Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272)
Текст из файла
г. и. ивченко, ю. и. медведев, А. в. чистяков СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в начестве учебного пособия для студентов высщих технических учебных заведений Дв Москва «Высщая щиьла» 1989 ББК 22.172 И 25 УДК 5!9,2 Р е и е и з е и т ы; кафедра прикладной математики Московского инженерно-строительного института (зав. кафедрой проф. В.
В. Кучеренко) н проф. Э. А. Надарая (Тбилисский государственный университет) Ивченко Г. И. и др. И25 Сборник задач по математической статистике: Учеб. пособие длн втузов/Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, А. В. Чистнков — М.: Высот. шк., !989.— 255 с.: ил. 15В)ь) 5-05-000049-4 Задачник дополняет учебное пособие «Матемашшеская статистика (1964) Оп охватывает все оспоапыс разделы современной ста. тистнчсской теории и предназначен для нровеленая практических ваня. тий н лабораторных работ по курсу математической статистики, пре.
дусмотренному новой програлгмой по высшей математике для агузов Большинства задач снабжены решеннямн нлн методическими указа° нямн, хо всем зада~ам даны ответы. 1602090000(43090000000) — 624 и 9 89 ББК 22.!72 617.8 001(01) — 89 15В)Ч 5-06-000049-4 ф Г. И, Ивченко, 10.
И. Медведев, А. В. Чистяков, 1989 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 37 46 57 67 ?4 110 Глава 121 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ЗАДАЧИ Глава 1 Основы статистического описания, выборочные характеристики н их распределении Оценивание параметров распределений $ 1. Оценки и их общие свойства . 9 2. Оптимальные оценки . $3. Оценки максимального правдоподобия (о.м.п.) 9 4. Доверительное оцениванне .
Глава з Проверка статистических гипотез $1, Критерии согласия . $2. Выбор нз двух простых гипотез . $3. Сложные гипотезы . $4. Проверка гипотез и доверительное оценнванне $5. Критерий отношения правдоподобия 1к.о п ) . 9 6. Разные задачи Глава 4 Линейная регрессия и метод наименьших квадратов Решающие функции Глава 6 Статистика стационарных последовательностей ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Приложения Указатель распределений . Литература . ао 89 99 102 104 106 107 132 !37 240 251 253 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий сборник задач охватывает все традиционные разделы современной статистической теории. Его содержание соответствует курсу математической статистики, предусмотренному новой программой по высшей математике для инженерных специальностей высших технических учебных заведений.
Часть задач повышенной сложности может быть использована в качестве заданий для учебно-исследовательских и курсовых работ. Задачи в основном носят аналитический характер: в них требуется показать справедлквость того или иного утверждения или провести исследование. Они непосредственно дополняют или раскрывают принципиальные положения математической статистики. В сборник включены задачи, связанные с моделированием случайных величин на ЭВМ н получением исходного для статистической обработки материала.
Фактически на основе любой «теоретической» задачи, в которой речь идет о статистическом алгоритме анализа данных, можно поставить, задавая конкретные значения параметров модели (причем возможно неограниченное число вариантов), соответствующую «практическую» задачу, формулируя в качестве предварительного этапа задание смоделировать исходные данные, используя или готовые таблицы случайных чисел, или получаемые с помощью специально составленных программ. В дальнейшем, при обработке этих «экспериментальных» данных с помощью соответствующего теоретического алгоритма, имеется возможность сравнить предсказание теории с известными исходными параметрами, прн которых моделировалась выборка.
По степени трудности задачи, помещенные в сборнике, не одинаковы. Для решения некоторых из них могут потребоваться значительные усилия, такие задачи отмечены звездочкой. Большинство задач, решение которых не сводится к применению стандартных алгоритмов, снабжено подробными решениями, даны методические указания. В начале каждой главы приведены основные понятия, теоретические положения и формулы нз соответствующего раздела теории, которые непосредственно используются прн решении помещенных в данную главу задач.
В конце книги имеются статистические таблицы, необходимые для получения числовых результатов. Указатель распределений облегчит поиск задач, в которых рассматриваются различные аспекты исследования одной и той же модели. При составлении задачника использованы отечественные и зарубежные источники (учебники, задачники, журнальные статьи и др.). Авторы будут признательны всем, кто поделится сво.
нми соображениями по улучшению содержания книги. Замечания можно направлять по адресу: Москва, Ж-28, Б. Вузовский пер., 3/!2, МИЭМ, кафедра теории вероятностей и математической статистики. А вторы ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ЗАДАЧИ Глава Т ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ, ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Статистические данные, являющиеся исходным «материалом» в задачах математической статистики, обычно являются результатом наблюдения некоторой конечной совокупности случайных величин Х=(ХН ..., Х„), характеризующей исход изучаемого эксперимента.
