Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 11
Текст из файла (страница 11)
! У к а з а н и е. В первом случае рассмотреть несмещенпые оценки нида Ть = Т*+1(Р, 1(~Р'. Во втором случае положить ф = Т" — Т. 2.43. Проверить, что количество информации ((О) для соответствующих моделей имеет указанный в таблице вид. 2.44. Показать, что информационная матрица для общей нормальной моделий!(9(, 03) имеет вид 2.45.* Показать, что информационная матрица для модели задачи 2.29 имеет вид Т(0) = !!О„(8!!(( ', где О = (р(, ..., рл — !), дч(О) =, .
=. рк =1-р,—...-р,, 1/р + 1/рм при ! = 1, /р!( при (~1, Вычислить 1 '(О). У к а з а н и е. Записать вероятности )(а,; 0) = Р~(в= =а,)=р„г=!, ..., М, в виде и )(а,; 0) = П р!"" — — (1 — р! —" — рм — !)~"'т(Х А — ! )( П 1!6(а,, и,! ! (=! где 6(а„а,) = ! при ! = 1 и Ь(а„а,) = О при ! Ф 1. 5в 2.46.* Модель Г= [Г(х; 0),0~0) называется экенонен- Оиальной, если функция )(х; 0) имеет вид )(х; 0) = ехр (А(9)В(х) + С(0) + 7)(х)) .
Доказать, что эффективная оценка т* для некоторой параметрической функции т(0) существует тогда и только тогда, когда модель à — экспоиеяциальиая; при этом т(0) = — —,, т* = — ,'~ В(Х,), если 0 — скаляр, С Со) А ~0) ' — ! ! если О = (Оц ...,9,), Вывести следующие формулы для дисперсии 0,т*: 0эт* =, если 0 — скаляр, т20) лА '(О) 00т* = — 2', /, если 0 = (О>, ..., 0,). ) дт(0) х дА(0) а , >да; / да, 1 У к а з а и и е.
Воспользоваться критерием зффективиости. 2,47. Доказать, что для экспоиеициальяой модели со скалярным параметром функция !(О) = (С'(0)А "(0)— — С"(0)А'(О))/А'(0) и Е!!ВЯ) = — С'(0)/А'(О). У к а з а и и е. Сравнить выражение для )::)„т* в предыдущей задаче с грапицей Рао — Крамера. 2АО. Проверить, что для заданных регулярных моде- лей функция т(0), допускающая эффективную оценку т*, эта оценка и ее дисперсия Р,т" имеют указанный в таблице вид: Продолжение У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 2.46. 2.49. Проверить непосредственно, что выборочное среднее Х в логистической модели (см. задачу 2.27) не является эффективной оценкой О. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 2. 27, 2.50. Доказать, что оценка Тн в задаче 2.13 является оптимальной. У к а з а н и е.
Рассмотреть линейные комбинации ви- 1Г дС д'7. т да — 1са(0) — + Ь(О) — л1 и воспользоваться крите- Е~. дв рием Бхаттачария. 2,51. Рассматринается задача оценивания функции т(0) = О' в модели Г(О,Х) по выборке Х = (Х1, ..., Хл). Доказать, что Т" = Тн(Х) = Х вЂ” оптимальная й(7.л + 1) несмещенная оценка т(О); вычислив ГОТ», убедиться в том, что эта оценка не является эффективной. 1 У к а з а н и е.
Воспользоваться задачами 2.21, 2.43 и указанием к задаче 2.50. 2.52. Пусть Х =- (Х1,..., Х„) — выборка из распределе- пияМ(Оь 0 ). Применив критерий Бхаттачария, доказать, что Х и 5' (см. задачу 2.1 и, г)) являготся оптимальны! г ми несмещенными оценками соответственно для О, и О.. Сравнить дисперсии этих оценок с соответству1ошими границами Рао — Крамера.
У к а з а н и е. В первом случае достаточно рассмотреть —, во втором — рассмотреть линейные комд1о 1. дО~ бинацин вида — ~а(0) — + Ь(0) —;~; использо- 1Г дЛ дей1 Г1. две дОД ' вать задачу 2 44. й а 2.53.е Пусть Хь о'1 и Хь 5~ — оптимальные несме- щенные оценки для среднего и дисперсии одного и того же нормального распределения, вычисленные по двум независимым выборкам объемов и! и пг соответственно. Какие функции от этих статистик являются наилучшими оценками тех же параметров, учитывающими всю исход- ную информацию? Сравнить точность новых оценок с исходными. У к а з а н и е.
