Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1) Нормальное раснределениесч(!а, о'), — оо ( р ( оо, о ) О, имеет плотность — е ', — оо (х( оо; з 2«' т!2пп прн этом р = Е$, о'= Щ, а центральные моменты ра = = ЕД вЂ” р)" равны соответственно ры+ « = О, рм = = ((")' о" = ! 3...(2г — 1)о'. Распределение М (О, 1) д2' называют стандартны.н нормальным, его функцию рас- пределения обозначают Ф(х) = — ) е 'тзсИ; уравнеЧтп ние Ф(и ) = р, р Е(О, 1), однозначно определяет р-кван- тиль ир, при этом и«а = — и;, используется также обозначение с = ип+нтз.
Случайный вектор $ = (вь 5а) имеет (й-мерное) нормальное распределение ))Г(1а = = (рь ..., ра), ~з = !1о,«!!~«), если его характеристическая функция имеет вид' Ес««ч = ехр(1т1а — — т'~,"ф а = (1ь .. 1а); при этом Е(В) = — (ЕЦ«, ..., ЕЦ«) = 1а, РЯ)= — Е(5 — 1а)($ — 1з)'= — 1!соч($ь Р,;)!!« = 1!оД« = 2:. Если ~ Х; ~ Ф О, то распределеннейГ(1з, ,'«) называется невырожденным (собственным) и имеет плотность « 1(х) = (2п) ' ~ 2„~ ехр~ — — (х — р)'~ (х — р)) х = (хь ..., ха)ЕЯ", Важнейшим свойством нормального распределения явля- ' При иатричных преобразоааниях нектары попимаютси как векторстолбпы, означает транспониропание.
1З ется то, что при линейном преобразовании т( = А$(А— заданная матрица) снова получается нормальный слу- чайный вектор, при этом Цт)) = М(А!1, АгА'). В частности, если т! = ГГй, где П вЂ” ортогональная матрица, приводя- ща" Х к диагональному виду ст'2;Гт = й = (( (кн ) = 1, ..., й — собственные числа ~), то Е(т1) = =йГ(!/'11, й), т. е. компоненты вектора т! некоррелирова- ны, следовательно, и независимы. Полагая У = = )л 01ЕГ'( — 1х) (если все Х; ) 0), получим Е (Х) = =Ж(0, Ег), где Еь — единичная матрица размера Ь. Таким образом, всегда можно указать линейное преобра- зование, переводящее невырождениый нормальный век- тор в вектор с независимыми стандартными нормальными компонентами. В статистических приложениях, где имеют место выборки из нормального распределения, важную роль играют следующие утверждения (1, с.
29 — 31): !'. Если Х = (Хь ..., Х„) — выборка иэ распределения й((14, о') и ! = ВХ,1;1; = Х'А;Х, 1 = 1, 2 — соответственно линейная и квадратичные функции от Х, то для незави- симости ~ и © достаточно выполнения условия ВА~ = О, а для независимости 1г~ и ггг — условия А|Аг = АгА~ = = О.
2'. Пусть 1ь = О, о" =! и А! = А~ (матрица А~— идемпотентная)„тогда Е(Я~) = Х'(г), где г = гапп А1 = = 1гА~ — след матрицы Аь 3'. Теорема Фишера. Выборочные среднее Х и дис- персия 5' независи,кы и при этом Е( /п(Х вЂ” 1х)/о) = =М(0, 1), аЕ(п5'/о') = Х'(и — 1) (определение хи-квад- рат распределения см. ниже), 2) Гамма-распределение Г(а, к), а, 1. ~ О, задается х' 'е плотностью,, х~ О (здесь Г(1) =~ 1' 'е 'дй г(х)а' Х) 0 — гамма-функция), и имеет моменты Е~' = = а'Г(к+ Ь)/Г(к), Ь ) — 1,.
