Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Построить о. м. и. для функций т~(0) = глХ~ и те(О) = ь1ьХь Вычислить Ееты и убедиться в асимптотической несмещенности оценки ты. ! У к а з а н и е. Воспользоваться свойством инвариантностн о. м. и. 2.93. Распределение Кенгайна. Это распределение задается плотностью Ях; 0) = — ~-Ы ехр( — 1., (д(х) — 0~)'), 0 = (Он Ое), где д(к) — некоторая дифферснцируемая монотонно воз. растаюшая функция.
Убедиться в том, что справедливо следующее обобщение результата задачи 2.86: о. м. п. 0„= =(ь", Т), где ь". = — ~ в(Х,), Т' = —,~ (ь(Х,) — а)'. Яв=! =! ляется ли д эффективной оценкой 0~? Показать, что при известном значении 0~ — — а эффективной оценкой 01 является статистика т, = — Х (а(Х,) — а)' (ср. с соответствующими результатами для нормальной модели (задача 2.48)]. 1 У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 2.46. 2.96. Пусть случайная величина а имеет распределение типа степенного ряда (см. задачу 2.60). Показать, что уравнение правдоподобия для нахождения о. м, п.
О. в данном случае имеет вид 1г(О) = Х, где р(0) = ВвД, Вычислить асимптотическую дисперсию оценки О,. Применить эти результаты для оценивапия параметра 0 модели В)(г, 0). 2.97 Записать уравнения метода накопления для приближенного вычисления о. м. п. О„параметра 0 урезанного в нуле пуассоновского распределения (см. задачу 2.10).
У к а з а н и е. Использовать решение задачи 2.96. 2.98. Пусть в полиномиальном распределении М(п; ро рэ) вероятности исходов рч = р,(О), 1 = 1, ..., И, где О— неизвестный скалярный параметр. Записать уравнения метода накопления для приближенного вычисления о. м, п. О.. 2.99.
Рассматривается задача оценивания параметра 0 модели КошиК(0) по соответствующей выборке Х = (Хь , Х„). Записать уравнения метода накопления для приближенного вычисления о, м. п. 0„. Рассмотреть в качестве оценки О выборочную медиану Т„= Х,„~ ~ и вычислить се асимптотнческую эффективность. 1 У к а з а н и е. Использовать задачи 2.43 и 1.32. 2.100. Пусть Х = (Хь ..., Х,) — выборка из равномерного распределения )7(0, О). Показать, что в данном случае о. м. п. О„= Хмь убедиться в ее состоятельности и найти ее предельный закон распределения (л- оо).
1 У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 2.24 и 2.79. 2.10!. Показать, что в случае модели )г(0 — — , 0 + 1 2 1 х Г ! ! т + —,~ любое значение Оеч Хм — —, Х,п+ —;-~ является в! 70 а. м. и. О„. Какая точка этого интервала является несмещенной оценкой 87 ! У к а з а н и е. Использовать решение задачи 2.80 и задачу 1.36. 2.102. Показать, что для параметра сдвига 0 распределения Вейбулла )Р(О,а,Ь) при 0(а(1 о. м. п. 8. = = Хпь убедиться в ее состоятельности и найти ее предельный при л- оч закон распределения.
У к а з а н и е. Использовать решение задач 137 и 2.26. 2.103. Случайная величина $, характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры, имеет распределение Релел Ю(0,2,-ь(8), плотность которого 7(х;8) = = (2х/0)е "ч, х)0. Построить по соответствующей выборке Х = (Хь ., Х„) о. м. п. 8„(ср.
с задачей 2.76). 2.104. По выборке Х = (Хь ..., Х„) из распределения Г(9, !) требуется оценить функцию т(8) = —. Показать, ! о ' что о. м. п. т, = 7./Х. Убедиться в состоятельности этой оценки и найти ее предельный прн и-~ со закон распределения. У к а з а н и е.
Воспользоваться задачами 2.21, 2.43 и 2.84. 2.105*. Доказать, что для распределения Лапласа, задаваемого плотностью Ях; 0) = — е Р '1, хе=Я, о. м. п. 2 О„совпадает с выборочной медианой. Можно ли здесь воспользоваться теоремой об асимптотической нормальности о, м, п,р 2.!Об~. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — выборка из распреде- ленияМ(О, 1). Тогда (см. задачу 2.84) о. м. и. 0 = Х и 7 (Х) = М(0, 1/и). Рассмотреть в качестве оценки 0 статистику (оХ при !Х1= а„, и— 1(ЬХ при !Х! а„, где константа а„- О, но-ула,— оо при и- со, и вычислить ее аснмптотическую эффективность.
2.107. Привести примеры о. м. п. 0„, для которых 0~0„= о(п '). ! У к а з а н и е. Рассмотреть модель 77(0,0) (см. задачу 2.100) н модель Вейбулла (см. задачи 2.!02 и 1.37). 2.103. Рассмотрев задачу оценивания функции т(0) = = 0 ' в модели П(0), убедиться в том, что о. м. и. т„ни при каком и не имеет конечных моментов, ио ее симптотическая дисперсия существует и равна (О'и) т! ! У к аз а н не. Использовать задачи 2.84, 1.39 и 2.43. 2.109*. Преобразования, стабилизирующие дисперсию.
