Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В условиях задачи 2.127 построить критерий проверки гипотезы однородности Нсс т = Оя/О, = 1 (т. е. О, = Оз) и вычислить его функцию мощности. 3.68. Основываясь на доверительном интервале задачи 2.128, построить критерий проверки гипотезы Н,: О = Оо для соответствующей модели. Вычислить функцию мощности этого критерия и убедиться в том, что он несмещенный. 3.70. Используя результаты задачи 2.129, построить критерий проверки гипотезы Ны 8 = Оо для равномерного распределения Я(0, О),' вычислить его функцию мощности и убедиться в том, что он несмещенный. 3.71. Основываясь на результате задачи 2,130, убедиться в том, что критерий проверки гипотезы Н,: О = Оо для модели Вейбулла Я("(О, Х, О) имеет вид Х~ =((Т( — Х„,ь( Ц(Т) — )О „,ф а~ +сгг = а Чтобы получить несмещенный критерий, величины;Д,,„ и )(~',.зм выбираются так же, как в задаче 3.62.
3.72. Используя условие задачи 2.13! и ее результат, построить критерий проверки гипотезы Нзс (Оь Оз) = = (Ось О„). !05 6 5. Критерий отношения правдоподобия [к.о.п.[ 3.73.* Получить форму к.о.п. для гипотезы о среднем Но'. 0~ = О~о нормалыюй модели йг(Оь Ооо) и показать, что для больших выборок он имеет внд Х,„= (х: -~/л — 1[х — О~о 1/5(х) ) — и„л), а его мощность прн альтернативе 0(Ю = О~о+ 6/-/л при л — ~ оо равна 1 — Р~(и~~г', [!'/0[) (см. п. 7 введения к гл. 3) . У к а з а н н е. Использовать задачи !.47 и 2.44 и асимптотнческую теорию к.о.п.
[1, с. 175[. 3.74.* Убедиться в том, что к.о.п. для гипотезы о дисперсии Но. Оо = Ооо нормальной модели М(Оь Ооо) имеет вид Хы = [л5'(х)/Ояоо=Хд,,„~[ [[ [л5'(х)/Ого ~) Х[-„,.-1[, где а1+ ао = а и 5' — выборочная дисперсия для выборки объема л. Вычислить функцию мощности этого критерия и определить, при каких значениях а~ и ао он будет несмещенным. 1= У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что хо(л5о(Х)/О!) = = х'(л — 1), и решением задачи 3.61.
3.75. Построить к.о.п. для гипотезы Но. 0 = Оо в модели В!(1, О) и убедиться в том, что его асимптотический (прн больших объемах выборки) вариант совпадает с локальным наиболее мощным критерием, построенным в задаче 3.63 (при значении параметра л = 1). ! У к а з а н и е. Воспользоваться обшей теорией к.о.п. для полнномиального распределения [1, с. 170— 171[.
3.76. Построить к.о.п. для гипотезы Нгл О = Оо в модели П(0) и убедиться в том, что его асимптотический вариант для больших выборок совпадает с локальным наиболее мощным критерием, построенным в задаче 3.64. Указ а н не. Воспользоваться тем, что при л — о.
оо предельные распределения при гипотезе Н, статистик — 2 (поо и ЯР = (/;;(Оо)/л!(Оо) совпадают [1, с. !69. .77.о Пусть Хп ..., Хо — выборочные средние для независимых выборок объемов ль ..., ло из совокупностей В!(1, О~), ..., В!(1, Оо) соответственно. Построить и рассчитать асймптотический (при ль ..., ло — оо) вариант к.о.п, для гипотезы однородности Но. О~ = ... = Оь Убедиться заа в том, что этот критерий имеет такой же вид, как и критерий однородности х' ]1, с.
124 — 126]. ] У к а з а н и е. Использовать решение задачи 3.75. 3.78Р Пусть Х; = (Хп, ...„Хм ), / = 1, ..., й, — независимые выборки из совокупностей П(0,), ..., П(0ь) соответственно. Построить и рассчитать асимптотический (при пц, п~ — оо) вариант к.о.п. для гипотезы однородности Н0: О~ = " = О». Проанализировать с этих позиций следующие данные: выборочные суммы для четырех выборок, объемы которых 120, 100, 100 и 125, из пуассоновских совокупностей оказались равными соответственно 251, 323, 180 и 426. Одинаковы ли генеральные средние? 3.79.* Пусть пь Х; и 57 — соответственно объем, выборочные среднее и дисперсия для выборки из совокуп ности й!(Оц, 04), ] = 1, ..., й (выборки предполагаются незавнсимйми).
Построить к.о.п. для гипотезы однородности Ньс Оц = ... = Ом. Убедиться в том, что в случае двух выборок (л = 2) этот критерий имеет вид (ср. с за дачей 3.66) Хы = (]Т!» й ь„,+„, з], где Т=(Х-Х.),„, Х,+ ). ! У к а з а н и е. Использовать задачи 2.86 и 2.114, а также утверждение, что Т(Т(Нз) = 5(п — 2) [1, теорема 1.12]. 3.80.' Пусть 5зь ..., 5~ — выборочные дисперсии, построенные по независимым выборкам объемов лц ..., пь из совокупностей й((Оц, 0~„-), ! = 1, ..., й, соответственно.
