Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Наконец, для проверки линейной гипотезы вида Оы р~ Вэ = (6: Т(з = )э), где Т вЂ” заданная матрица коэффициентов ограничений размера т р,' й и гапй Т = гл, 1э— заданный вектор, используют г-критерий с критической областью вида (л — ь х,— 5!а) х,.=~( — )е! ...4. т 5(а1 (4.12) 2,Г дг Рис. 5 где 5т = гпмнп 5(р) — условный (при гипотезе Но) ми- в тз=ь нимум 5(()) (1, с.
!99 — 200]. 4.1. Для линейной модели (4.1) в случае и = 2 записать явно выражения для о.н.к. ф, р~) через (Хо ..., Х„) и зо = (з;~, з;), ~ = 1, ..., и. 4.2. Для модели простой регрессии Х, = Р, + Р~й + е„ 1 = 1, ..., л, найти явный внд о.н.к. (~ь ()з), проверить их несмещенность и найти условие их состоятельности. 4.3.
Нычислить оценку а' (см. (4.5) ) остаточной дисперсии о' в задаче 4.2. Указать достаточное условие ее состоятельности. 4.4. Найти сот(рь ()з) оценок ~3,, рм определенных в задаче 4.2. 4.о. Значения функции х(!) = (3~ + ))г1+ ()зР измерены в точках й (1 = 1, ", п): р, 1 () й 1-рз1х-(-ек Ее; = О, (Зе; = а~. Найти: 1) о.н.к. р(, ~ь 'рз параметров йь рь Рз, '2) Е()ь 0()ь 1 = 1, 2, 3; соч(й' 3;). 4.6. Является ли статистика ь = 5х(1)сй О $15 дз 1з ! ь несмещенной оценкой интеграла ! = )х(Р)с(Р, где х(Р) = а = (1~+~ЗгР+ф,Р' а х(Р), Дь 8м Дз опРеделены в задаче 4.57 Йайтн О!. 4.7. Смоделировать наблюдения Х; = Д~ + ~Ы+ еь != 1,...,п,еслип =100,Р;= 21/п,Д~ =2,11а=!,е;— независимые равномерно распределенные случайные величины на отрезке [ — 1,386; 1,386).
Построить графики функций х(Р) = 2+Р, х(Р) = Д~+ рзР на отрезке (О, 21; отметить также точки (Рь Х;), ! = 1, ..., л. 4.8. Решить задачу 4.7 с е, распределенными нормально с Ее; = О, Ве; = 0,16. 4.9. В предыдущей задаче построить у-доверительные интервалы для параметров Оо Оз и о' (см. (4.8)— (4.9) ), а также у-доверительный эллипс 6,(Х) (см. (4.10) ) для вектора 8 = (йь (1з); считать у = 0,9 и у = 0,95. ( Указа нне. Использовать решения задач 4.2 — 4.3.
4.10. По данным независимых равноточных измерений (Хь й), с = 1, ..., л, значений некоторой линейной функции х(!) = 8, + ДзР (погрешности измерений подчиняются нормальному распределению йг(О„о') с неизвестной дисперсией) построить доверительный интервал для интеграла от этой функции на отрезке — а ~ Р(а (а задано). !14 Произвести соответствующие вычисления для следующих данных: (2,96; — 2), (3,20; — !), (3,41; 0), (3,63; !), (3,79; 2) при а = 2 и доверительном уровне у = 0,95. 4 11. Координаты а(1) движущейся равномерно и прямолинейно точки в моменты ! = 1, 2, 3, 4, 5 оказались соответственно равны !2,98; 13,05; !3,32; 14,22; 13,97. Предполагая погрешности измерений независимыми и нормальными йГ(0, а'), построить 0,95-доверительный эллипс для точки (а(0), ц), где о — скорость точки.
4.12. Смоделировать наблюдения Хг = 81 + 13»0+ + (3з!'+ сь з' = 1, ..., л, с й~ = — 8, )3г = !О, (3з = — 2, л = 100, й = 1+ 21/и. е,-независимые равномерно распределенные случайные величины на отрезке ( — 1,386; 1,386). Построить графики функций к(1) = )31+ !3»1+ ))г(г, х(1) = (3~ + бг1+ рз(' на отрезке (1, 3); отметить также точки (1ь Х), 1 = 1, ..., и. 4.13.
Решить задачу 4.12 в случае нормально распределенных е; с Еег = О, Ое; = 0,16. 4.14. В предыдущей задаче построить гт-доверительные интервалы для параметров (3ь (3г, (3з и а (см. (4.8)— (4.9)) „а также систему совместных доверительных интервалов уровня, большего или равного т, для Рн рг, Рз (см. (4.11) ). 1 Указание. Использовать решение задачи 4.5. 4.16. В четырехугольнике АВСО результаты независимых и равноточных измерений углов АВО, ОВС, АВС, ВСО, СОВ, ВОА, СОЛ и ОАВ (в градусах) соответственно таковы: 50,78; 30,25; 78,29; 99,57; 50,42; 40,59; 88,87; 89,86. Считая, что ошибки измерений распределены нормально М(0, а'), найти о.н.к.
