Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(зо(п,т) ! Но) й1(л/(1 + р), пр'/(! + р)о) . 4) Доказать, что в предыдущих условиях для любой альтернативы Иь задаваемой плотностью 1(х) ф 1, хоп(0,1), Основываясь на этих результатах, обосновать критерий пустых блоков для проверки гипотезы однородности Но (1, с. 127). У к а з а н и я. 1) Воспользоваться тем, что условное распределение вектора и = (кь ..., х, >~) при фиксированных значениях (Хпн ..., Хго) = (хь ..., х„) есть полиномиальное распределение М(т; хь хо — х,, ..., ..., х. — х.
ь ! — х„). Далее использовать задачи !.39 п. 5)и !.3!. 2) Рассмотреть независимые случайные величины в, имеющие распределение Р(й = г) = Р$; = г!с, ~О), г = 1, 2, ...,1 = 1, 2, ..., и убедиться в том, что Р(с,+...+$,=т)=Г ~др ', д=1 — р. 3) Воспользоваться нормальной аппроксимацией для биномиального распределения: при л -~ оо и 0 р(1, А = пр+1оглр,д, !1! с( оо, Ь(И; л,р) = Сород.-о е ''гг Г2лоло Записать вероятность Р(зо(л,т) = Ь) в виде Р(зо(л,т) = Ь) = Ь(Ь; л+1, р) Х ХЬ(п — И;т — 1,р)/Ь(п;л+т,р), р = 1/(!+р).
4) Вычислить Ц1(ой = 0)1Н~) = Р(ю = О!Н~), используя при этом задачу 1.31. При оценке интеграла применить неравенство Коши — Буняковского: 1 ! ! ( ~ д~(х)йо(х)Их) ( ~ д',(х)г1х~ доо(х)г)х о о о при Н~(х) = Чг(+р1(х), дг(х) = д~ '(х). 95 3.26. Проверить гипотезу независимости для следующей таблицы сопряженности двух признаков (уровень значимости принять равным О, 05): 3.27. Из 300 абитуриентов, поступивших в институт 97 человек имели балл 5 в школе и 48 получили 5 на вступительных экзаменах по тому же предмету, причем только 18 человек имели 5 и в школе и на экзамене.
С уровнем значимости О,1 проверить гипотезу о независимости оценок 5 в школе и на экзамене. 3.28*. Рассмотреть таблицу 2 Х 2 сопряженности двух признаков 1) Убедиться в том, что статистика Я 11, с. 131) для проверки гипотезы И, о независимости признаков $, и ~з в данном случае допускает представление Х~ = Я.', где 2„= и ~то — р т~ ~г-т ~ч з = м~/ 96 2) Показать, что выборочный коэффициент корреляции р„= У./.))и и, следовательно, 2„/)(л-~ р = 1соггЯт, Ц~) при и-«.
оа (см. задачу 1.38); установить равенства — (Р(А)В) Р(А(В)] ,/Р(л)Р(А)Р(В)Р(В) 1 Р(4)Р(4) .1 где события А =(~~ — — 1), А =(91 = О), В =(Ь = 1) В =($~= 0). 3) Доказать, что Е(2.1Н«)- М(0,!) при и - оо, и, основываясь на этом, построить критерий проверки гипотезы Н, против альтернативы Нп Р(А)В)) Р(А)В), означаюшей положительную сопряженность событий А и В (А в паре с В встречается с большей вероятностью, чем в паре с В). 3.29. Имеются две группы данных о приеме в вуз, классифицированные по двум признакам: «принято (А) — не принято (А)» и пол «мужчины (В) — женшины (В)ъ. Для каждой таблицы проверить гипотезу Но о независимости признаков А и В против альтернативы Нн Р(А)В)) Р(А)В).
3,30. В следуюшей таблице (3, с. 722] приведены 818 случаев, классифицированных по двум признакам: наличи|о прививки против холеры (признак А) и отсутствию заболевания (признак В): Построить критерий проверки гипотезы Н« о независимости признаков А и В против альтернативы Н, о положи« вЂ” 190 ят тельной сопряженности А и В (т. е. об эффективности вакцинации). 3.31. Можно ли с уровнем значимости 0,001 считать, что последовательность чисел 1,05; 1,!2; 1,37; 1,50; 1,51; 1,73; 1,85; 1,98 является реализацией случайного вектора, все 8 компонент которого независимые одинаково распределенные случайные величины? 3.32".
Основываясь иа следующем представлении производящей функции статистики Т„ — числа инверсий в повторной случайной выборке объема л (1, с. !35): л — ! Ф (г) — = Ег'" = 6 П (1+ г + - + 3') г ! доказать, что Е(Т„) -31~ / л(л — !) л'х за) , — 1 при а-~-оо. У к а з а н и е. Перейти к характеристической функции и убедиться в том, что при и- оо и !1!(с«со Еехр(!!( ҄— "" ) —,~ — ~ехр( — !'/2). З.ЗЗ. Проверить гипотезу случайности для данных задачи 1.22.
