Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3.47. Лана выборка Х = (Х!, ..., Х,) из распределения !'((О о'). Как выглядит наиболее мощный критерий для различения двух простых гипотез На!О = Оа и Н! !О = О!? Вычислить его мощность и убедиться в том, что он не- смещен. 3.48 (продолжение задачи 3.47). Определить минимальный объем выборки и* = п*(а, (1), при котором вероятности ошибок первого и второго рода не превышают соответственно а и р. 3.49. Пусть Х и У вЂ” выборочные средние двух выборок, объемы которых п и т, из распределений й((0, а() и Ф(0го а~~) соответственно. Основываясь на статистике Т =(Х вЂ” У)/а, где а' = а(/а+ а!/т, построить критерий проверки гипотезы Но', Ь = 01 — Оз = О против альтернативы Нп Л ) О. Пусть заданы вероятности ошибок первого и второго рода а и р и объем п первой выборки.
Определить минимальный объем т* второй выборки, необходимый для того, чтобы ошибочные заключения могли быть сделаны с вероятностями, не превосходящими а и 0. ! У к а з а н и е. Воспользоваться решениями задач 3.47 и 3.48. 3.50. По выборке объема и построить наиболее мощный критерий для различения двух простых гипотез относительно неизвестной дисперсии нормального распределения (среднее известно).
Найти мощность критерия. 3.51.* Пусть по наблюдению Х требуется различить два распределения с плотностями (0(х) (гипотеза Н,) и (<(х) (гипотеза Н~). Рассмотрим критерий вида Х~(с) = (х: (~(х) ) с(а(х)), с) О, и пусть а(с) и р(с) — соответствующие вероятности ошибок первого и второго рода.
Показать, что: В1ю ! — В1г) . 1), <с( 2) а(с) + р(с) а-. 1 — несмещеннасть; 3) гп!п(а(с)+ 0(с)) = а(1)+ О(!), т, к. критерий, минн- мизирующий сумму вероятностей ошибок, есть Х~(1); 4) пусть Х вЂ” повторная выборка объема и, т. е.
п Х = (Хь ..., Х„), 7,(х) = Щ(х,), ! = О, 1. Вероятности ! 1 ошибок критерия Х~(1) обозначим в этом случае а, и 0„. Доказать, что если )!с(х)1п()~(х)//ю(х))дх = 6 ( О, то а„0„- О при и- а (таким образом, при бесконечно большой выборке возможно полное разделение гипотез Но и Н~). 101 У к а з а и и е. Записать Х~(!) = (»и Т„(х) ьв Цх,) = — — ,'Р !и — ' ) О', и применить к статистике Т.(Х) ч, 1~(к1 закон больших чисел. Заметим также, что согласно неравенству Йенсена всегда б ~ 0 (1, с. !21) . 3.52." Пусть в = (~ь ..., ч,) — нормальный случайный вектор, имеющий при гипотезе Н, распределение Ф(!»", А), ! = О, ! (общая ковариационная матрица А предполагается невырождениой). Построить критерий Неймана — Пирсона для различения гипотезы Н, при альтернативе Н, по одному наблюдению над $, а также критерий, минимизирующий сумму вероятностей ошибок.
$3. Сложные гипотезы 3.53. Для биномиальной модели В((й, О) построить р.н.м. критерий по выборке объема п для проверки гипотезы Ньс О.= 0«против альтернативы Нп О - О,. У к а з а н и е. Воспользоваться свойством модели с монотонным отношением правдоподобия и решением задачи 3.39. 3.54. Убедиться в том, что построенный в задаче 3.4! критерий Неймана — Пирсона (для пуассоновской модели П(О)) является одновременно р.н.м. критерием для проверки гипа|езы Нм 0 = О, против альтернативы Н~.. О) О«. ( У к а з а н и е. См. решение задачи 3.53.
3.55. Пусть в схеме Бернулли с неизвестной вероятностью «успеха» 0 испытания продолжаются до получения г-га «неуспеха» и Т, — наблюдаемое число «успехов». Построить р.н.м. критерий проверки гипотезы Н;. 0 ( О« против альтернативы Н~., 0 - О« и показать, что при г- оэ соответствующая критическая граница при уровне значимости а имеет вид ! = (гО« — и з(гО«)/(! — О«), гР(и ) = а. У к а з а н и е. Воспользоваться свойствам модели с монотонным отношением правдоподобия, представлением Т, = К, + ... + Х„где Хп ..., Х, — независимые одинаково распределенные случайные величины и С(Х~) = В((1, 0), и применить центральную предельную теорему.
3.56. Показать, чта построенные в задаче 3.43 критерии являются р.н.м. критериями в задачах проверки сложных односторонних гипотез соответственно Н«. О «-. О« против Н~.. 0 ) О«и Н«. 0 ) О„против Н~: О ( 0м \02 3.57 (выборочный коигроль). Пусть партия из Н изделий содержит неизвестное число О дефектных изделий, Оси (О, 1, ..., Ф). Чтобы проверить гипотезу Нсл 0( Оэ против альтернативы Нп О ) Ом берут на контроль и изделий и каждое из них проверяют. Основываясь на статистике Т вЂ” обнаруженное в выборке число дефектных изделий, построить р.н.м.
