Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Доказать, что у-доверительным интервалам для среднеквадратическаго отклонения О моделнМ(р,О') явля- ется любой интервал Ь,(Х) = (Т/аъ Т/а~), где Т~ = л = ~, '(Х; — р)', а числа а~(ах выбираются из условия ~=! а, ~ хи„(х')ах = у/2, где й„(1) — платность распределения "х'(и). Определить наикратчайший в этом классе интервал б,'(Х). 1= У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что Е~(Т'/О') = = х~(и). 2.118 (продолжение задачи 2,117). Показать, что центральный у-довернтельный интервал для дисперсии 6 имеет вид и Наповппи, чтп с«=ип+вИ=Ш ~ — ) х !+ух 2 Д„(Х) = (Т'79, Т'Уй,), д, = Х', в то время как наикратчайшим среди интервалов такого вида, где числа л~ ~ дз удовлетворяют условию й.(1)Ж = у, является интервал Л'„(Х) = (Т7, Т7) (см.
ре- шение предыдущей задачи). 2.119. По выборке Х = (Хь ..., Х„) из распределения й((0ь 0~~) построить односторонние и двусторонний у-доверительные интервалы для среднего 8ь У к а з а н и е. Использовать утверждение 6( угп — 1 Х в' ) = 5( — 1). 2.!20. По выборке Х=(Хн ..., Х,) из распределения М(Оь 8',) построить односторонние и двусторонний у-доверительные интервалы для дисперсии т = 0!~. ! У к а з а н н е. Воспользоваться теоремой Фишера. 2.121.
По реализацки (2,96 3,07 3,02 2,96 3,06) выборки объема 6 нз нормального распределения с неизвестными параметрами рассчитать 0,95-доверительные интервалы для среднего и дисперсии. 2,122. Пусть Х = (Хн ..., Х„) и У = (Уь ..., У ) — две независимые выборки, причем первая из распределения ЦО'", а(), а вторая из распределения й!(8', о1). Построить у-доверительный интервал для разности средних т = Ош фа У к а з а н и е. Установить, что Е((Х вЂ” У вЂ” т)/о) = дт = Ф(0,!), а' = — + — ~ . 2.123 (продолжение задачи 2.122).
Пусть в отличие от предыдущего случая все наблюдения имеют одинаковую, но неизвестную дисперсию 81, т. е. ЦХ,) =Уф', 81),ЦУ,) = =йг(Я', О!). По-прежнему требуется оценить разность средних т = дà — 8~". Рассмотреть более общую ситуацию, когда дисперсии неизвестны, но различаются лишь известным множителем, т. е. Е(Х;) = Л(8~", сО~~),Ь(У;) =й((61', 61), с — известно. У к а з а н и е. Установить, что случайная величина ь...-,--~/~~" ' х — г —,)/-,Бт'~хйв(г> имеет распределение Стьюдента 5(гп+ и — 2). 2.124.
В результате двух равноточных измерений угла получены следуюгцие результаты (в градусах): 20,76 и 20,98. Еще шесть независимых и равноточных измерений того же угла выполнены с помощью другого прибора и были получены такие результаты: 21,64; 21,54; 22,32; 20,56; 21,43 и 21,07. Предполагается, что случайные ошибки результатов измерений распределены нормально, причем известно, что первый прибор менее точен (ему соответствует дисперсия, превышающая в четыре раза дисперсию, соответствующую второму прибору). Рассчитать 0,95-доверительный интервал для разности систематических ошибок, отвечающих этим приборам.
У к а з а н и е. Воспользоваться решением задачи 2.123. 2.125 (продолжение задачи 2.124). Пусть, наконец, выборки имеют разные дисперсии, т. е. Е(Х,) =Уф',(Й'"), ЦУ;) =М(07', Оз '). Построить доверительный интервал для отношения т 02 /'ч У к а з а н и е. Установить, что центральной статистикой является в данном случае л(т — 1) 52(Х) / Гл — ьи — != т(л — !) 52Ж / / 2.126.