углов !3~ = ЛВО, (3г = ОВС, 13з = СОВ и (3» = ВОА. Построить 0,95-доверительный интервал для а . 4.16*. Доказать, что о.н.к. 8 является опткмальной оценкой 8 в классе всех линейных (т. е. линейно завнсг)- щих от Х) несмещенных оценок 8 (т. е.
дисперсии 0(3, минимальны ХГ'-1); получить, что 0(р) = а'А ' = аг1!ач1!. 4.17. Доказать несмещенность оценки аг для остаточной дисперсии о'. Получить явную зависимость ог от Х, указанную в формуле (4.5). ! У к а з а н и е. Использовать разложение Я(р) = = Вф)+(Р— (3)'А(8 — )3) и формулы сот(8„(3;) = = а а' (задача 4.16). 4.18.
Пусть матрица плана Я обладает свойством, что ее строки ортогональны. Как выглядят в этом случае о.н.к. рп ..., 8» и их вторые моменты? !17 4.19.ь Пусть имеются и предметов, веса которых )1ь ..., (1» неизвестны. Для определения этих вссов взвешивают комбинации предметов: каждая операция (одно взвешивание) состоит в том, что несколько предметов кладут на одну чашу весов, несколько — на другую и добавляют равновес для приведения весов в равновесие. В результате получают соотношения ('Р + .. + ",'0 = ы (для 1-го взвешивания, 1 = 1, ..., л), где г'и = 1, — 1, 0 в зависимости от того, лежит 1сй предмет на левой чаше весов, на правой или вообще не участвует в данном взвешивании, а и; — добавляемый равновес. Считая погрешности измерений независимыми и нормальными лГ(0, ол), оценить веса четырех предметов по данным следующей таблицы восьми взвешиваний: Найти матрицу ковариаций оценок, а также оценку для а'.
Сравнить точность этих оценок с точностью оценок, получаемых обычным способом, когда каждый предмет взвешивают несколько раз и в качестве оценки его веса принимают среднее арифметическое результатов взвешиваний. У к а з а н и е. Использовать решение предыдущей задачи. 4.20. Для данных предыдущей задачи построить систему совместных доверительных интервалов для йь ...,(14 уровня, большего или равного 0,95.
4.21. Найти оценки максимального правдоподобия параметров (1 и а' нормальной регрессии (4.3) и вычислить их смещения. 4.22. Убедиться в том, что у-доверительный интервал для произвольной линейной комбинации Х'(1 = 2, зч(11 ко- /=-! эффициентов нормальной регрессии (4.3) имеет вид Нв 4.23. Построить у-доверительный интервал для орди- наты гр(1) = (3, + (3,1 линии регрессии в произвольной точке 1 (модель предполагается нормальной) . Произвести соответствующие вычисления для данных задачи 4.8 для 1=18, г=а95.
! У к а з а н и е. Использовать решения задач 4.2 — 4.4 и 4.22. 4.24. Убедиться в том, что интервалы (Р,— 13,-+~ „5(8)Еьк„~(а" — 2а" +оп)~ ), 1<! <1< а, образуют систему совместных доверительных интервалов УРовнЯ )У длЯ Разностей Р; — Рь 1)1. 4.28. Построить систему совместных доверительных интервалов для средних значений всех наблюдений Х,, ..., Х„в модели нормальной регрессии. 4.26.а Пусть Т вЂ” заданная матрица размера гл У( й (лг < й) и гаппТ = га, 1о — заданный л1-мерный вектор такой, что система Тр = 1з совместна. Обозначим 5г гп1п 5(р) и назовем обобщенной о.н.к. йг то значе- а г1-Ь ние 13, при котором 5г = 5(бт). Локазать, что й: — 8 — А 'Т'ТУ ' = (Тй — 1а), где матрица В = ТА 'Т' положительно определена.
Найти разложение 5г = 5(Р)+(ТЬ вЂ” 1 )'0 '(Т(3 — 10). 4.27. Убедиться в том, что критерий уровня значимости а для проверки гипотезы Но' Р~ = (3ьь фиксирующей значение наклона линии регрессии (в нормальной модели), задается критической областью Хы '11(32 (320~ Ъ 1! — аа,л — 2 У к а з а н и е. Использовать решение задач 4.2 — 4.3 ! и соотношение (4.12).
4.28. При каких значениях уровня значимости а отклоняется гипотеза На. 8з = 1,2 по данным задачи 4.8? 4.29. Значения независимых случайных величин Х(о (1 = 1, 2, 3, 4; 1 = 1, 2) приведены в следующей таблице: 119 Предполагая, что А(Х)о) = йГ(рь а') (все параметры неизвестны), построить оценки для рь рь рз, рз н о~ н про. верить гипотезу однородности На: П~ = рх = рз = рх (уровень значимости принять равным О,(). 4.30. Построить интерполяцнонный многочлен вида чч(1, ))) = Х б1а1(1) для й =2 и 3, где а,(1) — многочлены Чебышева (см. 4.б)) по следующим данным, отражающим неизвестную зависимость и = 1(1): Как изменяется точность интерполяции при переходе от й = 2 к й = 3? 4.31. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для следующих данных: 4.32. Выписать четвертый многочлен системы ортогональных многочленов Чебышева У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
