Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть чн — числа реализаций 1-го исхода в 1'-й серии(Х чч = н„)=1, ..., ..., и). Требуется проверить гипотезу Не а там, что все наблюдения производились пад одной и той же случайной величиной. Статистикой критерия Х' в данном случае является величина » Х„'= а( ~',;»„— ' — 1) =!! ! где ж = ~; чч, 1 = 1, ..., з, п = и! + ... + и». »=! Критическую область задают в виде Х'„) К!',,!! »м и, где границу критерия определяют из таблиц квантилей распределения Х'. Вероятность ошибочно отклонить при этом истинную гипотезу приблизительно равна а, если и достаточно вел и ко. 4.
Если Х = (Х!, ..., Х„) — выборка из распределения Ц$) и множество Г всех допустимых распределений наблюдаемых случайной величины $ задано в параметрической форме: Г= (г(х; О), О = (О», ..., 0,)~6), то гипотезы о распределении Т.($) формулируются в терминах неизвестного параметра О и называются параметрическими. В общем случае (основная) параметрическая гипотеза задается в виде Йе»Оен6!» при некотором подмножестве 6о~ 6. В этом случае альтернативная гипотеза имеет вид Н!: О ея6! = 616!». Таким образом, в рамках параметрической модели альтернативная гипотеза конкретизируется и имеет такую же форму, как и основная'гипотеза; в данном случае отклонение основной гипотезы эквивалентно принятию конкретной альтернативной гипотезы, В общей теории проверки параметрических гипотез критерии принято задавать указанием соответствующих критических областей непосредственно в выборочном пространстве Х= (х = (х»,...,х„)).
Таким образом, при уровне значимости а критерий проверки гипотезы На задается выбором такого подмножества Х, с:Х, для которого выполняется условие Ра(Х АХ! ) < а зэк ен 6о, (3.7) являющееся аналогом условия (3.1). В этом случае сам критерий (называемый критерием Х! ) формируется следующим образом: если х — наблюдавшаяся реализация выборки Х, то при хеэХ!. гипотезу Нв отвергают (принимают альтернативную гипотезу Н,), если же хецХ!»~Х!., то гипотезу Не принимают.
Для функции мощности в данном случае используются обозначения (ср. с (3.2)): У(0) = Щ.: 0) = Р!»(Хе=Х! ), 0~6. 85 Вероятности ошибочных решений для критерия Х| выражаются через его функцию мощности следующим образом: вероятность ошибки первого рода (отклонить Ны когда она верна) равна (ь'(О), 0 я Вь (в символическом виде Р(Н~!Нь)), а вероятность ошибки второго рода (прннять Нь, когда она ложна) равна ! — ЩО), Огай~ (в символическом виде Р(Нь!Н~)) Рациональный принцип выбора критической области формулируется в терминах вероятностей ошибок следующим образом: при заданном числе испытаний устанавливается граница для вероятности ошибки первого рода и при этом выбирается та критическая область, для которой вероятность ошибки второго рода минимальна. Пусть Хы н Хы — два критерия одного и того же уровня значимости а для гипотезы Нь.
Если йт(Х~„, О)« < Щ)ч, О) при Оя6~ и У(Хы; 0)> ()т(Хьй 0) прн Оя6~ (со строгим неравенством по крайней мере при одном 0~01), то говорят, что критерий Х~ равномерно мощнее критерия Хы и ему, очевидно, следует отдать предпочтение, поскольку он приводит к меньшим ошибкам. Если указанные неравенства выполняются для любого критерия Х ы, то Х ы называют Равномерно наиболее мощным (р. н. м.) критерием. В случае простой альтернативы Н1 (множество В~ состоит из одной точки) вместо р.
н. м. говорят о наиболее мощном критерии. В некоторых случаях указанный принцип сравнения критериев позволяет определить оптимальный (в рассматриваемой задаче) критерий. Иногда задачу построения оптимального критерии удается решить в классе кесмещенных критериев, т. е. когда одновременно с (3.7) выполняется условие !Ут(0) ~~ а ~0 = Е,.
В теории часто удобно рассматривать так называемые рандомиэированные критерии, когда при наблюдении х гипотезу Н, отвергают с некоторой вероятностью ц(х) и принимают с дополнительной вероятностью 1 — гр(х). Функция ~р(х) (0(фх) < 1, хяХ) называется критической функцией; описанная выше конструкция нерандомизированного критерия Хы соответствует выбору в качестве фх) индикаторной функции множества Х,„:фх) = 1 при х~ Х~ и гр(х) = 0 при хФХы.
Функция мощности рандомизированного критерия определяется соотношением (Р(0) = й7( р;0) =Е, р(Х). 5. В основе большинства способов построения оптимальных критериев лежит фундаментальный результат, полученный Ю. Иейманом н Э. Пнрсоном о существова- нии наиболее мощного критерия в задаче проверки простой гипотезы прн простой альтернативе.