Для моделей В1(я, 0), П(О),У(р, 0') и Г(0, Х) найти такие параметрические функции т(6), чтобы асимптотические дисперсии соответствующих о. м. и. т, не зависели от пара- метра О. 1 У к а з а н и е. Использовать задачу 2.43. 2.110. Смоделировать выработки объемами и=!О, 100, 1000 и получить о. м. п. параметров следующих распре- делений: 1) М(Оь 61), при моделировании положить 6~ = 1, 61=4; 2) В!(1, 0), при моделировании положить 6 = 0,7; 3) )с(0, 6), при моделировании положить О = 1.
! У к а з а н и е. Использовать задачи 2.86, 2.84 и 2.100 соответственно. 2.111*. Оценивание размера конечной совокупности. В условиях задачи 2.83 установить, что о.м, п, М неизвест- ного размера совокупности М при з! ~ 1 однозначно нахо- дится нз условия 5(7ч', Ч)(п(5(У вЂ” 1, и), д 5(м, ч — ~ „'+,', л ° "„" .р. и~~~~. я~— — 1, я) = сю. Если же т! = 1, то )т' = 1. Определить, при каких значениях т! оценка )() = з). Предполагая, что и, М-~со, 0(ае(а "— (а~ оо, и+1 где ам а~ — некоторые константы, получить приближенное выражение для о.
м. п. а = и/(Ж+ 1). Обобщить этот результат на случай произвольного значения гп. 2.! 12 (продолжение задачи 2.! 1! ). Для оценки неизвестного числа Ж рыб в озере проводят следующий эксперимент. На первом этапе по схеме случайной выборки без возвращения вылавливают т~ рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. На втором этапе по аналогичной схеме вылавливают еще гпз рыб и подсчитывают число рз оказавшихся среди них меченых рыб (так что число различных пойманных за оба улова рыб и = аз~ +пзз — р,).
Показать, что о. и. п. У по данным 1и определяется равенством г т,~, ч 7т' = ~ — зь Сравнить этот результат прн т~ = гпз с рею зультатом, полученным в задаче 2.36. ! У к а з а н и е. Учесть, что статистика рг имеет гипергеометрическое распределение Н(гпь М, тз). 2.113". Выборочный контроль. Имеется партия из М из делий, содержащая некоторое (неизвестное) число 0 дефектных изделий. Чтобы оценить параметр В или некоторую заданную функцию от него т(0), случайным образом без возвращения нз всей партии извлекается п(п( М) изделий, каждое из которых проверяется на доброкачественность. Пусть Х; = 1, если »-е проверяемое изделие дефектно, и Х, = О в противном случае, ! = 1, ..., п.
1) Показать, что а„= Х! + ... + Х„(общее число обнаруженных в выборке Х = (Х!, ..., Х„) дефектных изделий) есть полная достаточная статистика для О, имеющая гипергеометрическое распределение Н(В,М,п), и, основываясь на этом, убедиться в том, что несмещенные оценки существуют лишь в случаях, когда т(0) — много- член степени не выше и. В этом случае, если т(0) = = х; а,(0);, (О), = В(0 — 1)...( — !'+ 1), (0)л = 1, то оп »-о тимальной несмещенной оценкой т(0) является статистика л тл = »(ст ) = 2', а,(й„),(М);/(п),, о 2) Получить явный вид оптимальных оценок для функций т!(О) = 0 и т»(0) = 0(М вЂ” О), которые с точностью до множителей являются соответственно средним и дисперсией статистики а (см.
и. 6) гл. 1). 3) Убедиться в том, что о. м. п. 0„= [(М+ 1)а„/и). У к а з а н и е. Использовать решение задачи 2.33 и формулы для моментов распределения г((В„М,п). 2.14. Объединение статистической информации. Пусть Х, = (Х;„..., Хм,), 1 = 1, ..., й„— независимые выборки из распределений М(О;!, О»»), !' = 1, ..., К соответственно и Хь 5, = 5'(Х;) — соответствующие выборочные средние и дисперсии. Доказать, что О = (Х!, ..., Х», О») — о. м. п. для О = (9!!, ..., 0»!, 0»), где О» ~= 2'„п,5,'; несмел~+...+ л„. щенной же оценкой для общей дисперсии О» »является статистика » л~+ ... +л~ ! 2 О» = "' О» = ,'Р п,5,.
»=! 1 У к а з а н и е. Использовать решение задачи 2.86. 5 4. Доверительное оценнвание 2.115. Показать, что у-доверительный интервал для параметра О маделиЖ(0, О ), О) О, по выборке Х = (Хь ..., , Х„) имеет вид (Х/(! + с„/-уги), Х/(! — с,/~/и)~". Полу- чить соответствующее решение для моделидг(6, 6 ), 0(0. У к а з а н и е. Использовать тот факт, что Еп((Х— — 0)уги/0) =М(0, !). 2.116. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — выборка из распреде- ленияй((0, о ). 1) Убедиться в том, чта любой интервал вида Л„(Х) = Х вЂ” и я,, Х вЂ” — п~), где д~(йх — любые числа, =Г «/и «/и удовлетворяющие условию Ф(яп) — Ф(я,) = у, является у-доверительным интервалом для параметра 6. Доказать, что наикратчайшим среди этих интервалов является интервал Л,(Х) =~Хч- ~ с,) .
«/а 2) Сколько необходимо произвести наблюдений и = = и(1,у), чтобы точность локализации параметра при до- верительном уровне у была равна заданной величине !? Вычислить и((,у) при у = 0,99, ! = 0,5 и ! = 0,1 (величи- на о = !). Как изменяется доверительный уровень у в за- висимости от ! и и? ! У к а з а н и е. Воспользоваться центральной статистий а(Х; 0) = — "(Х вЂ” 0). /и 2.117.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
