Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 17
Текст из файла (страница 17)
о. п. задается асимптотически критической областью Хы = (х: — 21пЛ„(х))Х[ ), где Хрх — р-квантнль распределения Х~(г). Прн этом он является состоятельным (Ю,(0)-~-1 при и-~ са -'чг0 ~ 8а) и его мощность при близких альтернативах вида 0~"' = = 8а+й/ь/а й = Ф ..., 3,) Ф О, удовлетворяет при и- оо соотношению )Р„(0ов -~. 1 — Р,(Х', х; Х'), где Х' = ф'7(8О)Д, ((О) — информационная матрица модели, а г",(1; Х') — функция нецентрального распределения Х' с числом степеней свободы г и параметром нецентральности Х' [1, с.
173[. Аналогичными асимптотическими свойствами к. о. п. обладает и при сложных гипотезах Но [1, с. 174 — 176). $4. Критерии согласия 3.1. Для данных задачи 1.13 проверить, согласуются ли они с гипотезой Но о том, что монета была симметричной. Уровень значимости положить равным: а) 0,05; б) 0,1.
3.2. По данным задачи 1.14 проверить гипотезу На о случайности чисел. При каком уровне значимости гипотеза Н, отвергается? 3.3. При и = 4000 независимых испытаний события А„Ах, Аз, составляющие полную группу, осуществились соответственно 1905, 1015 и 1080 раз. Проверить, согласуются ли эти данные при уровне значимости 0,05 с гипотезой Ньс р~ = 1/2, р~ = рз = 1/4, где рч = Р(А;). 3.4. В десятичной записи числа п среди первых 10002 знаков после запятой цифры О, 1, ..., 9 встречаются соответственно 968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970„948, 1014 раз [6, с. 96].
Можно ли при уровне значимости 0,05 считать эти цифры случайными? При каком ) не значимости эта гипотеза отвергается? 3.5. Согласуются ли данные, приведенные в задачах 1.!6 и 1.17, с гипотезой о симметричности костей? 3.6. Крупная партия товаров может содержать долю дефектных изделий. Поставщик полагает, что эта доля составляет 3%, а покупатель — 10%. Условия поставки: если при проверке 20 случайным образом отобранных товаров обнаружено не более одного дефектного, то партия принимается на условиях поставщика, в противном случае — на условиях покупателя.
Требуется определить: 1) каковы статистические гипотезы, статистика критерия, область ее значений, критическая область; 2) какое распределение имеет статистика критерия, в чем состоят ошибки первого н второго рода и каковы их вероятности. 3.7. Согласуются ли данные задачи !.19 при уровне значимости О, 1 с гипотезой На о том, что показания часов равномерно распределены на интервале (0,12)2 При каких значениях уровня значимости гипотеза На не отклоняется? 3.8.
В экспериментах с селекцией гороха Мендель наблюдал частоты различных видов семян, полученных при скрещивании растений с круглыми желтыми семенами н растений с морщинистыми зелеными семенами. Эти данные и значения теоретических вероятностей по теории наследственности приведены в следующей таблице: Следует проверить гипотезу Нв о согласовании частотных данных с теоретическими вероятностямн (на уровне значимости а(0, 9).
3.9. Используя таблицу значений какой-либо функции (созх, е*, 1пх и т. д.), записать ! 00 цифр, выбирая из каждого значения функции второй знак справа. Проверить для такой выборки гипотезу о случайности цифр О, 1, ..., 9. Уровень значимости положить равным; а) 0,05; б) 0,01. 3.10. Группируя данные задачи 1.21 по Н = 4 равно- вероятным (при гипотезе На) интервалам, проверить ги- потезу Нгп Рг(х) = 1 — е ', х~О (уровень значимости принять равным О, 1). 3.11.
Пусть по выборке Х = (Хп ..., Х,) требуется проверить гипотезу об экспоненциальности распределения наблюдаемой случайной величины $, т. е. Нсп Р~(х) = =- 1 — е "ч, х)0 (параметр 0)0 неизвестен). Применяя метод группировки с интервалами Е; = [Π— 1)а,!а), !'= 1, ..., И вЂ” 1, Еэ — — [(Ж вЂ” 1)а,оо), где а~Π— заданное число, построить критерий согласия Х' для гипотезы Нв. Проанализировать данные задачи 1.21 с этих позиций, принимая М = 3, а = !. 3.12.
В генетической модели Фишера [б, с. 79[ принимается, что вероятности появления потомства, классифицируемого по четырем типам, имеют вид р,(О) =,, р,(О) = р,(0) = =,, р,(0) = —,, 2+0 ! — О О ~де Ое=-(0, 1) — неизвестный параметр. Как выглядит критерий Х для проверки соответствия этой модели реальным данным? 3.13. При 8000 независимых испытаний события А, В и С, составляющие полную группу, осуществились 2014, 5012 и 974 раз соответственно. Верна ли при уровне значимости 0,05 гипотеза; р(А) = 0,5 — 20, р(В) = 0,5 + + О, р(С) = 0 (0<0<0,25)7 У к а з а н и е. См. решение задачи 3.12.
3.14. Для данных задачи 1.23 проверить гипотезу Но". Ць~) = П(0), где 0 — неизвестный параметр. ! У к а з а н и е. В качестве оценки неизвестного параметра 0 принять выборочное среднее [1, с. 117]. 3.15. Через равные промежутки времени в тонком слое раствора золота регистрировалось число частиц $ золота„попавших в поле зрения микроскопа. По данным наблюдений„приведенных в следующей таблице: проверить гипотезу Н,: 7.Я) = П(О), где 0 — неизвестный параметр.
