Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Обе программы вызываются оператором У = = )7АЬ)(К~, где К вЂ” произвольное целое число из отрезков [1, 2' — 1[ и [1, 2" — 1] соответственно. гв Та 6 ли ч а 1.1 (!00 рааиомерио распререлеииых случайных чисел) 0,008 558 189 739 990 540 811 361 052 602 0,693 243 574 124 075 625 596 146 537 087 0,298 848 279 829 880 430 501 огп 542 092 0,403 953 484 034 185 735 906 456 047 597 О,! 13 663 394 944 295 845 216 766 557 107 0,878 428 459 009 660 210 881 43! 522 072 0,983 533 664 214 965 515 286 836 027 577 0,588 138 369 9!9 770 320 19! 74! 032 562 0,168 718 549 099 550 Шо 57! 121 012 562 0,273 823 754 304 855 405 976 »26 517 067 Воспользовавшись программой «ВР» (см. Приложение), получаем вариацнонный ряд выборки, приведенной в табл.
1.1. На рис. 1 приведен график эмпирической функции распределения Е,(х), вычисленной по этому вариационному ряду. Воспользуемся теперь программой «НЧ» (см, Приложение) для получения л нормально распределенных 19 Наличие полного периода, однако, еще не обеспечивает хороших свойств псевдослучайных чисел. Даже в датчиках, рекомендованных для широкого использования, нередко обнаруживаются существенные недостатки. Проверка «качества» последовательностей, вырабатываемых датчиками, проводится с помогцью различных статистических критериев (8).
При этом обычно ограничива1отся проверкой равномерной распределенности л-цепочек (л = 1, 2, ...) последовательности (1.5) и далее используют эту последовательность для решения модельных задач. Приведем несколько примеров моделирования выборок. Для получения л равномерно распределенных чисел Х!, Хсо ..., Х„можно воспользоваться программой О!МЕ)У5ЮМ А(! Я Я) К=5 0017=1,! И И 1 А(7) = ЯА 57(К) 5 ТОР Е)УО, где оператор у = !сАУ(К) вызывает подпрограмму датчика случайных чисел. Результаты вычислений при л = 100 приведены в табл.
!.1. случайных чисел Хь Хт, ..., Х, с параметрамн р = ЕХь о' = РХь На рнс. 2 — 4 приведены три гистограммы при к=1,о'=4и п=!О, 100, 1000. Разобьем ось Ох на интервалы длины л, равной при и = !О, 1ОО, 1000 соответственно 3; 1,5; 0,75. Точка х = 1 при любом и являлась граничной точкой интервалов.
В табл. !.2 приведены значения оценок Л Л Х = — 'Х Хс З'= —,Х !Х, — Х!' 1 ! 1 ! параметров р = 1 и п~ = 4. 20 -5-4-3.7-1 0 7 з 3 а Г б 7 х р«. г Таблица П2. 1 1. Предложить способ моделировании последовательности испытаний Бернулли Хь Ха, ..., Х„, ..., где Р(Х. = 1) = ! — Р(Х„= О) = р.
! У к а з а н и е. Использовать последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на отрезке (О, 1). -5-4-3-2 -1 О 1 2 3 4 5 5 1.с Рис. 3 "5-4-3 "2-1 2 1 2 5 4 5 5 7 Рис. 4 21 1.2. Смоделировать последовательность испытаний Бернулли, указанную в задаче 1.1, с р = 0,4 и п = !000. Вычислить частоты р~//г, где 1м = Х~ + " + Хз, при й = !ОО, 200, ..., 900, 1000. В системе координат кОу построить график, соединив прямыми соседние точки (й, рз/й), й = 100, 200, ..., 1000. 1.3.
Указать способ моделирования независимых испытаний в полиномиалыюй схеме с исходами 1, 2, ..., !У и вероятностями исходов соответственно рп рь " рл. 1.4. Указать способ моделирования симметричного блуждания с дискретным временем по целым точкам прямой с началом в точке 0 (вероятности перехода в соседние точки за один гпаг предполагаются одинаковыми). 1.5. Пусть случайная величина с равномерно распределена в интервале [О, !], Е(х) — непрерывная функции распределения. Найти функцию распределения случайной величины т! = Г '(С), где х = г '(у) — функция, обрат.
ная функции у = г(х). !.6. Предложить способ моделирования случайной последовательности Хь Хм ..., Х„, ..., где Р(Х„( !) = = ! — е ц', ! ) 0 (а ) 0 — постоянная). ( У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. !.7. Смоделировать независимые показательно распределенные величияы Хь Хз, ..., Х„с а = 1, л = 100. Построить график эмпирической функции распределения и гистограмму; вычислить первый и второй выборочные моменты Ап, Аль ! У к а з а н н е.
Использовать предыдущую задачу и программу «ВР». 1.8. Указать способ моделирования эрланговской случайной последовательности (Х;) с параметрами (а, т) (т. е. Е(Х;) = Г(а, т), ! = 1, 2, ...). 1.9. Используя центральную предельную теорему, указать способ моделирования приближенно нормально распределенных случайных чисел Х„, и = 1, 2, .... !.10. Пусть Хю, ..., Хл. — реализация последовательности приближенно нормально распределенных чисел, каждое из которых получено суммированием Ф равномерно распределенных слагаемых (см.
предыдущую задачу). Получить три реализации (при !У = 2, 4, !2) выборок с и = !00, а = О, о' = !. Для каждой выборки построить эмпирические функции распределения и гистограммы; получить оценки а и о'. !.11. По выборкам предыдущей задачи вычислить 3-й и 4-6 выборочные центральные моменты и сравнить их с истинными значениями теоретических моментов. 1.12. Указать способ моделирования выборки из биномиального распределения В!(я, р). 1.13. Пусть ч„ — число успехов в и испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р 5(О, !).
