Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2.33.* Выборочный контроль, В некоторых системах статистического контроля качества продукции поступают следующим образом. Из партии, содержащей М изделий, случайным образом без возвращения отбирают на контроль н изделий, каждое из которых проверяют на доброкачественность. Если число /ю обнаруженных в выборке дефектных изделий удовлетворяет неравенству й.«=йю, где кю — задаваемый заранее некоторый уровень (йю(н), то их заменяют на исправные, после чего вся партия принимается. Если же й)й,, то контролю подвергают все в/ изделий и все дефектные изделия заменяют исправными. Обозначим через 0 неизвестное число дефектных изделий в партии (О = О, 1, ..., Л/) и пусть случайная величина в — число обнаруженных прн описанном способе действия дефектных изделий.
Тогда РвЯ = гю) = )(й; Р, а) — = — свСк в/Сй, Гг = О, 1, ..., /юю, Рв(в= 0) = 2„Яй; О, п) (при О)/юю). Предположим, что требуется оценить заданную функцию т(0) от числа дефектных изделий в партии. Доказать, что всегда существует и притом единственная статистика Т(с), являющаяся несмещенной оценкой т(0), т.е. условиями ЕвТ(ю) = ~ ТЩ(й; О, а)+ Т(Р) ~ ((А; О, н) = т(0), 0 =-0,1,...,%, функция Т(к) однозначно определена. Рассмотреть случай т(Р) = О. У к а з а н и е. Использовать тот факт, что при 0(йю гипергеометрические вероятности )(й; 0; и) = 0 для н)йю. 2.34*.
Оиенивание для конечной совокупности. Пусть имеется конечная совокупность 1/ = (иь ..., ин) из М объектов, каждый из которых характеризуется некоторой ве- личиной х(и), и ев 1/. Значения х, = х(и,), 1 = 1, ..., М, неизвестны, и требуется оценить их сумму Т = Т(х) = = ~', хь Предположим, что мажпа наблюдать каждое подмножество (выборку) з = (иа, ц„„,) элементов из У с некоторой вероятностью р(з). Такймч образом, если 5 = (з) — совокупность всех выборок, то „'«„р(з) = 1. В этом случае говорят, чта задан выборочный план А= = (У, 5, Р).
В качестве оценок для Т рассматриваются статистики е(5, х), которые зависят от х только через те х„для которых и; ~ з (т. е, сценка есть функция выбранных объектов и их наблюдавшихся х-значений). Оценкой Горвица — Томпсона называется статистика е(з, х) = ~,— , л(и) где л(и) = ~; р(з) — вероятность включения в выборку объекта и. а) Доказать, что е(з, х) — несмещенная оценка Т(х), т. е. ~ р(з)е(з,х) = Т(х) зсХх е:— он, и что других несмещенных оценок вида ~'„а(и)х(и) пе су- Е Б шествует.
б) Вывести формулу для дисперсии оценки Горница — Томпсона; Г«е(з, х) = Х' х(и)к(е( л(ю ~) — 1) -1- Х" к'(и( ) — 1), ие й где л(и, о) = ~ р(з) — вероятность включения в выл«. и барку объектов и и о. в) Проверить, что несмещенной оценкой для Ре(а, х) является статистика иню И 'Ез н~ю 53 г) Показать, что среднее и дисперсия объема п(з) выборки з для выборочного плана А = ((/, 5, Р) выра- жаются через вероятности включения п(и) и п(и, о) сле- дующим образом; г Еи(з) = ~ п(и), Рп(з) = ~', (п(и, и) — п(и)п(и)) + И и ч + 2, п(и)(1 — п(и)), У к а з а н и е. Ввести индикаторные случайные величи.
ны у(и) = (0' и записать и(х) и е(е, х) в 11, если иена (О, если иФз виде л(з) = 2,у(и), е(з, х) = »,у(и)х(и)/л(и), и 2.35" (продолжение задачи 2.34). Рассмотрим выбо- рочный план А* = ((/, 5, Р), порождающий равновероят- ные выборки без повторения объема и.