В таких случаях говорят, что эксперимент состоит в проведении л испытаний, в которых результат 1-го испытания описывается случайной величиной Хь 1= 1, ..., л. Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Хо Х„) называется выборкой, сами величины Х„1= 1, л, — элементалш выборки, а их число л — ее объема.н. Множество Х = (х=(хн ..., х,)) всех возможных реализаций выборки Х= (Хн ..., Х„) называется выборочным лространстволс Когда истинное распределение случайной величины Х (функцня распределения Гх(хь ..., х„) = = Р(Х1(хь ..., Х„~х„)) неизвестно (полностью или хотя бы частично) и указан лишь класс (семейство) допустимых распределений Г= (Е(хн ..., х„)), которому принадлежит распределение Гх выборки Х, то говорят о статистической модели (Х, Г) (или, короче, о модели Г). Математическая статистика решает (в рамках заданной модели Г) задачи уточнения (выявлсния) различных свойств истинного распределения Гх по результатам проводимых наблюдений (по выборке Х).
Часто рассматриваются эксперименты, в которых проводятся повторные независимые наблюдения над некоторой случайной величиной Б (ее распределение обозначается символом Т.(е)). В таких случаях выборка Х= = (Хь ..., Х„) представляет собой совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем 1. (Х,) = 1.(Б), (= 1, ..., л; говорят также для краткости, что Х = (Х„, Х„) есть выборка из распределения Т.(Б). Статистическая модель для повторных независимых наблюдений обозначается кратко в виде Г= = ( р~), т. е.
указывается лишь класс допустимых функций распределения исходной случайной величины $. Если Г =(г(х; О), Оя6), т. е, допустимые функции распределения задаются с точностью до значений некоторого параметра О, то такая модель называется параметрической, а множество 6 возможных значений параметра Π— параметрическим множеством. В дальнейшем рассматриваются только модели абсо.
лютно непрерывного или дискретного типа и для единообразия используется обозначение )~(х) = 1(х) (для параметрических моделей )(х; О)) как для плотности распределения случайной величины в в случае, когда распределе. ние Ры абсолютно непрерывно, так и для вероятности Р($ = х) в дискретном случае. В случае параметрической модели распределение вероятностей на выборочном пространстве Х, отвечающее параметру О, обозначается символом Р,.
Аналогично, Е, Т(Х), ОьТ(Х), ... — обозначения соответствующих мо. ментов заданной функции Т(Х) от выборки Х в случае, когда гх(х; О) — функция распределения выборки. 2. Во многих задачах математической статистики рассматриваются последовательности случайных величин (г1„), сходящиеся в том или ином смысле к некоторому пределу т! (случайной величине или константе), когда и- оч, В дальнейшем используются два вида сходи- мости: сходимость по вероятности (ц,-е г1ч: Р(!т1,— т1!) )е)- 0 -'чсе О) и сходимость по распределению, или слабая сходимость (Е(т1„)- Е(п) или т!.— т1чьг„„(х)— — Гч(х)ьа'-х~С(Г„), где С(г) — множество точек йепрерывности функции г(х).
Прн этом из Р-сходимости следует Е-сходимость. Многие результаты о Р-сходимости различных выборочных характеристик являются следствием следующего общего утверждения о сходимостн функций от случайных величин (1, с. 20]: если т1ы -~ с, = сопэ1, 1 = 1, ..., г, и <р(хь ..., х,) — произвольная непрерывная в некоторой окрестности гочки (сь ..., с,) функция, го ~р(т1,ь ..., т1„,) е ч(сь ..., с,). 3.
Если Х = (Хь ..., Х„) — выборка из некоторого расПРеДелЕниа 1, Я), то Рг(х) = Г(х) называют теоРетической функцией распределения, а г'.(х) = —" = — 2,' е(х — Х,) (1.1) п и, — эмпирической функцией распределения (здесь р„(х'— число элементов выборки, удовлетворяющих условию Х,<х, а е(х) = ! !' — функция Хевисайда). О при х(0, 1 при к~~О По теореме ернулли, г"„(х)» Р(х)!чсх, когда и-»о!, т.
е. прн больших и значение Р.(х) может служить оценкой для г(х). Более глубокое обоснование для оценивания теоретической функции распределения с помощью эмпирической функции распределения дают теоремы Глнвенко и Колмогорова об асимптотических свойствах г„(х) при больших и [1, с.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