Использовать задачи 2.52 н 2.14. 2.54е. Пусть Х = (Хь ..., Х,) — выборка из обратного гауссовского распределения, задаваемого плотностью Ях; ), р) =( — ) ехр( — '( ") ~,х)О Х)О, !гчьО. 1) Убедиться в том, что Х вЂ” оптимальная несмещен- ная оценка параметра р в любом случае, известен или нет параметр Х. Получить отсюда, что ЕХ~ = !г, ПХ! = р'/). 2) Найти эффективную оценку ). ' в случае известно- го р. У к а з а н н е.
Воспользоваться задачей 2.46 и критерием Бхаттачария. 2.55. Предположим, что ищется оценка для диффе- ренцируемой вектор-функции т(0) = (т~(О), ..., т (6)), О = = (Оп ..., 9,). Показать, что в случае регулярной модели для произвольной несмещенной оценки Т = (Т~(Х), ..., Т (Х))) справедливо неравенство информации Во(Т) = 11сочг(Т;, Т;)117)В'(6)1 '(0)В(0), дъ(В) где В(0) = 11 ' 11, и неравенство А~)Аг между матдэ, рицами одинаковой размерности означает, что матрица А! — А, является неотрицательно определенной.
В част- ности, для т(0) = — 0 0~(Т) ), '(0) . У к а з а н и е. Рассмотреть произвольную линейную комбинацию с~т~(9)+... +с,„т (6) = с'т(6), несмещенной оценкой которой является с'Т, и применить неравенство Рао — Крамера для скалярных оценок. 2.56. Показать, что если для некоторой функции т(0) существует эффективная оценка, то она является доста- точной статистикой. Таким образом, для регулярных зкспоненциальных моделей (см.
задачу 2.46) достаточ- ная статистика всегда существует и имеет вид Т(Х) = — = В(Х;) (что следует из критерия факторизации). б! 2.57. Доказать полноту достаточной статистики л Т„=,'» Х; для биномиальной модели В,(й, 8) (см. зада»= ! чу 2.48). Получить отсюда, что в данном случае несмещенные оценки существуют лишь для полиномов т(8) = Г =;» а;0' степени «('ап, и при этом оптимальная оценка »=о т* = ~, а,(Т„)/(яп);. »=а Сравните этот результат с задачами 2.5, 2.7 и 2.8. ! У к а з а н и е. Воспользоваться свойством воспроизводимости распределения В1(й, О) (см.
задачу 1.39 п. 3). 2.68. Доказать полноту достаточной статистики п Т„= 2; Х; для пуассоновской модели П(0) (см. задачу ~ =! 2.48). Показать, что оптимальной оценкой для сходящегося при всех 0)0 степенного ряда т(0) = „'» а,О' явля»>о ется статистика т* = 2'а,(Т„),/и'. ! ! У к а з а н и е.
Воспользоваться свойством воспроизводимости распределения П(О) (см. задачу 1.39 п. 4)и задачу 2.9). 2.89. (продолжение задачи 2.58) . Построить оптимальные оценки для функций т(0) = ея'-", пд(8) = е '0"/й1, й = О, 1, ..., и т,(0) = РаЯ) «), « = 1, 2, ... 2.80*. Пусть Х = (Х,, Х„) — выборка из распределения степенного ряда, задаваемого вероятностями )(х; 0) = а(к)0" /)(8), х = 1, 1+ 1, ..., )(О) = ~'„а(х)0', О енО, где О = (О, «г) и Я) Π— радиус сходимости ряда 1(8). 1) Показать, что в данной модели эффективная оценка существует лишь для функции т(0) = ОТ(0)/)(8), и она имеет вид т* = Х. 2) Доказать, что Т„=;» Х; — полная достаточная ~ =! статистика и ее распределение имеет вид: 62 Р»(Т„= 1) = О'Ь»(1)/!"(0), 1= п1, где Ь„(1) = сое1, )"(г).
3) Убедиться в том, что статистика ° Ь„(Т вЂ” з)/Ь„(Т„) при Т„)л1 + з, 0 при Т„(л1+ з — оптимальная оценка фушсцин т.(0) = 9* для любого з= 1,2,..., 4) Построить оптимальную оценку функции т(9) = = ~'„а;0', где степенной ряд предполагается сходящимся >= на 6; получить отсюда, в частности, что оптимальная оцен- ка функции 1(0) имеет вид 1* = Ь„+~(Т„)/Ь,(Т„), если Т„»(п+ !)1, и 1* = 0 при Т„((п + !)1. У к а з а н и е.