критерий. У к а з а н и е. Убедиться в том, что распределение статистики Т (гипергеометрическое распределение Н(О, Н, и)) имеет монотонное отношение правдоподобия. 3.58. Для нормальной модели йГ(6, ох) с неизвестным средним построить р.и.м. критерии для проверки гипотез Ны О ( Ос против Н~: О ) Оа и Н,: О ) Оо против Н,: 0~0,.
! У к а з а н и е. Использовать решение задачи 3.47 и свойства экспонеициальной модели. 3.59. Убедиться в том, что построенный в задаче 3.50 критерий для случая Оэ ) О~ одновременно является р.н.м. критерием проверки сложной гипотезы Нсл О»Оэ пРн левостоРоиней альтеРнативе НЫ 6(Осб аналогично, критерий для случая Оо ~ 81 является р.н.м. критерием проверки гипотезы Ньч 0( Оо прн правосторонней альтернативе Нп О ) Оо. У к а з а и и е.
Воспользоваться свойствами экспоненциальной модели (см. п. 5 введения к гл. 3). 3.60.' Основываясь на задачах 3.47 и 3.58 и применяя прием объединения двух односторонних критических областей, построить несмещенный критерий для проверки гипотезы о среднем Ньс 0 = Оо против двусторонней альтернативы Нп О ~ Ом Является ли этот критерий р.и.м. критерием? 3.61Р Пусть Х = (Хь ..., Х„) — выборка из нормального распределения М(м, 0'). Построить р.н.м. несмешенный критерий проверки простой гипотезы Нел 0 = Оэ при двусторонней альтернативе Нп 0 чь Оы ! У к а за н ие. Применить теорему 4.5 (1, с. 159) об общем виде р.н.м.
несмещенного критерия и использовать решение задачи 3.50. 3.62. По выборке объема и из распределения Г(0, 1) построить р.н.м. несмещенный критерий для проверки гипотезы Но. О = Оэ против альтернативы Ны 0 чь Оы ! У к а з а н и е. Использовать решение задач 3.43 и 3.61. 3.63. По выборке большого объема и построить ло- 103 кальный наиболее мощный критерий проверки гипотезы Нсл О = Ог против общей альтернативы Н,: 0 г- Ог для модели В!(л, 9). Показать, что его функция мощности !Р (6) при уровне значимости а н локальных альтернативах вида 0 = 8со = Ог+ р/~/а удовлетворяет предельному соотношению У к а з а н и е.
Воспользоваться общим видом асимптотнческого (при больших л) двустороннего критерия для регулярных моделей: Х,. = ((!7(х; 0)! ~-и„,.!Я(8)), где (7(х; О) — функция вклада выборки Х = = (Хь ..., Х.) и 1(0) — функция информации Фишера [1, с. 162].
Использовать решения задач 3.39 и 3.40. 3.04. По выборке большого объема а построить локальный наиболее мощный критерий проверки гипотезы Ньс 6 = Ог против альтернативы Н~. О ~ Ог для модели П(О). Показать, что его функции мощности !Р„(0) при уровне значимости а и локальных альтернативах вида О = Ооо = Ог+ Р/-~/и УдовлетвРРЯет пРедельномУ соотношению 11гп В'л(Опа) = Ф( — — + и„д) + Ф( Р + и~уг) ~~за У к а з а н и е.
Использовать указание к задаче 3.63 и решение задачи 3.41. $4. Проверка гипотез и доверительное оценивание В задачах 3.65 — 3.72 воспользоваться принципом сог ответствия между задачами доверительного оценивания и проверки гипотез (см. п. 6 введения к гл. 3). 3.65. Используя построенные в задачах 2.!19 — 2.120 доверительные интервалы для параметров О~ и Ог нормальной модели 57(0о Огг), построить критерии проверки нулевой гипотезы Нг против альтернативы Н, в следующих задачах: 1) Нсл О,=Он, Нп 0>)0кк 2) Нгл О~ = Онь Н~: О~ (Опп 3) Нгл О~ = Онь Нь'.
61 ~ Опк 4) Н~. 8г = Оы, Н: Ог) Ог~', 5) Но' Ог = Ого, Н~: Ог(Огсл 6) Но'. Ог = Ого, Н1. 'Ог Ф Ого. 104 3.66. Используя решения задач 2.122 — 2.123, убедиться в том, что критерий уровня значимости а для гипотезы о равенстве средних двух нормальных моделей в случае известных дисперсий имеет вид х,.- ь,д): ~,— л~...,лг~,'гя7 1, а если дисперсии неизвестны — следующий вид: Х, = ((х,у):)х — у)) 3.67. Основываясь на решении задачи 2.!25, показать, что для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных моделей можно использовать критерий либо л(т — () Я'(к) ( — !) зз() ~" — — --1 3.68.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