В этом случае множество 5 состоит из (Ж)„всех упорядоченных комби- наций длины и из различных элементов (/ и р( ) = 1/(Д») ~/ ен 5. а) Показать, что оценка Горвица — Томпсона имеет в данном случае вид е(а, х) = — ~: х(и). Ф б) Обозначим через»» = Т(х)/И, о = — —,2„'(х,— ! — Н)е соответственно среднее и дисперсию совокупности (/.
Тогда — -е(з, х) =— х (выборочное среднее наблюден- ных х-значений) является несмещенной оценкой для и. Проверить, что Рх =( — — — )о . е и/ в) Доказать, что статистика о'(з, х) = »;» (х(и) — х)' И5 является несмещенной оценкой о'. 3 а м е ч а н н е. Справедлив более сильный результат: о'(е, х) является оптимальной оценкой о' в классе всех несмещенных квадратичных оценок, т. е. оценок вида ;» а(и, и)(к(и) — х)(х(е) — х).
Н,Ц=5 54 2.36.*. Оценивание размера конечной совокупности. Пусть имеется конечная совокупность (1, число элементов которой М неизвестна. Из этой совокупности а раз извлекается простая бесповторная выборка объема гн (каждый раз любая из Сй возможных комбинаций элементов (/ может быть извлечена с равной вероятностью). Обозначим через р, = р,(н, гп, М) число наблюдавшихся элементов, каждый из которых повторился ровно г раз (г = 1, 2, ..., а) . Рассматривается задача оценнвания параметрических функций т(М) по выборочным данным (р " !х.). Доказать, что в классе линейных статистик Е = (1 = Ср,) несмещенная оценка для т(М) существует лишь в случае, когда т(М) — полипом от — степени А(л — !.
В этом случае, если т(М) = ~ с;/М', то единственной несмещенной оценкой для т(М) является статистика т = Х ~ Х с „,"' ~р' л В частности,, ~, г(г — !)р, — единственная ж в(в — 1), линейная несмещенная оценка для г(М) = 1/М. У к а з а н и е. Представить р, в виде суммы индикато. ров: р, = 6'+ ... + ф, где ~Р = 1, если 1-й элемент (/ повторился г раз, и в1' = О в противном случае, 1 = 1, ..., М. 2.37.* (продолжение задачи 2.36). Пусть т! = 1х~+ + ... + 1х„— общее число наблюдавшихся элементов и Н вЂ” класс статистик вида Н(т1).
Доказать, что: а) если М -тн, то для любой функции т(М) несмещенной оценкой в классе Н является статистика т*= 2 ( — !)" ~С'„(С;')"т(1)/Х ( — !)" 'Сс(С;)"; !=О б) если же априори М может быть любым целым числом (М)гп), то указанная статистика является несме- 55 щенной оценкой функции т(ЛЕ) при дополнительном условии, что т(Е!Е) = Е(Ф)(Ск) ", где Е(Ет) — многочлен степени не выше тп, удовлетворяющий условиям Е(0) = Е(1) = = ... = Е(пг — 1) = О. 2.38.
Метод Монте-Карло. При отыскании значений различных величин (определяемых, например, некоторыми уравнениями нли интегралами) часто используют вычислительный метод, основанный на вероятностной интерпретации искомых величин и использовании реализаций случайных испытаний, — так называемый метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний. Сущность этого метода состоит в следующем: исходя из смысла вычисляемой величины а, подбирают такую слу. чайную величину $, чтобы а = Е$; далее моделируют выборку Х = (Хь ..., Х,) из распределения Ь(В) и в качестве оценки а используют выборочное среднее Х.