! ) Применить критерий эффективности для экспоненциальной модели (см. задачу 2.46). 2) Использовать производящую функцию <Р(а; О) гм ~, 'г"Дх; О) = ДаО)/)(О), » > » — ! 3) Учесть соотношение 2, а(1)Ь.(л — 1) = Ь..»,(/г) при й '(н+ !)1. 2.6!. Показать, что оптимальной оценкой для»(0) = 0 урезанного в нуле пуассоновского распределения (см. за- дачу 2.!О) по выборке Х =(Хп ..., Х„) является статистика т' = ТЛ"О' '/Л"0' при Т = Х~-)-... + Х,)п -(- ! и т" = О при Т = и, где о"0» = ~; ( — !)" 'С'„»". ° =о ! Указа н и е.
Применить задачу 2.60. 2.62. По выборке Х = (Хь ..., Х„) из распределения В1(г,9) построить оптимальные оценки для т~(0) = О* при целом з в ! и т»(0) = Р»(в = О) = (! — О)'. ! У к а з а н и е. Воспользоваться решением задачи 2,60; см. также указание к задаче 2.! !. 2.63*. Рассмотрим модель с конечным числом Л> воз- мо>кных исходов и неизвестными вероятностями исходов рь ..., р» (см, задачу 2.29). Показать, что Т= (чь ..., ~) — минимальная полная достаточная статистика.
Получить отсюда, что несмещенные оценки в этой модели существуют лишь для полиномов от рь ..., рм степени, мень- шей или равной и, н найти явный вид этих оценок. бз У к а з а н и е. Воспользоваться критерием для г-параметрического экспоненциального семейства и задачами 2.29 и 2.45, а также 1.52 п. б.). 2.64. Доказать оптимальность оценок, указанных в задачах 2.13 и 2.!6. ! У к а з а н и е. Воспользоваться свойством полных достаточных статистик. 2.65. Пусть Х= (Хо ..., Х„) — выборка из распределения 1.Я) = И(0, о'). Построить оптимальную оценку для т(0) = Рой(ха), где хо — заданное число. У к а з а н и е. Рассмотреть несмещенную оценку Т~ = ((Х~~хэ), где !(А) — индикатор события А, и воспользоваться теоремой Рао — Блекуэлла — Колмогорова (см.
при этом решение задачи 2.64 н 1,56). 2.66. Проверить, воспользовавшись критерием для гпараметрического экспоненциального семейства, что в случае модели%(йи О[) минимальной полной достаточной л статистикой является пара (Х, 2,' Х), а также (Х, Б'), Ус!=~ тановить оптимальность оценок, указанных в задаче 2.20 (ср.
с задачей 2.52). ! У к а з а н и е. Перейти к новым параметрам 01 = в, 5 02 а, '" зв1' 2.67. Показать, что в модели И~О, у'О') достаточной статистикой является пара Т = (Х, Б ), но эта статистика не полная. Указание. Рассмотреть функцию г1(Т) =(и+у')Х )4~'[(и — 1)у']- Хэ и вычислить ее среднее. 2.68. По результатам и) 2 независимых измерений диаметра О~ круга построить оптимальную несмещенную оценку его площади. ! У к а з а н и е. Погрешности измереннйсчитатьнормальными Ф(О, Оэ) случайными величинами; использовать задачу 2.66.
2.69*. Доказать следующее утверждение (теорема Басу): если для модели Р = [Г(х; 0),0ен8) существует полная достаточная статистика Т и если статистика Т~ имеет распределение, не зависящее от параметра О, то Т, и Т независимы. ! У к а з а н и е. Установить, что для любого события А условная Р,(7~ енА1Т) и безусловная Р,(Т,еэА) вероятности совпадают.
2.70". Пусть (Хь Хь Хз) — выборка из распределения Щ) = И(0, 6~). Построить оптимальную оценку для т(8) = = РаЯ(хо). 1 У к а з а н и е. См. указание к задаче 2.65, задачу 2.69 и решение задачи 1.58. 2.71'". Пусть Х = (Х„..., Х„) — выборка из распределения И(0ь От). Доказать, что статистики Т=(Х, 5~) и 4? = г х,-х , 1 = 1, ..., н) независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
