Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть 2. Д) = В( (К 0) и и = 1. Рассмотрим функции вида т„(0) = 0'(! — 0)' при целых г, з ) О. Показать, что несмещенная оценка для т„(0) суцгествуст лишь при г + з ( и и в этом случае она имеет вид Т (Х) = (Х),(й — Х),/(й),+„ где (а), = а(а — ! ) ... (а — г + 1), г ) 1, (а)о = 1. 2.8. Пусть Х = (Хь ..., Х.) — выборка из распределения В1(й, О) и Т = Х~ + ...
+ Х,. Описать класс параметрических функций т(0), для которых существуют не- смещенные оценки вида Н(Т). Построить несмещенную оценку такого вида для т,(0) = 0'. У к а з а н и е. Воспользоваться свойством воспроизводимости распределении В1(й, 0) (см. задачу 1.39 п. 3) и задачу 1.52 п.б)). 2.9. Пусть Щ) = П(0) и и = !. Проверить, что Т(Х) = = (Х); — несмещенная оценка т(О) = 0' (!' = 1, 2, ...), а для фуннций т(0) = 0 ' при а ) 0 несмещенных оценок не существует. Построить несмещенную оценку для (! + О)-'. 2.10. Пусть по одному наблюдению над дискретной случайной величиной $ с распределением 1(х; 0) = = е " †/(! — е «), х = 1, 2, ...
(урезанное в нуле пуаск! / соновское распределение), требуется оценить функцию т(О) = 1 — е ~, Убедиться в том, что здесь имеется единственная несмещенная оценка, по она практически бесполезна. 2.1!. Пусть Е(а) = В((г, 0) и л = 1. Построить несмещенную оценку функции т(0) = 0' (з) ! — целое) и убедиться в том, что при г = 1 эта оценка практически бесполезна. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (! — О) = 2„С!+;,ОР. !са 2.12. Показать, что Т(Х) = 2„'—. — единственная ! р=! ! несмещенная оценка функции т(О) = 1п(1 — О) в модели Вс(1, О) при и = 1. 2.13.
Убедиться в том, что Т" = Х~ — ~ — несмел щенная оценка функции т(0) = О в модели У(0, а ). 2.!4. В модели Лр(р, 0') требуется оценить т(0) = 0' по выборке объема и. Показать, что выборочная дисперсия 5' имеет меньшую среднеквадратнческую ошибку, чем л несмещенная оценка т* = — 2, (Хр — р)'. Какая из двух 1 р— несмещенных оценок та и 5 ' (см. задачу 2.! п. г) ) точнее? 2.15. Доказать, что Т„(Х) = У' †" — ,"р ! Х; — и! — нес=! смещенная и состоятельная оценка параметра О в модели Л!(р, 02).
2.16*. Пу ть Х = (Хп ..., Х.) — выборка из распределения йр(р, О ) и Т' = ~'„(Хр — р)'. Доказать, что несмер щенной оценкой для функции тр(0) = О' при любом целом г( — ) р'. с-. р2( — ) 2 нить оценку ту. с оценкой, указанной в предыдущей задаче. 1= ° У казани е. Использовать тот факт, что Ес(Т')О") = = Х'(и). 2.17. Дана выборка Х = (Хь Хъ Хз) из распределения У(0, О') и пусть Т = Т(Х) = -р/Хтр+Хр+Хм Рассмотрим статистику р,(х) = — 1($к! ( Т1, где /( ) — индикатор, ! которая как функция переменного х представляет собой плотность равномерного распределения на отрезке 48 ! — Т, Т).
Убедиться а том, что р<(х) при любом х является несмещенной оценкой для плотности исходного распределения й<(0, О'). Указа ни е. Воспользоваться тем, что Т.,(Т'/О') = = !! (3) 2.18. Рассмотрим задачу оценивания неизвестной дисперсии 6~ ~в общей нормальной модели й<(0<, О!). Пусть Х = (Х<, ..., Х,) — соответствующая выборка и 5'— несмещенная оценка О1 (см. задачу 2.! и. г) ). Рассмотрим класс оценок вида Т< = Л5 .
Убедиться в том, что и — 3 при, ( Л < ! статистика Т< имеет меньшую среднеи+ < л квадратическую ошибку, чем 5 . При каких целых й этому подклассу принадлежат статистики — ~; (Х<— и+и, — Х)'2 Найти оптимальную (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) оценку в классе (Т,!.
2.19* (продолженне задачи 2.18). Построить оптимальные оценки вида Т, = Л5", минимизирующие меры Е«(Т< — Озз)' и Е«! Тх — 0~2! соответственно. ! У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Фишера и задачей 1.45. 2.20. Доказать, что в модели задачи 2.18 несмещенной оценкой для функции т<(0) = О! при любом целом й ) 1 является статистика ° -' "(" ') „ "=® „(..' ) ' где 5~ — выборочная дисперсия.