Тогда (см. задачу !.б!) при и- ао Р(-~/п1Х вЂ” 01/5'(с,) — 2чг(с,) — ! = у; таким образом, ошибка в определении а этим методом с вероятностью у не превышает с,5учгп, когда и велико. Пусть, например, требуется вычислить интеграл п = ~ ... ~~(Еь ..., Е,)дЕ, ...дЕ,, где о, = КЕь ..., Е,):0(Е,( 1, Е = 1, ..., г). Здесь, очевидно, можно положить 3 = Кпп ..., и,), где пь ..., и, — независимые равномерно распределенные на [О, 1) случайные величины, и смоделировать выборку Х возможно, следовательно, с помощью последовательности (1.5).
Оценить указанным методом интеграл а =~ е'гЕх, а используя 100 чисел последовательности (1.5), и сравнить полученное значение и* с точным значением а. При каком 6 будет выполняться соотношение Р(10— — 0*1 -6)м 0,992 2,39. Вычислить методом Монте-Карло значение интеграла р(г;оьог) = — г! ехр( — (х1 + хг)~а(х!а(хг ! ег ! при г = 3, 01 = 1, ог = 2, моделируя соответствующую выборку объема п = 100, 56 У к а з а н и е. Если $ь ст — независимые случайные величины и ЕЯ;) =У(0, о,-"1, ! = 1, 2, то р(г; аь о«) = РЯ1 + Ц «г~) . Далее воспользоваться задачей 1.61. 2.40.* Случайное блуждание. Частица, «стартуя» в момент 1 = 0 из точки й (0(й -У), блуждает по целым точкам отрезка (О, У) Если в момент ! частица находи- лась в точке 1, то в момент !+1 она находится в точке 1 + 1 с вероятностью р нли в точке ! — 1 с вероятностью д = 1 — р(1 ~ 1< У вЂ” 1).
В точках 0 и У частица погло- щается и случайное блуждание прекращается (17), гл. Х1У). 1) Найти вероятность п»ч поглощения частицы в точке У. 2) Вычислить т» = Етм где т« — время до поглоще- ния частицы. 3) Смоделировать !00 реализаций описанного случай- ного блуждания при У = 7, и = 3, р = О 6 и р = О 5 и найти оценки величин я«н и ть У к а з а н н е. !) Составить для !(й) = п«н уравнение в конечных разностях: !М = ИФ + !) + а)(й — 1), й = 1, ..., У вЂ” 1, Р(0) = О, ЛУ) = 1, н убедиться в том, что единственным его решением является п«и = (! — Л')/(! — Х"), Х = д/р, если р чь ! ~ а, и п«н = й/У, если р = а = —.
2 2) Составить для т« уравнение в конечных разностях: т« = рт«;1+ ат~ 1+ 1„й = 1, ..., У вЂ” 1, т« = = тн = О, и убедиться в том, что единственным его «Ф решением является т» = — пмн если ч — г д — р ! р Ф д, и т« = й(У вЂ” й), если р = д = —. 3) Поступать как и при решении задачи 1.4. $2. Оптимальные оценки 2.4!.* Доказать, что оптимальная несмещенная оцен- ка всегда является симметричной функцией наблюдений.
У к а з а н и е. Если Т= Т(Х) — несмещенная оценка 57 т(0), то рассмотреть симметрическую статистику Т' = — !„'~„Т(пХ), где и =( . '", ) — перестановка из г! ...гп к! (,(!...!' ! а злементов, пХ = (Хч, ..., Лы) и суммирование производится по всем и! перестановкам. Показать, что 0„Т" ~ 0(! Т. 2.42. Доказать следующие свойства оптимальных оценок: если Т* = Т*(Х) — оптимальная несмещенная оценка некоторои функции т = т(0), то: 1) для любой статистики ф = ф(Х) с В,ф = О (тг0~0 выполняется равенство сот,!Т*, ((!) = 0(ч(О; 2) для любой другой несме(ценной оценки Т = (Х) сото(Т*, Т) =ЧЪоТ'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
