Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 12
Текст из файла (страница 12)
5 У к а з а н н е. Установить, что распределение У не ! зависит от О = (Оь Оз), н применить теорему Басу (см. задачу 2.69). 2.72". По выборке Х = (Хь ..., Х.) из распределения И(Оь О',) построить оптимальную несмещенную оценку для функции т(0)=РоЯ хо)=Ф( „'). У к а з а н и е. Рассмотреть несмещенную оценку Т~= =!(Х~(х~), где !(А) — индикатор события А, и вычислить Н(Т) = Еч(7117), где Т=(Х,5'); использовать задачи 2.71 н 1.58. 2.73. Убедиться в оптимальности оценок, указанных в задаче 2.21; показать, что при а — 1.л) 0 — целом не- смешенных оценок для т.(0) = 0 ' не существует. ! У к а з а н и е.
Воспользоваться полнотой достаточной статистики Т. 2.74*. Пусть Х= (Хь ..., Х„) — выборка из распределе- ния Г(0. Х), Т = Х + ... + Х. и ц(х) — заданная функция, для которой т(6) = Еац(Ц существует. Доказать, что опти- мальная оценка т(0) имеет вид ! ть = „1 1, ~ сЯхТ)х' '(1 — х)" '" 'с(х.
Получить отсюда результаты задач 2.48, 2.5! и 2.73. ! У к а з а н и е. Установить равенство Б~т* = т(0). 2.75" (продолженне задачи 2.74). Проверить, что опти- мальной оценкой функции надежности т(6; 1) = Р8(5)1) является статистика тв = [1 — В(! ? Т; 1., Х(п — 1)))е (Т вЂ” 1), где В(х; а, Ь) — функция бета-распределения 8(а,Ь) и е(х)— функция Хевисайда.
В частности, для распределения Г(0,1) функция т(0; 1) = е н', а ть = (! — 1/Т)" 'е(Т вЂ” 1) . У к а з а н и е. Положить в задаче 2.?4 ф(х) = е(х — 1). 3-$90 65 2.76*. Доказать, что для распределения Вейбулла с неизвестным параметром масштаба Π— )Р(0, Л, О) полной ю достаточной статистикой является Т = Т(Х) = ~ Х,', а ~ =! оптимальная оценка т(0) = Е~ф~), где гэ(х) — заданная функция, имеет вид 1 т* = (и — 1) ~ г(((1Т)пп)(1 — 1)» о В частности, Ев$' = О' и потому Т/и — оптимальная оценка О'.
2.77. Показать, что для двухпараметрического экспоненциального распределения ЩОц, 1, Оз) достаточной статистикой является пара Т= Д„Х). Построить несмещенные оценки вида аХп +(1Х для неизвестных параметров модели. У к а з а н и е. Применить критерий факторизации н воспользоваться решением задачи 1.34, приняв во г $ — 0~1 внимание, что Ею~ ) = Г(1,1). о, ) 2.78. Пусть наблюдаемая случайная величина с имеет область изменения [а(О),Ь), где а(0) — заданная монотонная функция О. Показать, что минимальное значение выборки Хп1 является достаточной статистикой для 0 тогда и только тогда, когда плотность Цх; О) имеет вид Цх; О) = д(х)/Ь(0), а(0)(х. Ь.
Этот же результат справедлив и для статистики Хм> в случае области (а,Ь(0)], где Ь(0) — заданная монотоннаи функция О. 1 У к а з а н и е. Применить критерий факторизации. 2.79. Пусть Х = (Хь ..., Х ) — выборка из распределения й(0,0). Доказать, что ~о = щах Х; — полная дос- 1 <! < в таточная статистика для О. Получить отсюда, что Ть = = — Хм~ — оптимальная несмешенная оценка О. Раси+! Л смотреть класс статистик Т1 = ХТь и убедиться в том, что в нем имеются оценки с меньшей среднеквадратической ошибкой, чем у оценки Ть. У к а з а н и е.
Использовать задачу 2.24. 2.80. Доказать полноту достаточной статистики Т = = (Хпь Хи1) для модели 17(Оь 0~). Убедиться в оптимальности оценок, указанных в задаче 2.25. Построить оптимальные оценки для О~ и Оз 1 У к а з а н н е, Воспользоваться задачей 1.36. бб 2.81". Показать, что статистика Т = (Хщ, Хм~) — достаточная для модели 17(а(0), Ь(0)), где а(0)«Ь(0)хгΠ— заданные непрерывные функции скалярного параметра О.
Определить, в каких случаях существует одномерная достаточная статистика и установить се внд. Убедиться, в частности, что для модели й( — О, О) достаточной статистикой является гпах(1Хго1, 1Хм~~), а для моделей й(О, О+ 1) и й(6, 20) минимальной достаточной статистикой является Т. 2,82*. Пусть произведено одно наблюдение Х над пискретной случайной величиной с распределением 10 при к= — 1, 1(х; 6) =~0„(1 — 6)' при х = о 1 2 Оеп(0, 1). Показать, что Х вЂ” не полная, но ограниченно полная достаточная статистика.
