распределения Г(а, Л) при а = 2. Л = — и свойства гамма-функл 2 ции! Г(Л+ П = ЛГ(Л). В частности, Ех', = 1, Охг, = 2. Согласно свойству воспроизводимости гамма-распределения Х' = Ь+ - + ( ° где слагаемые независимы н имеют одинаковое распределение Г(2, †) = Х (1). Следовательно, по центральной предельной теореме г случайная величина (х', — л)/т(2л пири л -г.
со асимптотически нормальна й((0, 1). 1 4Б. Первое утверждение есть прямое следствие формулы (1А). Во втором случае имеем 1 гл Р(а+!УС» «) = РЯ ~ ага!у(« — а)) = — ( — + агс(й(х — а)). п л2 Отсюда искомая плотность распределения ранна 1, 1 1 †в(й'(х — а] =— и и 1+(х-а)' ' 1.47. Поскольку Е!'„' = л'ЕпвЕ(Х.') ', при 2г». л иэ общих фориул лЛ длн моментов распределений й((0, 1) н Г(2, — ) имеем 2) Г ( — — г) ЕЧ' = 1 3" (2« — 1), Е(у,„') 2'Г ( — ) 1 (л — 2)(а — 4) "(л — 2г) ' Остальные утверждения о моментах следуют из аида плотности х.(х).
Утперждевне о сходнмости плотности э,(х) явлнется следствием соотно. шений л '"Г( — )//Г( — ) - 1/т(2 и (1+ — ) ' - е Наиоиен, по закону больших чисел Х /л -» 1. Но тогда ичл/Х. 1 и, г н г — ч в следователшю. ЦГ„)-» ЦЧ) = ЛГ(0, 1) (см, утверждения 1' и 2' в), п. 4 гл. 1 ). !.4Б. положим У = х,~/(хм + У.г); тогда Г„, лг х Х.г лг У лг = — —. Но (слг, задачу 1.44) ЦУ) = й( —, — ), поэтому л~ 1 — У' 'л2' 2!' 146 Р(Рм.„т < х) = Р(у~ () = В(; 2, 2) . Р„,„ / -- -- ---- ( — '-)= пг ~ Рм.э+ — Э ге,л, + л< и! / п, птт = Р( —, — ) .
Моменты можно вычислить по формуле ЕР;,л, = ( 2 ' 2/' =( ')' пт'т' — /)! Е(дтх,)'Е(дтю) ', используя формулу для моментов гамма.раса~) п~ пх пределении. При этом моменты сушествуют лишь при — — < г <— 2 2 "~1 ) 1 пт /пт'т' и они равны ЕР'„ь„э ( ) . В частности, (,"(-"' ) 7- г( — ) г( — ) лт при пт ) 2 Ейю „,= —, а нри пт ) 4 имеем ОР„, „, = пт — 2 ' 2лэт(л ~ + аз — 2) и >(пт — 2)'(из — 4) 1.49.
По теореме о среднем значении имеем 1 — В(х; а, Ь) = С' ', СЕ[х, 1]. г(а)г(ь) ь Прн Ь-ь со и фииснроваином а по формуле Стирлинга Г(а+ Ь) Г(Ь) Ь', следовательно, — !п ]1 — В(х; а, Ь)] = )п (! — х) — — )п Ь -1- — )п ! [ 1 Г(а + Ь) Ь Ь Ь Г(Ь) + ! С' + — 1п -е !п (1 — х). Ь Г(а) Второе соотношение является следствием первого соотношения и зада. чи !.48. 1.50. Распределение случайной величины 1, = П/тЯ/и симмет. рично (так как распределения — П и Ч совпадают), поэтоиу Р(т] < хт) = Р( — !х! Н,.' 1„< (х!) = 2Р(1, < !х!) — ! 1 ! или Р(!. < )х!] = — + — Р(!', < х').
Отсюда при х ) 0 получаем 2 2 Р'(Г„< х) = — Р'(г,', < х'), т. е. э.(х) = х/ь.(х'). Из этих соотношений также имеем, что Р(г, ) сгт/и) = (1 — Р(а~л; 1, и)]/2. Отсюда и из задачи 1Ай следует укаэанное предельное соотношение. /2 /2 1.51. Поскольку Е( — (Х, + ... + Х,~) = кэ(2/), А ( — (Хте ! + ... + ~а - ) ~а + Х~ т ) = 2'(2гп) и указанные случайные величины независимы, утверждйние следует иэ определения закона Снедекора. 1.52. Обозначим ф(хь ..., хх) = Е(х/..ххх) =(х~р~+ ...+ хиРн)".
Тогда Е(х)'...хз') = е(хи ..., хь 1, -. !) = = (х,р~ + ... + хзрз + 1 — р~ —: — рз) . Далее, д ~+-+ ю еь,ь,.ь,ь -~ чч,., *.)!, дх,' ... дхх и непосредственное вычисление атой производной приводит к искомой формуле. Наконец, и 2' с!лр, = лс', ~=! М сот(»ь «;) = л У с,'с,'р,(! — р,)— г=! Ф сот(П', Пт) = ~ с)с) Ег= ! У и — л ~~ с)серр; = л! ~ с)с~~рг — ~~ с)с!р~р~) = ~м! т! ! Ц=! л(с'се — с'см).