При больших п вычислить границу 6, такую, чтобы событие « — р~ ( 6„имело вероятность -у. Укладываются ли я эти границы при у = 0,98 результаты следующего эксперимента (эксперимент Бюффона): при и = 4040 бросаниях монеты наблюдалось 6 = 2048 выпадений «герба»? 1: У к а з а н и е. Применить теорему Муавра — Лапласа; монету считать симметричной. 1.14. Используя такой же подход, как в предыдущей задаче, проверить соответствие теории следующих данных: среди и = !0000 «случайных чисел» О, 1, ..., 9 числа, ие превосходящие 4, встретились Ь = 5089 раз.
1 15. Смоделировать выборку объема и = ! 000 из распределения Бернулли В!(1, 3/5) и аналогично задаче 1.13 проверить соответствие экспериментальных данных предсказанию теории. ! У к а з а н н е. Воспользоваться задачей !.!. 1.!6. Проводились опыты с бросанием одновременно !2 игральных костей. Наблюдаемую случайную величину 5 считали равной числу костей, на которых выпало 4, 5 или 6 очков. Пусть й; — число опытов, в которых наблюдалось значение 6 = Е ! = О, 1, ..., !2.
Данные для и = 4096 опытов приведены [3, с. 381 в следующей таблице: а) Построить график частот Ь;/и и сравнить его с графиком функции се б) Вычислить выборочные среднее и дисперсию, а также выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса. в) Принимая Е(6) = И(!2, — ~, найти 6 из условия ! х э/ Р(!Х вЂ” а~ ! (6) = 0,998 и сравнить с 6 вычисленное по указанным данным отклонение выборочного среднего от теоретического аь гз ! У на з а и не. При оценке указанной в п, в) вероятности использовать теорему об асимптотической нормальности выборочного среднего.
1.17 (продолжение задачи 1.16). В предыдущем эксперименте наблюдалась также случайная величина $, равная числу костей с 6 очками, Таблица наблюдавшихся данных в этом случае имеет [3, с. 45] вид Ответить на вопросы задачи !.16, считая при этом ЬД) = В (!2, —,') . !.!8. Смоделировать выборку объема и =!000 из распределения Ь($) = В(4, †( и проанализировать соот! х 3/ ветствующие данные аналогично задаче 1.!6. 1 У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1.12.
1.19. Наблюдались показания 500 наугад выбранных часов, выставленных в витринах. Пусть ! — номер промежутка от бго часа до (1+!)-го, ! = О, 1, ..., !1, а /ив число часов, показания которых принадлежат 1-му промежутку. Результаты таким образом сгруппированных наблюдений оказались следующими (4, с. 459]: а) Построить полигон частот и сравнить его с графиком функции Кх) = с, 0 < х -' 12.
б) Рассматривая эти данные как независимые наблюдения над дискретной случайной величиной 5, принимающей значения, совпадающие с серединами соответствующих интервалов (т. е. значения 0,5; 1,5; ...; ! 1,5), вычислить выборочные среднее и дисперсию. в) Принимая, что в п. 6) случайная величина имеет равномерное распределение, найти 6 из условия Р(]Х вЂ” а~] ( 5) = 0,96 и сравнить с ним наблюдавшееся значение отклонения ]Х вЂ” а~]. !.20. Смоделировать выборку из полиномиального распределения М (500; 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5) и, рассмат- ривая зти данные как наблюдения над случайной величиной З, принимающей значения — 2, — 1, О, 1, 2, проанализировать соответствующие данные аналогично задаче 1.!9.
! У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1.3. 1.21. В опытах наблюдалась неотрицательная непрерывная случайная величина $. Ее значения (упорядоченные по величине и округленные с точностью до 0,01) для и = 50 опытов оказались равными: 0,01 0,01 0,04 0,17 0,18 0,22 0,22 0,25 0,25 0,29 0,42 0,46 0,47 0,47 0,56 0,59 0,67 0,68 0,70 0,72 0,76 0,78 0,83 0,85 0,87 0,93 1,00 1,01 1,01 1,02 1,03 1,05 1,32 1,34 1,37 1,47 1,50 1,52 1,54 1,59 1,71 1,90 2,10 2,35 2,46 2,46 2,50 3,73 4,07 6,03.
Построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму; сравнить гистограмму с графиком функции се '~', х ) О. Вычислить выборочные среднее и дисперсию. 1.22. Получена выборка объема и = 100: 0,144 0,937 1,787 — 1,052 — 0,192 0,169 2,623 2,135 1,759 0,811 0,724 — 0,1!О 1,752 — 0,378 0,417 1,360 1,365 2,587 1,621 2,344 1,379 0,560 1,858 2,453 — 0,356 1,503 — 0,134 2,950 — 0,816 0,717 2,468 1,!31 1,047 1,355 1,162 — 0,491 0,261 — 0,183 0,467 0,502 — 0,805 0,228 2,286 0,364 — 0,312 — 0,045 2,559 0,129 0,898 0,877 3,285 1,554 1,418 0,423 — 0,489 — 0,255 1,092 0,402 — 0,051 0,020, 0,398 1,399 2,121 — 0,026 1,087 2,018 — 0,437 1,661 1,091 0,363 1,229 0,416 1,705 1,124 1,34! 2,320 0,176 — 0,541 0,837 3,329 2,382 — 0,454 2,537 — 0,299 1,363 0,644 0,975 1,294 3,194 0,605 1,978 1,109 2,434 — 0,094 0,735 0,143 — 0,421 — 0,773 1,570 0,947.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