В двух лабораториях определялась концентрация серы (в Я) в стандартном образце дизельного топлива. Шесть независимых равноточных измерений в первой лаборатории дали следующие результаты: 0,869, 0,874, 0,867, 0,875, 0,870, 0,869. В результате аналогичных пяти равноточных измерений во второй лаборатории были получены такие значения: 0,865, 0,870, 0,866, 0,871, 0,868. Предполагая справедливым нормальный закон ошибок измерений, построить 0,95-доверительный интервал для отношения дисперсий измерений в 1-й и 2-й лабораториях. Если есть основания считать эти дисперсии одинаковыми, то рассчитать аналогичный интервал для разности систематических ошибок, допускаемых в обеих лабораториях.
2.127. Пусть Х= (Хь ..., Х ) н У= (Уь ..., У ) — две независимые выборки из распределений Г(Оь 1) и Г(Ом 1) соответственно. Построить центральный у-доверительный интервал для отношения т = Оз/Оь 1 У к а з а н и е. Использовать задачу 1.51. 2.128. Убедиться в том, что (Х,ц+ "( т), Х~~), где Хш = ппп Хь есть у-доверительный интервал для параметра О экспоненциального распределения с плотностью 1(х; О) = е ' ч, х) О. 76 ! У к а з а н и е. Найти распределение статистики Хп! и учесть, чта событие (Хп!)О) является достоверным. 2.129. Убедиться в том, что (Хнь Хм!/4/1 — у) есть удоверительный интервал для параметра 0 модели !7(0, О) по выборке объема и.
! У к а з а н и е. Установить, чта хоо((Хмг/О)")= !г(0,!) (см. задачу !.35). 2.! 30. Рассмотрим модель !Уг(0, Л, О) (см, задачу 2.76). Убедиться в том, что центральным у-доверительным интервалом для функции т(0) = 0' является интервал (2Т/!Ь'+т,, 2Т/к,, ). В частности, при Л = 1 имеем соответствуюшее решение для экспоненциальной модели Г(0„1). ! У к а з а н и е.
Использовать решение задачи 2.76. 2.131*. Убедиться в том, что у-доверительная область для параметров (Оп т = 0)) общей нормальной модели й!(Вп 01) по выборке Х = (Хп ..., Х.) имеет вид Оо(Х) = ((Вы т):т~и(Х вЂ” 0~)'/с"'и и5'/Х)+з,, ( (т(и5'/К! где уоуо = у. У к а з а н и е.
Воспользоваться теоремой Фишера 2.132о'. Пусть (Х, = (Х~, Хи),1 = 1, ..., и) — выборка из двумерного нормального распределения ж((0,,0,), 2 =)),", „',,'"р))),— !(р(1, с известной матрицей У,. Используя задачу 1.59, построить 1-доверительную область для О = (Оь Оо). 2.!33. Пусть Х =(Хп ..., Х,) — выборка из распределения В!(1, В). Основываясь на точечной оценке Т = Х параметра О, показать, что центральный у-доверительный интервал для него (Тп То) определяется условиями о т ~ С„Т((! — Т,)"- = ~ С„Т((! — Т,)- = Г= ~г о=о Построить приближенный доверительный интервал для 0 при больших и. ! У к а з а н и е. Использовать задачи 1.39 п.
3), 2.43 и 2.84. 2.134. По выборке Х = (Хь ..., Х„) для бернуллиевской модели В!(1, В) построить асимптотический (при и- оо) у-доверительный интервал для О, основываясь на нор- 4 - р ° ° ° ООоаг — Ор/бД вЂ” ОО-О(О,О тт (теорема Муавра — Лапласа).