1.53. Обозначим те = (ту, ..., ту), где т! = (тч — лр,)йл, 1' = 1. й. Достаточно показать, что характеристическая функция ! Еел" ехр( — — 1',б,' 1, 1 = (Ел ..., Д), 2 для любого фиксированного Е Из предыдущей задачи следует, что 3 л Е и' ' -гтм"р[1.1- ~ р~(еиыуч — 1)~, р = (ро „,, рз). ! Логарифмируя зто соотношение и учитывая формулу !и(1+ е) = е— ет — — + 0(е'), е-еб, в условиях задачи получаем 2 !и Еел" = — ! )и 1'р + л 2, р,(елита — 1)— 14$ что и требовалось показать. Наконец, в результате непосредственных вычислений получаем ! Хз! = р~ ... рь(! — р| — ., — рз) ~ О при й ( г!.
1л4. Для любых целых неотрицательных йь ..., йх таких, что й~+ - +дх=гг,имеем Р(5 =йь)=1,—,М Р($, й! ! 1 г)15 + +5 и) Здесь числитель в силу независимости $ь ..., 5» равен Ю и !(е Очг(й,! = е (Т г, х = эч + ... + Хм ! ! й! ' Далее, так как (см. задачу 1.39 п. 4) 5(Ь + ...
+ 5») П(ь), то знаменатель равен э хх"/л!. В результате искомая веронтность равна > э» й ! Рр ... Р», что и доназыввет утверждение. й~! ... й»! 1.55. Вычислим безусловные вероятности Р (5 = й), й = О, 1, ... Имеем Х'-' Р(5 = й) = ( е — —, е х~»бд = — — т (,. ХТТ(гТ(а+Ч) ао ' " '(ах-Т) (о+1)' 1Лб.
Вектор (Х, Х< — Х, ..., Х вЂ” Х) распределен по нормальному закону, поскольку представляет собой линейное преобразование нор. мального вектора Х. Здесь сот(Х, Х, — Х) = сот (Х, ХΠ— У)Х = 1 — ат о' = — Р Хг — 0 Х = — — — = О, ! = 1,..., и, следовательно, пери и и вая компонента не зависит от остальных. !.57. Пусть 0 — ортогональная матрица, приводящая А! к днаго. нальиому виду: У'А,1У Рь где по услови!о и — л! = и, диагональных элементов Р, равны нулю.
Введем вектор Ч = 0'Х; тогда Х = РЧ и можно записать, что 17 = чч' = ч'0'А Уч + ч'Р'АУч = = Ч йэгй + Ч РзЧ. где Рх = У'АзУ = Е» — Р, является диагональной матрнцей и гапй Рт = гвпй Ат = пх. Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы Р„отвечающие нулевым элементам Рь равны 1, а остальные — нулю. В свою очередь, зто означает, что все ненулевые элементы Р~ равны 1. Следовательно, матрицы А~ и Ах идемпотентны. Из предыдущих рассуждений также следует, что Р~Рт = О, а значит, н А~Ах = О.
Х вЂ” и 1.55. Если перейтн к нормированным величинам Х(= , то Я видя не изменится, поэтому можно считать, что параметры (р, о) = = (О, 1). Пусть  — матрица размера л Х и, все элементы которой 1 т равны †. Тогда п5 = ~',(Х, — Х)х = Х'АХ, где матрица А = Е,— п ! 1 — В идемпотентиа, следовательно, гапйА = !гА = и — 1. Отсюда следует, что д — ! собственных чисел А равны ! и одно равно О.
Пусть иь ..., к. > — собственные векторы А, отвечающие собственному чнс» — ! лу 1; тогда спектральное представление А имеет вид А = Х; ихи(. »=! 149 л гл — 1 ПРи этом непосРедственно можно пРовеРить, что иг = з)( — 1т —, гг — 1г л ! г-г (Х, — Х) = и(Х и л5' = 2„(игХ)г. л'"' л)' л — 1 г ! Таким образам, обозначая Уг = и,'Х, й = 1,, л — 1, получим представление Х,— Х гт - ~ гагз ., -г Ч: . 11л — г о причем Ул ..., У, г независимы и иармальиы М(0, 1), которое можно записать также в виде и = Угой + 1Д г, где х',-г не зависит от Уг и Е(Х -г] = Х'(л — 2). Отсюда уже с памошью иепосредствеииых вычислений можно найти распределение ть Прежде всего заметим, что это распределение сосредоточено на ивтервале ( — 1, 1) (так как ч' (!) и симметричиа (так как распределение — Уг и Уг совпадают], поэтому дляО~и<1 ул г 1 — и 2 (! ) 2 ~ (л — 2) 17 (л — 2)иг) где г (к; лп лг) — фуккпня распределения закала Снедекора 5 (лп лг).
Воспользовавшись результатом задачи 1.48, можем записать г Р(,, — 2, ) = 5(! —,—.— ). Таким образом, окончательно имеем, чта для О ( и ( ! ! / г л — 2 1 г Р (и) = ! — — 0!ь! — и'; Длп отрнпательных значений и гг(и) = 1 — Р„( — и). 1.59. а) Совокупность случайных величии (Хь Хг, Хл — Хь Ха — Хь 1 = 1,..., л) имеет нормальное распределение, поскольку представляет собой линейное преобразование иормальпого вектора (Хв, Хи, г = 1,,, п). Непосредственно проверяется, что первые две компоненты Хг и Хг иекоррелироваиы с остальными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