Рассмотреть случай и = 2 и вычислить смешение статистики !Х, — Хз! как оценки Оь ! Указание. Учесть, что Еи(п5'/О!) = К'(и — !). 2,21. Пусть Х = (Х<, ..., Х„) — выборка нз распределения Г(О, Л) н Т = Х<+ ... + Х„. Убедиться в том, что статистика т, =., ' Т вЂ” несмещенная оценка ° Г<хи) Г(ки — и) функции т,(0) = 0 ' при любом а( Лп.
! У к а з а н и е. Воспользоваться свойством воспроизводимости гамма-распределения (см. задачу 1.39 п. 2)). 2.22*. Продолжительность горения электрических ламп имеет распределение Г(0, !). Чтобы оценить О, берут выборку из и ламп и наблюдают «времена жизнии пер- вых г перегоревших ламп Хп! < Хев ( ... ( Хоь Построить оптимальную несмещенную оценку вида Т(Х) = ,'~ ХьХмь У к а з а н и е. Перейти к величинам У, = (Х„,— а — Хо О), г = 1, ..., и (Хм! = 0), и воспользоваться задачей 1.34.
2.23. По выборке Х = (Хь ..., Х„) из распределения 17(0, 20) требуется оценить параметр О. Рассмотреть класс оценок вида Т = Т(Х) = аХм!+ !!Х<п, а, )! ~ О, и найти в этом классе оптимальную несмещенную оценку. ! Указан не. Воспользоваться задачей !.36.
2.24. Оценивается параметр 0 равномерного распределения !!(О, О) по выборке Х = (Хь ..., Х,). Убедиться в том, что обе статистики Т~ = Хм! и Тг = (и + 1)Хш «+! и несмешенные. Какая из цих предпочтительнеер Указание. Воспользоваться задачей 1.36; установить, что оценка Те не является состоятельной. 2.25.
Пусть Х = (Хь ..., Х ) — выборка из )7(Оь Ог). Доказать, что статистики Т~ — — (Лп!+ Хеа)/2 и Те = л+! (Хаа — Хп!) — несмешенные и состоятельные и†! оценки функций т1(0) =- (01+ Ог)Т2 и те(О) = 0~ — О~ соответственно. ) У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1.36. 2.20. Убедиться в том, что если Х = (Хь ..., Х.) — выборка из распределения Вейбулла с неизвестным параметром сдвига 0 — Щ О,а, Ь). то статистика Т(Х) = ча†ЬГ~ ! + †)и ы' — несмещенная и состоятельная оценка параметра О. ! У к а з а н и е. Воспользоваться решением задачи 1.37. 2.27.
Показать, что для логистического распределения с плотностью !(х; О) = е "+"(! + е "+") ', — (х(со, 0~( — со, сю), несмещенной и состоятельной оценкой параметра 0 является выборочное среднее Х. 2.28. Показать, что выборочное среднее Х для модели Коши К(О) не является состоятельной оценкой параметра О. ! У к а з а н и е. Воспользоваться свойством среднего арифметического для распределения Коши. 50 2.29. Оценивание для полиномиальпого распределения. Пусть случайная величина $ принимает конечное число значений ао ..., ав с неизвестными вероятностями Р~ ". Рв (Р~+" +рв = 1).
Чтобы оценить параметры 0 = (рь ", рв-~) (параметр рв = 1 — р~ — ... — Рв ~), произведено и независимых наблюдений над $. Пусть т,— число членов выборки, равных а„г = 1, ..., Л'. а) ПОКаэатЬ, Чта СтатИСтИКИ Т, = — ', г =1, ..., М несмещенные и состоятельные оценки параметров р„..., рв соответственно. б) Описать класс параметрических функций т(0), для которых существуют несмещенные оценки вида Н(Ть ..., Т«). в) Построить несмещенную и состоятельную оценку функции т(0) = ~'„с,р;. У к а з а н и е.
Учесть, что Е(чь ..., ч»)= М(п; рь ..., р„), и воспользоваться решением задачи 1.52. 2.30. Оцениваьие по методу моментов. Пусть Х = = (Хь ..., Х,) — выборка из распределения СЯ) ев (Е(х; 0), 0 = (О„..., 8,)»вЂ”: . 6) н моменты а»(6) = Е«С», я = 1, „г, существуют. Тогда, решая относительно Оь ..., О, уравнения а»(0) = А«», й = 1, ..., г, где А„» = А«»(Х) — выборочный момент Й-го порядка, получаем значения оценок параметров, найденных методом моментов. Найти по методу моментов оценки параметров гамма- распределения Г(Оь О,) и убедиться в их состоятельности. 2.31.
Нанти методом моментов оценки параметров «двойного» распределения Пуассона, задаваемого вероятностями х=0,1,2,..., 0=(0ьО»),0(0 (Оь Такое распределение описывает, например, число столкновений с молекулами газа в камере Вильсона частиц, получающихся при распадении ядра урана в результате бомбардировки его нейтронами. Вычислить значения полученных оценок для следующих данных, полученных при и = 327 наблюдениях над случайной величиной $ (через п„обозначено число наблюдений, в которых с = х): 51 2.32. Смоделировать выборки, объемы которых н = = 1О, 100, 1000 нз равномерного распределения В(0, 0) прн О = 1, и оценить методом моментов параметр О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