Именно, если 8 = (Оы О~), то прн любом уровне значимости а наиболее мощный критерий проверки гипотезы Н,: О = Оа при альтернативе Нп 0 = О, существует н задается критической областью Х;.=(х;1(х)= ' 0)с.), (3.8) где Т(х; О) = П [(х,; О) — функция правдоподобия (о не! которых особенностях, связанных с дискретностью наблюдений, см. подробнее в [1, 3 4.2[). Если проверяется простая гипотеза Ны О = Оа против сложной альтернативы Нп Оен6\[Ов), то р. н. м. критерий существует, если критическая область Х ы =Хм(Ов, 0~), определенная в (3.8), не зависит от конкретного О~ еи ВЩ); в этом случаеХ~ н есть р. н. м. критерий.
Такое обстоятельство имеет место для важного класса моделей Г, обладающих монотонным отно~иением правдоподобия (т. е. таких, которые обладают достаточной статистикой Т(Х), и при этом функция 1(х) = й(Т(х). 0~)/д(Т(х) Ов) монотонна по Т (см. критерий факторизации в п. 3 гл. 2), и в случае односторонних альтернатив НТ-: О ~» Ов (Π— скаляр) [1, с. 155). Более того, для таких моделей р. н.
и. критерий проверки простой гипотезы Нвс 0 = Оэ против право- сторонней альтернативы Н~ ~. .0- Оэ является одновременно р. н. м. критерием проверки сложной гипотезы Ны 0(Ов против Н~+ того же уровня значимости (аналогичное утверждение справедливо и для двойственной проблемы проверки Нсн О «Ов против НЕ. 0(Оэ [5, с. 101]). В частности, для экспоненциальной модели, задаваемой плотностью 1(х; О) =. ехр(А(0)В(х) + С(0) + 0(х)), статистика Т(Х) = 2, В(Х;) достаточна, и если функция А(0) строго монотонна, то вид р. и.
м. критериевХ|, указан в следующей таблице: При проверке простой гипотезы Но. О = Оо против двусторонней альтернативы Нп О ~Оо в ряде случаев также удается построить р. н. м. несмещснный критерий [1, с. 159]. Удовлетворительное решение этой задачи в ряде случаев получают с помощью следующего приема: если для рассматриваемой модели существуют р. н.
м. критерии против односторонних альтернатив Н~ и В~" (соответственно Х~., и Х~" о), то используют критерий вида Хго = = Х „,()Хыо при а~ + ао = а. Особый интерес представляют малые отклонения от нулевой гипотезы Но: О = Оо. В этом случае при исследовании свойств критерия можно ограничиться анализом локального поведения функции мощности критерия Ф(О) в окрестности точки Оо, Прн таком подходе часто удаетсн построить локальный наиболее мощный критерий, даже тогда, когда р.
н. м. критерия не существует [1, с. 161[. б. Часто весьма полезным бывает тот факт, что задача проверки простой гипотезы относительно О является обратной по отношению к задаче построения доверительного множества для О. Именно, если 6,(Х) есть у-доверительное множество для О, то Хо, = (х:Ооенб„(х)) определяет область принятия гипотезы Н,: О = Оо с уровнем значимости а = 1 — у. Верно и обратное, т.
е. если для каждого Ооенб имеется какой-либо критерий Хы = Х~ (Оо) проверки гипотезы Н,: О = Оо, то, определив для каждого хе Х подмножество б,(х) = (О:хенХ~ (0)), у = 1 — а, получим, что б,(Х) — у-доверительиое множество для О. Таким образом, если для некоторой модели известно решение одной из этих задач, то по описанному алгоритму можно получить решение другой. При этом р.
н. м. критерии соответствуют наикратчайшим доверительным множествам и наоборот. 7. Одним из наиболее универсальных методов построения критериев проверки сложных параметрических гипотез является метод отношения правдоподобия. Общий вид критерия отношения правдоподобия (к. о, п.) для проверки гипотезы Но..
Оенйо таков: Х! = Хы(Оо ол) = (х: З л(х) = эцио 1 (х' 0)/эцй ! (х' 0)(~ са) где граница с„выбирается из условия )Р(0) = Ро(Х„(Х)<г,)<а ~Ос=Во. Во многих практических задачах такой подход приводит к удовлетворительным решениям. Кроме того, при неко- торых условиях к. о. п. обладает свойством асимптотической оптимальности для больших выборок. Если выполняются условия регулярности, обеспечивающие существование, единственность и асимптотическую нормальность оценки максимального правдоподобия О, = (бы, ..., 8,„) параметра 0 = (8~, .,8,) (см. главу 2, и. 4), то при простой гипотезе Нгн 8 = Оо для больших объемов выборки и к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