! У к а з а н и е. Воспользоваться асимптотическим ванантом критерия, основанного на статистике Т„ см. предыдущую задачу). 3.34. Получить выборки, объемы которых и = 20, 50, 100, равномерно распределенных случайных чисел. Проверить по этим выборкам гипотезу о равномерности распределения по критериям х' и Колмогорова. 3.35. Получить выборки объема и = 100 приближенно нормально распределенных чисел, используя суммирование М равномерно распределенных слагаемых (й! = 4, 8, 12). Проверить гипотезу о нормальной распределенности при помощи критериев х' и Колмогорова. 3.36. Получить выборку (Х,) объема и = 200 равномерно распределенных случайных чисел. С помощью критерия Смирнова проверить, что подвыборкн (Ха, ! = 1, 2, !00) и (Хе ьь ю' = О, 1, ..., 99) являются выборками из одного и того же распределения.
3.37. Смоделировать последовательность (Х;) полнномиалы<ых псевдослучайных величин, принимающих значения 1, ..., И. Образовать нз этой последовательности две выборки (Хз„! = 1, ..., и) и (Хи+ ь ! = О, ..., и — 1). С помощью критерия Х~ проверить гипотезу независимо- сти величин, соответствующих этим выборкам. Расчеты провести для йГ= 2, 4, 1О, п = 100. 3.38. Получить выборки, объемы которых и = 1О, 20, 40, 100, равномерных псевдослучайных чисел.
С помощью статистик Т„(числа инверсий в вариационном ряду выборки) проверить гипотезу случайности. $2. Выбор из двух простыв гипотез 3.39. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — выборка из биномиального распределения В1(л; О). Построить критерий Неймана — Пирсона для проверки гипотезы Ны О = Оэ против альтернативы Нн О = О, (0(О»«-9~(1) н вычислить его мощность. 3.49 (продолжение задачи 3.39). Показать, что при и-» со этот критерий асимптотически задается критической областью л ~т»~ э — Д Ят — Щ$, т= эх,,Ф(,)= 1= ~ и его мощность 97 (91) при О~ = 91"' = Оо + —, р)0, удовлетворяет соотношению ~м «.(ю;') = фтг„,' „~..) У к а з а н н е. Воспользоваться теоремой Муавра— Лапласа.
3.41. По выборке Х = (Хн ..., Х„) из пуассоновского распределения П(9) построить критерий Неймана — Пирсона для проверки гипотезы Нгл О = О» против альтернативы Н,: О = О,(0«=0» -О~) и вычислить его мощность. Исследовать асимптотическое поведение характеристик этого критерия при больших объемах выборки. У к а з а н и е. Использовать задачу 1.39 п. 4) и нормальную аппроксимацию для пуассоновского распределения с растущим параметром. Рассмотреть «близкую» альтернативу такого вида, как и в задаче 3.40. 3.42. Чтобы проверить гипотезу Н«'. О = Оо против альтернативы Ны 9 = О~ (0(О»(О~(1) в схеме Бернулли с неизвестной вероятностью «успеха» 6, осуществ.
лен эксперимент, в котором наблюдается число «успехов», предшествующих первому «неуспеху», Построить наиболее мощный критерий при уровне значимости а = 61, где з)1 — заданное целое число, и убедиться в том, что вероятность ошибки второго ряда этого крктерия 6 = 1 — Оь 3.43. Пусть Х = (Х!, ..., Х.) — выборка из экспоненциального распределения Г(6, 1). Построить наиболее мощный критерий для проверки гипотезы На! О = Ов против альтернативы Н!! О = О! и вычислить его функцию мощности.
1- У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что Аз(2Х,/6) = = 75!!! (см. задачу 1.51), и решением задачи 1.39 п. 2). 3.44. Пусть для распределения Коши, К(О) проверяется гипотеза Нсл! О = 0 против альтернативы Н,: О = 1. ! Показать, что при уровне значимости с! =— 2 — — агс1п — =0,352 наиболее мощный критерий по од! 2 ному наблюдению имеет вид Х!„= (Х)1/2) и его мощность равна — + — агс1п — ж0,648. Если же а = ! ! ! 2 я 2 ! = — (агс1дЗ вЂ” агс16!) ж0,148, то критерий имеет вид Х!. = (1~Х(3), а мощность равна — агс182=0,352. 3.45~.
Как выглядит критерий проверки гипотезы Ны Е($) = )?( — а, а) против альтернативы Н,: Ц$) = Ж(0, и') (параметры а и а заданы), если известно, что наблюдаемая непрерывная случайная величина З имеет распределенке, симметричное относительно нуля? Рассмотреть случай большой выборки. Провести с этих позиций анализ следующих данных: — 0,460 — О,!! 4 — 0,325 + 0,196 — 0,174 при а = 1/2, о' = 0,09. ! У к а з а н и е.
Применить центральную предельную теорему 3.46. В последовательности независимых испытаний вероятности положительных исходов одинаковы и равны р. Построить критерий проверки гипотезы Ьз! р = 0 против альтернативы Н!! р = 0,01 и определить наименьший объем выборки, при котором вероятности ошибок первого и второго рода не превышают 0,0!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