В частности, Ес = а1., Р$ = аг).. Частный случай Г(а, 1) называют экспоненциаль- ным или показательным распределением. Другой частный случай Г(2, п/2) называют распределением хи-квадрат с и степенями свободы и обозначают Хг(п); при этом Х'(и) =Ей~ + ... + ~'„), где слагаемые независимы н ь(ь,) = и!(О, 1), ! = 1, ..., и. Для р-квантили распределения т (и) используют обозначение тгт. 14 3) Распределение Веббулла Ж(а, а, Ь) зависит в общем случае от трех параметров: парал1етра положения (сдвига) а 5 )с', параметра форл1ы а ) 0 н параметра масштаба Ь ) О н задается функцией распределения Р1(х) = 1 — ехр~ — ('„) ~, х) а. Здесь Ес = а+ ЬГ(1+ — ), Рс = Ь" ~Г(1 + ~ ) — Г (1+ — )) .
с!астный случай ГЬ(а, 1, Ь) известен как доухпарамегрическое зкгпоненциальное распределение, а )а(а, 2, Ь)— как распределение Релел. 4) Бета-распределение ()(а, Ь), а, Ь ) О, задается плотностью х' '(! — х)' '/В(а, Ь), О ( х ( 1, где В(а, Ь) =, — бега-функция. Здесь Ес = —, Г(а)Г(Ь) а Г(а + Ь) а+Ь аЬ (а+ Ь)'(а+ Ь+ 1) 5) Равномерное распределение Р(а, Ь), — с ( а ( ( Ь ( со, имеет постоянную плотность !(х) = — -, Ь вЂ” а а(х( Ь.
Здесь ( ) Р(,) И,), Ь 6) Распределение Коши К(а), — сс ( а( са, задается плотностыо —. 1 1 — сс (х ( сс. Для этого 1+(х — а)' распределения не существуют моменты, в том числе и математическое ожидание, постоянная а совпадает с медианой дн. Распределение Коши обладает следующим интересным свойством: если случайные величины ~ь ..., Ц„независимы и Е($;) = К(а,), ! = 1, ..., и, то Х.Д) = К(а), где черта означает среднее арифметическое. 7) Распределение Стьюдента с и степенями свободы 5(п) = — ь(1.
=— 1)/-ЧгХ„/и), где случайные величины т) и Х'„ независимы и при этом Е(т)) =йГ(О, 1), Б(Х„') = )!'(и). Это распределенно имеет плотность 15 для его р-квантили используется обозначение 8) Распределение Снедекора с пг и пг степенями свободы 5(пг, пг) = — ь( Р..,., = ~"': ~"'), где случайные — .,) величины ~г, и дг, независимы и при этом цхг) = хг(пг), 1= 1, 2. Плотность этого распределения имеет вид его р-квантиль обозначается Р„„„„, при этом Р, = ! /Рр, гг, и,. 9) Биномиальное распределение В!(и, р) — это распределение числа «успехов» в и независимых испытаниях с двумя исходами («успех» — «иеуспех») и неизменной вероятностью «успеха» р Е(0, 1) (схема Бернулли).
Здесь Р($ = 1г) = С„'р"р" ~, й = О, 1, ..., п(о = 1 — р), Е«» = пр, Рс = про. При и = 1 имеем распределение Бернулли Вг(1, р). 10) Полинониальное распределение М(п; рг, ..., рн), рг +" + рн = 1 — это распределение случайного вектора ч = (чг, ..., чн) с целочисленными неотрицательными компонентами, удовлетворяюгцими условию ч~ + " + + чн = и, которое имеет вид Р(ч = Ь) = —,", р'(' ...Рй~, й = (ггг, ..., !гн), йг+ ... +Ьн = и. Здесь ! пр,(1 — р;) прн ! = 1, Еч; = пр» соч (ч» ч;) = ~ ~ — прр; при 1~1.
