Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Как распределена случайная величина Хзу У к а з а н и е. Вычислить характеристическую функцию для Хз (см. решение задачи !.39 и. 2) ). 1.43. Пусть $~ и $х — независимые равномерно распределенные величины на отрезке [О, 1 . Показать, что величины т1~ = -у/ — 21п а2 сов (2п$~), Пз =-~/ — 2!п$2з!и (2п$~) независимы и нормально распределены с параметрами (О, 1).
( У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (1.2). 1.44. Пусть случайные величины Х~ и Х, независимы и А(Х;) = Г(а,Л,), 1= 1,2. Доказать, что случайные величины У~ = Х~ + Х~ и Уз = Х~/(Х~ + Хз) независимы н при этом х, (У~) = Г (а, Х, + 1.г) — воспроизводнмость по параметру л (см. задачу 1.39 и. 2), Е(Уз) = р(Уч, гл). зо 1.45. Доказать, что ь( х" 1 — й((0, 1) при п -1- со. ~/2л / Установить формулу Е()(~)' = л (л + 2) ... (л+ 2(й — 1)), й=1,2,....
У к а з а н и е. Воспользоваться свойством воспроизводимости по параметру Х распределения Г (а, )к) и применить центральную предельную теорему. 1.46. Убедиться в том, что ь(а + — г1 = К(а), где ч1 случайные величины $ и т) независимы и нормальны Ж(0, о'), а также В (а+ !д С) = К(а), где ь(2) = В~ — — ", — ') . 1.47. Проверить, что если В(1„) = 5 (п), то моменты Е1.' сушествуют лишь при й ( л и равны Е1„' = ' "'(' )",,2г(л, Е1мч'' = О, (л — 2) (и — 4) ... (л — 2г) ' 2г+! <л. Доказать, что 5 (и)-~ М(0, 1) прн л -~ оо и, более того, плотность з„(х)-~ч — с " -.
Установить, что Е( — г — ) = / ) -к'2л 'к! +1,/и = (-"4) У к а з а н и е. Использовать формулу Стирлинга для гамма-функции: Г (г) к(2лг з' 'е ', х -~. со, и применить закон больших чисел к случайной величине х„'/л (см. решение задачи 1.48). При вычислении Гп моментов учесть, что 1„= ц к) —,, а также незавпсих' ' масть сомножителей. Использовать задачу 1А4.
1.48*. Пусть Г (х; по пз) — функция распределения закона Снедекора 5 (пь пк), а В(х; а, Ь) — функция распределения закона р(а, Ь). Установить равенство Г(х; пь лх) = В( "'; — ',— "'~, х ) О. К пк + л,х ' 2 ' 2 Получить отсюда выражение для плотности 1„,„,(х) распределения 5 (пь ик). Найти моменты этого распределения. 1.49* (продолжение задачи !.48). Доказать, что при любых фиксированных х ~ (О, 1) и а ) О !!гп — !и '(1 — В(.к; а, Ь)) = 1п (1 — х). ь- Ь Получить отсюда, что при любых фиксированных 1 ) 0 и т ~! 1пп — ! и !1 — Г(!п; пь, и)) = — — 1и (1 + п»1). У к а з а н и е.
Воспользоваться формулой Стирлинга (см. указание к задаче 1 47) и теоремой о среднем значении: 1 1 ~ и» вЂ” ~(! п)ь- ~»1и =С' — »((! — и)ь- »,!и (1 — х)', С с !х, 1). 1.50*. Показать, что платность з„(х) распределения Стьюдента 5(л) выражается через плотность )»л(х) распределения Снедекора 5(1, л) следующим образом: 5»(х) = (х!(ь»(х ) Локазать соотношение ! !»и — !и Р(1„) ь1~/л) = — — 1и (1 + »Г')»ч' Н ) О. л 2 ) Указание. Использовать тот факт, чта Е(1'„) = 5(1, и). 1.51.
Пусть Х=(Хь ..., Хь Хь+ ь ..., Хь+т) — выборка из экспоненциального распределения Е(~) = Г(а, 1). Рассмотрев случайную величину у = х +...+х !»-»+- +»+ доказать, что А(У) = 5(21, 2гп). Указание. Использовать тот факт, что Е(1„') = = 5(1, п). 1.52. Пусть целочисленный случайный вектор ч = = (ть ..., тх) имеет полинамиальное распределение М(п; ри ..., Рх). а) Показать, что производящая функция для (ти ..., т»), л «=. М, имеет вид Е(х»'...х»') =~1+ ~ р,(х, — 1)~, ь =! в частности, Цч») = В1(л Р»).
б) Вывести следующую общую формулу для смешан- ных факториальных моментов: Е(т»)», (тх) „= (п)», + ... ч-»,Р1'" Ря'". х В в) Пусть»!' = Х С(т„С' = ~ С(рь ! = 1, 2, СтСт= »=1 32 и = Х С,'С,'рь Показать, что Ег1' = пС', сот(0', т1') = 1 (С С вЂ” С' С'). У к а з а н и е. Использовать результат, приведенный в решении задачи 1.39 п. 3). 1.53* (продолжение задачи 1.52). Доказать, что для любого»( М при п-~ оь и фиксированных р, Е(0, 1), К = 1, ..., Л', х.((ч; — пр;)/т~п, / = 1, ..., »)-~Ф(0, ~',» —— = ПопП)), где он =),Р( — Р) Р ' =1.; при этом ~ — рр1 при 1Ф)' ~~,~ ~о ! У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой непрерывности для характеристических функций.