Сравнить полученное ре- шение с решением, основанным на асимптотических свойствах оценок максимального правдоподобия (см. за- дачу 2.133), 2.135 (продолжение задачи 2.!34). Убедиться в том, с„х что (агсз!пт1Х~ — ) — асимптотнческий т-довсритель2ф ный интервал для функции т(О) = агсз!п~О.
! У к а за н не. Использовать задачу 2.109. 2.136. При 540 испытаниях в схеме Бернулли положи- тельный результат наблюдался 2!6 раз. Рассчитать 0,95- доверительный интервал для дисперсии числа положи- тельных исходов. 2.!37. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — выборка из распреде- ления П(0).
Основываясь на точечной оценке Т = Х, показать, что центральный у-доверительный интервал (Ть Тй для О определяется условиями ИГО,г (хтг) $ — т г! м 2 г ° =в Приближенный же т- оверительный интервал (при больших и) есть (Х ~ с„Х/и). 2.138. Построить асимптотический у-доверительный интервал для параметра О пуассоновской модели П(0), воспользовавшись нормальной аппроксимацией Ь(2./п(у'Х вЂ” ь!0))-Ж(0, 1) (см. задачу 2.109) или ап- г .чч(Х вЂ” в) проксимацией -й((0, !) (центральная пре. дельная теорема). Сравнить с соответствующим решением предыдущей задачи.
2.139. Независимые случайные величины Х~ и Хз имеют распределения Пуассона с параметрами Зч и ! соответственно. Пусть известно значение их суммы Х~+Х~ = = и, Построить прн атом условии доверительный интервал для О = !.~/(Х~ + З.~) по наблюдению над Хь У к а з а н и е. Найти условное распределение Е(Х,!Х~ + + Хз = и) (см. задачу 1.54) и воспользоваться решением задачи 2,!33.
2.140. Построить аснмптотический у-доверительный интервал для параметра О распределения степенного ряда (см. задачу 2.60). Применить полученный результат для оценивания параметра 0 модели В!(г, О). ! У к а з а н н е. Использовать задачу 2.96 и ее решение.
2.141. Построить асимптотический 7-доверительный интервал для параметра 0 модели Г(0, !). У к а з а н и е. Использовать задачи 2.43 и 2.48, а также аппроксимацию, полученную в задаче 2.109. 2.!42. Построить асимптотический 7-доверительный интервал для параметра 0 модели )т(р, 0'). ! У к а з а н и е. Воспользоваться аппроксимацией Ьуг2пп(!п0„— !п0) )Ч(0, !), полученной и задаче 2.
109. 2.143. Построить асимптотический у-доверительный интервал для функции т(0) = Ф( ' ' ) в модели Ж(0ь о, 01) (см. задачу 2.72). 1 Указание. Использовать задачу 2.87. 2.144*. Для полиномиальной модели М(п; рь ..., рк) с неизвестными параметрами рь ..., рн (см. задачу 2.29) построить асимптотическую (при п-~-со) у-доверительную область для рь ..., рн, основанную на соответствующих оценках максимального правдоподобия. У к а з а н и е.
Использование задачи 2.63, 2.45 и асимптотический вариант задачи !.40: если Е(У„)- М(Р„Х,) при и — ао и ! Х) Ф О, то Е((у„— р„)'Х,, ' Х Х(у. — р.))- Х'(т), где т — размерность вектора у.. 2.!45*. Пусть п,Х и 5' — соответственно объем, выборочные среднее и дисперсия выборки нз распределения )Ь(0ь О!). Показать, что с вероятностью у результат следующего, (и + 1)-го испытания находится в интервале (Х -~ 1,.„5-~(п + !)/(и — 1)). ! У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Фишера. 2.146 (продолжение задачи 2.!45).
В результате пяти независимых взвешиваний одного и того же тела получены следующие результаты (в граммах): 4,!2; 3,92; 4,55; 4,04; 4,35. Считая погрешности измерений нормаль- нымиЖ(О, О!) случайными величинами, указать 0,95-доверительный интервал для результата предстоящего шестого взвешивания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