! У к а з а н и е. Решить уравнение несмещенности Е»~р(Х) = Оз~й в классе всех функций и в подклассе ограниченных функций. 2.83*, Оиенивание размера конечной совокупности. Пусть в задачах 2.36, 2.37 величина т = 1. Локазать, что случайная величина и является полной достаточной статистикой, н, следовательно, указанные в задаче 2.37 оценки — оптимальные. 3 а м е ч а н и е. Этот результат справедлив и для произвольного значения т. $ 3. Оценки мансммапьиого правдоподобия 1о.м.п.1 2.84*.
Показать, что если в случае регулярной модели для диффренцируемой параметрической функции т(0) существует эффективная оценка т», то о. м. п. О„параметра О однозначно определяется уравнением т(0) = т*. Применив этот результат, найти К для моделей, приведенных в задаче 2.48. У к а з а н и с, Воспользоваться критерием эффективнод»1 пь! сти н показать, что —,~ «О (предполагаетво' ~ а=к ся, что функция правдоподобия 7.
= е(лп 6) дважды днфференцируема по параметру О), 2.85. Вычислить асимптотическую эффективность выбОрОЧНОй МЕдИаНЫ Т„= Х11,н1+ П КаК ОЦЕНКИ СрЕдНЕГО 0 модели Ж(0, а'). У к а з а н н е. Воспользоваться задачей 1.32 об асимптотической нормальности выборочных кваптилей. 3» бт 2.86. Доказать, что„для общей нормальной модели й((6,,' 62) о. м. п.б'= (О,„, 6,„) = (Х, б). ! У к а з а н и е. Составить и решить уравнения правдоподобия, 2.87 (продолженне задачи 2.86). Показать, что т, = = Ф( ) — о.
м. и. функции т(0) = Ф( ' ) (см. задачу 2.72). Найти асимптотическое распределение т„при и- оа. У к а з а н и е. Восполыюваться свойством инвариантности о, м. п, и утверждением об их асимптотической нормальности. 2.88. Доказать асимптотическую несмещенность и состоятельность о. м. п. О, параметра О модслиЛг(р, Ою) (ср. с задачей 2.!6) и исследовать ее предельный при п-р.аа закон распределения. Вычислить асимптотическую эффективность оценки, приведенной в задаче 2.15.
У к а з а н и е. Использоватьзадачи 2.43 и 2.84. 2.89. Пусть Х=(Хь ..., Х„) — выборка из распределенияйр(0, 20). Найти о. м. и. О„и доказать ее состоятельность. 2.90. По выборке ((Хь Ур), ..., (Х„, У„)) из двумерного р - ° р ° р ю «(юю.юю,(,р ф ° ')ро о )г' ными а >О и ре=( — 1,!) построить о. и.
и. Ою и р У к а з а и и е. Перейти к новым параметрам 6=.(дь дю)„ ( пОлОжиВ ю1р = ю1р(0) = —,, ю12 = ю12(0) 2а~(1 — р~1 ' р = — (здесь 0 = (о, р)), и воспользоваться свой- 2 а (1 — р~] ством инвариантности о. м. и. 2.91"'. Имеется выборка ((Хь Ур), ..., (Х„, У.)) из двумерного нормального распределения д(((0, 0),1~6 111), 6~ 1 От ен( — 1,1). Составить уравнение правдоподобия для отыскания о. м.
и, О, и вычислить ее асимптотическую дисперсию. 2.92 (продолжение задачи 2.91). Рассмотреть в качестве оценки 0 выборочный коэффициент корреляции Т, = ! = — 2', Х,У, и вычислить его асимптотическую эффектив— — 1 ность. У к а з а н и е, При вычислении моментов использовать характеристическую функцию. 2.93*. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — выборка из й-мерного нор~ального распределенияй1(1х, Х) с неизвестными и = = (нн ..., 1м) и Е = 11оч11(, 1Х1 ~ О, т. е. Х~ = (Хп, ..., Хм), 1 = 1, ..., и, — независимые случайные величины с плотностью )(х; 0) =,,аехр( — — ~х — 1л)'Е '(х — р)), х = (хп ..., хь), 0 = (ц, Х). Обозначим Х = (Хь ..., Хг), где л Х; = — ~„'Хп, л = 115;,11), где 5ч = — ~; (Մ— Х;)(Хв— ~=! 1= ! Х,) †выборочн ковариацня, соответствующая теоретической ковариацни очч так что л л Х =.— 2', Хь Х = Х(Х) = — 2; (Х~ — ХдХ~ — Х)'.
! ! 1) Доказать чт9 о. м. и. параметров ц и Х равны соответственно Х и Х. л 2) Убедиться в том, что — 2, — несмещенная оценка г.. л — ! 3) Получить следующее выражение для максимума функции правдоподобия: гпах Цх; О) = Цх; х, г.(х)) = (2пе) """1Х(х)1 в У к а з а н и е. Привести функцию правдоподобия к виду Цх; 0) = ((2п)'1Е $) -г( — — (х — р)'Х (х — р)— — — 1 г (Е 'Х(х))~; использовать задачу 2.4. 2.94*. Пусть Х = (Хь ..., Х ) — выборка из логнориалвного распределения, т. е. Х,=е"', гдето(У) =йг(Оь О~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