3.16. В таблице приведены числа гп, участков равной площади 0,25 кмэ южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по! попаданий самолетов-снаря. 91 дов во время второй мировой войны. Проверить согласие опытных данных с законом распределения Пуассона, приняв за уровень значимости а = О, 05: 3.!7. Среди 2020 семей, имеющих двух детей, 52? семей, в которых два мальчика, и 475 — две девочки (в остальных 1017 семьях дети разного пола). Можно ли с уровнем значимости 0,05 считать, что количество мальчиков в семье с двумя детьми — биномиалы<ая случайная величина? 3.18. Во время эпидемии гриппа среди 2000 контролируемых индивидуумов одно заболевание наблюдалось у 181 человека, дважды болели гриппом лишь 9 человек.
У остальных 1810 человек заболевания не было. Согласуются ли при уровне значимости 0,05 эти данные с гипотезой, согласно которой число заболеваний отдельного индивидуума в течение эпидемии — биномиальная случайная величина? 1 У к а за н ие. См. решение задачи 3.17. 3.!9*. Исследовать асимптотическое (при и- о) поведение среднего н дисперсии статистики Х'„ критерия согласия Х' при «близких» альтернативах вида и<">:р, = р,"> = р,'+ — ', 1 = 1, ..., Ь>, Х 8> = О н ! < У к а з а н и е. Использовать формулы для Е( >7т)Р)н Э(Х',1р), приведе><ные в 11, с. 113!. 3.20".
Пусть ><о = ре(н, >У) — число пустых интервалов при группировке и наблюдений по Ь> равновероятным (при гипотезе Н<>) интервалам. Рассмотрим гипотезы вида Н<"'<Р; = Р';"> =-„-'(!+ —",,,), 1= 1, ..., И, где и < а >пах 1Ь;1 ( с ( ч<>, ~', Ь, = О, Ь<(<<>) = — — ~ Ь'; — — -«Ь' ) О. > ч > ч >> < Доказать, что при л, М-+.оо, — = р)0 л М Е(р91й~() = Ме 9 + — Ь~(М)рзме-Р + 0(Мьч) 2 В(р911т'1м) = Же '(! — е '(1+р))(1+ 0(М '")). У к а з а н и е.
Использовать формулы (3.16), приведенные в [1, с. 120). 3.21. Поступающие в институт абитуриенты разбиты на два потока по 300 человек в каждом. Итоги экзамена по одному и тому же предмету на каждом потоке оказались следующими: на 1-м потоке баллы 2, 3, 4 и 5 получили соответственно 33, 43, 80 и 144 человека; соответствующие же данные для 2-го потока таковы: 39, 35, 72 и 154. Можно ли при уровне значимости 0,05 считать оба потока однородными? 3.22. Следующая таблица содержит данные о смертности среди матерей, родивших первого ребенка, в четыре различные периода времени (6, с. 102) (л; — число матерей, тл — число смертных исходов) Проверить гипотезу 11, о том, что в уровнях смертности между этими периодами не существует различия.
У к а з а н и е. Применить критерий однородности 2' для испытаний с двумя исходными. 3.23* Пусть произведены две серии из л~ и лг независимых испытаний, в каждом из которых наблюдается либо исход Л, либо исход 4. Результаты сведены в следующую таблицу, в столбцах которой указано число реализаций соответствующих исходов для каждой серии: 93 1) Убедиться в том, что статистика Х'. для проверки гипотезы На об однородности испытаний представима в виде Х,', = У„', где статистика 2) Доказать, что Е(Х,!На! — Н(0.
1) при и» па-а- ао и, основываясь на этом, построить критерий проверки гипотезы На'р~ = ра против односторонней альтернативы Н,: р~)ра (здесь р; — вероятность реализации А в испытаниях Вй серии, 1 = 1, 2). 3.24. Пусть ч» ..., чн — независимые случайные величины, причем Е(т) = П(0,), 1 = 1, ..., М, где параметры О; неизвестны. Пусть дополнительно известно, что т~ + ... + +тн = и. Построить при этом условии критерий для проверки гипотезы однородности Н,: О, = „.
= Он. ) У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1.54. 3.25" (критерий пустых блоков.) Пусть Х = (Х» ..., Х„) — выборка из распределения ЕЯ) = Я(0,!), 0 = = Ха,<Хш<Ха><...<Хы,<Х,„+» = 1 — ее вариационпый ряд и В, = (Ха», Ха,), 1 = 1, ..., и+ 1, — порождаемые ею выборочные блоки. Пусть, далее, х'= (У» ..., ..., Уы) — независимая от Х выборка из некоторого другого распределения Х,(а)) иа отрезке (0,1), функция распределения которого г(х) имеет плотность 1(х) = г'(х), Обозначим через х; = к;(п,т) число элементов выборки У, попавших в блок В„! = 1, ..., и+ 1.
1) Доказать, что при гипотезе однородности На.. хД) =ь(п) вектор блоковых частот н = (х» ..., х,а ~) принимает все возможные значения с одинаковой вероятностью (С,"+ ) ', убедиться в том, что такой же вид имеет условное распределение л.(ь» ..., э,+~!$~+.— + ьа+~ = гп) где случайные величины ~» .... С „> независимы и имеют геометрическое распределение В1(1,р), где р с=(0, 1)— произвольно. 2) Рассмотрев статистику за(пип) — число пустых блоков: ха(п,т) = Х /(х, = 0), где )( ) — индикатор, и используя вытекаюшпе из и. ! представление а1 х (ха(п,гп)) =В( ~ l(й = 0)1ф! + °" + ьпч- ~ = ш) 94 доказать, что зо(л,т) имеет гипергеометрическое распределение Н(я+1, я+т, л); получить отсюда выражения для среднего и дисперсии статистики зо(п,т) при гипотезе Но. 3) Доказать, что если п,т- оо так, что т/л = р)0, то Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