1.54. Доказать, что если случайные величины ~ь ..., Ь независимы и Е($,) = П(Х,), / = 1, ..., Ф, то условное распределение Е(~ь ..., ~и($~ + ... + ~и = п) = М(п; рь ..., ри), где р; =, / = 1, ..., М. Отсюда, в частности следует, что 1 (Ь ~ 5~ + ... + 5и = п) = В1(п, р~). 1.55. Пусть имеются две случайные величины 5 и Р,, причем 5(Д) = Г(а, г) при некотором а ) 0 и целом г =» 1, а условное распределение х,Я~ Д = 1) = ПР.).
Показать, что безусловное распределение ь(Ц = 01(г, р) а при р = —. а+1 1.56. Пусть Х = (Хь ..., Х,) — выборка из 31(р, о'). Доказать, что Х и (Х~ — Х, ..., Մ— Х) независимы. Получить отсюда независимость выборочных среднего Х и дисперсии 5'. ! У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что для нормальных случайных величин из нх некоррелированности следует независимость.
1.57*. Пусть Х = (Х„..., Х„) — выборка из распределения Ж(0, 1) и квадратичная форма Я = Х'Х разложена на сумму двух квадратичвых форм Я = Я, + Ям где Я; = Х'А;Х и гапиА, = пь 1 = 1, 2. Доказать, что если и, + п2 = п, то Я~ и Яз независимы и АЯ,) = у'(п,), 1 = 1, 2. в — 1вв зз У к а з а н и е.
Проверить, что матрицы А, и Аг идемпотентны и А1А2 = 0; далее результат следует из утверждений 1' и 2', п, 6, 1) гл. !. 3 а м е ч а н и е. Справедливо более сильное утверждение, именно, если г",) = г,гг + ... + 9», где 9, = Х'.4,Х, ганя Аг=л, 1=1 ... й то и=пг+...-)-пгниг .с> 2,)1, ..., 1„)2 независимы и ЕЯ,) = Кг(пг), 1 = 1, ..., й. 1.68*.
Пусть Х = (Хг, ..., Х.) — выборка из нормаль- ногоЛ()2, о') распределения. Найти распределение случайх,— х ной величины т) = ;/уг - (3 1.69*. Использовать обозначения, введенные в зада- че 1.38, и ее решении, и пусть гга( О1ОУР~ ~ ~ а) Доказать, что (Хг, Хг) и (521, 5оь 522) независимы; б) пусть 1;) = л(Х1 — рг, Х2 — )12)'Е (Х, — р,, Х,— — р2), доказать, что Е(1',)) = ~2(2); в) пусть и ) 2 и Т = -уа — 2р„!-~/1 — рт, где р„ = = 512/5152 — выборочный коэффициент корреляции. До- казать, что при р = 0 Е(Т) = 5(л — 2), пол учить отсюда распределение р,. У к а з а н и е.
а) См. задачу 1.66 и ее решение; б) воспользоваться задачей 1.40; в) использовать следуюШий факт [4, с. 436]1 плотность совместного распределения случайных величин (5'„512, 522) имеет вид (при р = 0) в" )(хг, хгь хг) = 4хг(гг — 2)(аггугу Х1, К2 ( О, Х12 ( Х1Х2.
Далее рассмотреть новые случайные величины "уУуг ггг л у 2 ггг 11 2 11 )2= 1~51 г ), )2= г 52 У«, У = У,У /У 11 — 21. 1.60*. Пусть Х и 5' — выборочные среднее и диспср. сия для выборки объема и из распределения П(Х). Доказать, что при л- со и любом Л) 0 !.63* (обобщение задачи 1.62). Пусть Х!'1, Х"» — два случайных вектора произвольной размерности, Е(Хо!) = = !»О», Р(Хю),=;» ., ! = 1, 2, соч(Хп», РР) = ~,», (ХР) Хгп) Х и ( Х ' ) н Е (Х(п Х и) й' ((1»п» Роо) Х= " ", )Х) ~6. Доказать, что условное распределение Ь (Х1п!Х16 = = хоч = Ж(М(хп>), В), где М(х1п) = рм»+ А(хгп — рп»), А = ~'„„Д,, ', В =Մ— Е„Х„'Х„. Убедиться в том, что в случае 61п» Х1п = 1, д(гп Х1п = =р — 1 А = — — „(о'", о'", ..., о» ','), В = — „, где Х ' = !!он!(1.
У к а з а н и я. !. Рассмотреть линейное преобразование Уп" = Х"', Уси = Хси — АХгп н убедиться в том, что Уп' и У"' независимы; отсюда следует, что Е(Хни !Хгн = х"') = А(У"» -1- АУги !Уп» = хп») = = г. (Уси -1- Ах'"). 2. Записав совместную плотность 1х ви (х,, ..., х ь х„) = Р Секр ( — — 2; (х; — р,) (х, — р,) о"~ с~=» = Секр( — — ~(хр — рг) о" + з [ Р р — » + 2 (х, — рр) 2,' (х; — ри) о'~ + ...) ~=! получить, что переменная хг войдет в выражение условной плотности в виде р †! ехр( — —,ою(х,— р, + Х (х»-р1) Ою/ОО) 1. ~=1 1,64.
В основе алгоритма моделирования значений случайной величины с пуассоновским распределением зб П (А) лежит следующий факт (доказать!): пусть с1„ ! = О, 1, 2, ... — независимые случайные величины с равномерным распределением Я (О, 1) и $ = шах( а: П (!; » 1=! е '~, тогда Ь ($) =П (Х). У к а з а н н е. Используя соотношение Ь( — ,'Р ! п К) = 1=! = Г (1, ГГ), вычислить вероятность события ($ = Гг) = а а+! = ( — ~„'(п (!, ~ Х, — У, 1п и, » Х~ . ~' =! ~ =! 1.65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