Если произведено и независимых испытаний с !чг возможными исходами, вероятности которых неизменны и равны рг, ..., рн соответственно, то, обозначив через гл число реализаций г-го исхода, 1 = 1, ..., Ф, будем иметь, что Цм) = М(п; рь ..., рн). Если гЧг = 2, то М(п; р, ! — р) = = Вг(п, р), т. е. полиномиальное распределение сводится к биномиальному. !1) Распределение Пуассона П(Х), Х ~ О, задается вероятностями Р(с = й) = е ' †„,, й = О, 1, 2, ...; при этом Х = Е$ = !»с и вообще ЕЯ); = Х', где (а), = = а(а — !)" (а — 1+ !) 1 ~ )1, (а)ь = ! 12) Отрицательное биномиальное распределение В1(г, р), рЕ(0, !), г = 1, 2, ..., задается вероятностями Р($ = й) = С,'.ь» ~р'д', й = О, 1, 2, ...
(д = 1 — р). Это распределение числа «успехов», предшествующих г-му «неуспеху» в бесконечной последовательности испытаний Бернулли. Здесь Ес = гр/д, тлв = гр/д'. В частном случае г = 1 распределение В1(1, р) называется геометрическим. 13) Гипергеометрическое распределение Н(г, У, и) задается вероятностями Р(Э =й) = С,"С,,/Сч, гпах(0, и + г — 1«) < А ( ппп(п, г). Если в урне содержатся й! шаров, г из которых красные и Ф вЂ” г — черные, и из урны извлекается случайная выборка без возвращения объема и, то случайная нели- чина $ — число красных шаров в выборке — имеет указанное распределение.
Здесь Е$ = —, тл$ = — (!— м ' н — г/й/) —" и вообще Е($) = Ф вЂ” ! Дальнейшие свойства этих распределений рассмотрены в задачах 1.39 — 1.55. Если статистическая модель Г= (Р;) задается распределением какого-нибудь стандартного типа при неизвестных определяющих его параметрах 0 (или некоторых из иих, если параметров несколько), то модель имеет такое же название.
Например, говорят о нормальной модели й!(О, о'), когда среднее неизвестно, о модели й)(р, 0'), когда неизвестна лишь дисперсия, об общей нормальной модели Л/(0ь О!), когда оба параметра неизвестны, о пуассоновской модели П(0) и т, д. 7. Для изучения и иллюстрации эффективности различных статистических процедур удобно использовать статистическое моделироеание, реализуемое с помощью последовательности псевдослучайных чисел. Псевдослучайными числами называют последовательности чисел, получаемые по некоторому алгоритму и обладающие свойствами последовательности случайных чисел. Методы получения псевдослучайных чисел рассматриваются в учебной и монографической литературе (9, !О]. Обычно для получения реализации последовательности независимых случайных чисел с произвольным 17 распределением используют реализацию последовательности независимых случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [О, 1[.
Реализацию равномерно распределенных случайных чисел Бм и,, и,, ... (!.5) наиболее часто получают линейным конгруэнтным методом [9[: (7 = г„/т, (! .6) где г„— последовательность, определяемая рекуррентным соотношением г„ч. ~ = аг„+ с (шод т), где гь — начальное значение, а, с, т — положительные целые числа. Последовательность (1.5), определяемую формулой (!.6), строго говоря, нельзя рассматривать как реализацию независимой последовательности равномерно распределенных чисел, так как она является либо периодической, либо содержит период с подходом. При этом длина периода Т не превышает т, так как не превышает т число различных значений г., и = О, 1, 2, ....
Очевидно, что бессмысленно использование таких последовательностей длиной, превосходящей длину подхода и периода. Однако при специальном выборе констант а, с, т и гь последовательность (1.5) имеет максимально возможный период т. Условия, при которых последовательность имеет максимальный период, приводятся в следующей теореме [9[. Теорема.
Длина периода линейной конгруэнтной последовательности (1.5) равна т тогда и только тогда, когда: !) с и т — взаимно простые числа; 2) Ь = а — ! кратно р для любого простого р, являюи!егося делителем т; 3) Ь кратно 4, если т кратно 4. В приложении приведены две программы датчиков равномерных псевдослучайных чисел на автокодах машин ЕС и БЭСМ-6. В датчике й! были использованы постоянные а = 843314861, с = 4538!6693, т = 2", а в !)2 — постоянные а = 431777206549, с = 232354!46751, т = 2".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