Построить к.о.п. для гипотезы о равенстве дисперсий Нсл Ом = ... = Оы. Убедиться в том, что в случае двух выборок (й = 2) этот критерий имеет (ср. с задачей 3.67) внд Х,. =. К~Р..,.....,)()(ЕЪЕ...,., ц.,,], где аю + иа = а, )с = !п1(пэ — 1)5!Ялз(пи — !)54]. ! У к а з а н и е. Использовать решение задачи 3.79, а также утверждение Х(Р]Н,) = 5(п, — 1, лз — 1) (1, теорема !.13]. $6. Разные задачи 3.81. Наблюдаемые случайные величины Хц ..., Х„независимы и нормальны, но, вообще говоря, имеют разное распределение. Требуется проверить гипотезу Нч о том, что онн одинаково распределены.
Используя задачу 1.58, убедиться в том, что соответствующая критическая об- 167 ласть прн уровне значимости а может быть задана в виде Хы = ((т(() а,), где о„определяется через функцию бета-распределения с помощью соотношения В (1 — и',; л — 2 1 —, — ) = а (для нахождения о. могут быть исполь- 2 ' 2) "л — 2 !х эованы таблицы бета-распределения Р~, — )). 2 ' 2)' 3.82. Пусть Х; = (Хгп Х„), ! = 1, ..., и, — независимые наблюдения над двумерной случайной величиной $ = = (~ь $з), имеющей нормальное распределение с неизвестными параметрами, и р„ — построенный по этим данным выборочный коэффициент корреляции.
Основываясь на результатах задачи 1.59, убедиться в том, что критическая область х,. =(Ы > задает критерий уровня значимости а для гипотезы Нь о независимости компонент чл и сь 3.83. Пусть наблюдаемые случайные величины Хп ..., Х, независимы и ЦХ) = П(0,), ! = !, ..., и. Требуется проверить гипотезу однородности Нес 01 = ... = О,. Основываясь на результате задачи 1.60, убедиться в том, что прн больших л можно использовать критерий Х~, = = ((Т„( ) — и.м). 3.84. Какой критерий согласия может быть построен на основе результата задачи 1.61? 3.85.* (Асимлтотическая эффективность критериев).
Рассмотрим задачу проверки простой гипотезы Нес О = Оь против альтернативы Пп 0 ~ Оь для некоторой модели со скалярным параметром О е= О, где 9 — некоторый интервал действительной оси. Предположим, что в данной задаче используются критерии вида Х~ = (Т„) у„), где Т вЂ” некоторая статистика для выборки объема л, обладающая следующими свойствами: а) существуют функции р(0) и в(0)) 0 такие, что равномерно по 0 в интервале Оь ( О ( Оо+ т1, где т( ) 0 — любое число, при п — оо И, Тл) У(и(0), о'(0)/л); б) р(0) дифференцируема в точке Оь и р'(Оь)) О, а о(0) непрерывна в Оь.
Доказать, что: 1) критическая граница у„при уровне значимости а асимптотнческн имеет внд ул = й(Оо) — и,п(Оо)Ял; 1ВВ 2) при близких альтернативах вида Оьа = Оо+ О/~/и, р ) О, мощность (Тг„(0ьа) критерия удовлетворяет предельному соотношению е(6, а) — = !ип Ю'„(Ооа) = Ф(рр'(Оо)/а(Оо)+ и,). 3 а меча н ие. Величина е = е((з, со) называется эффективностью Питмена критерия Хы — — (Т„) ) р(Оо) — и.п(Оо)/-Чл) и ее часто используют в качестве меры сравнения различных критериев: мера е дает представление о локальном поведении кривой мощности критерия в окрестности тачки Оо для больших выборок.
3.86* (продолжение задачи 3.85). Пусть 7~'~, = 1, 2, — две статистики, удовлетворяющие сформули. рованным условиям; соответствующие им характеристики будем отмечать индексом ). Предположим, что для каж- лого и существует целое М„такое, что )Уха(ОО+ 6/ /и) = )Р(2)(ОО + 6/-мгн), т. е. мощности соответствующих критериев при альтернативе Оьа равны, если п — объем выборки в первом случае и М. — во втором. Пусть также У„- оо при и- оо.
Доказать, что где е' = (р'(Оо)/п(Оо))~. 3 а м е ч а н н е. Величина е', являющаяся возрастающей функцией эффективности Питмена е(р, а) при фиксированных 6 и а, также может служить мерой асимптотической эффективности критерия. Сформулированное утверждение означает, чта относительная эффективность второго критерия по отношению к первому равна пределу обратного отношения выборочных объемов, необходимых для того, чтобы достичь одинаковой мощности при указанных альтернативах ОМ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
