Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму. Вычислить выборочные среднее и дисперсию, а также выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса. 1.23. Прн проведении л = 2608 опытов по наблюдению числа а-частиц ($), излучаемых радиоактивным веществом за определенный период времени (7,5 с.), получены следующие данные (1ь — число опытов, для которых число частиц 4 = 1, ! = О, 1, ...]: Построить график частот Ь;/и и вычислить выборочные среднее и дисперсию [7, с. 17?]. В следующих ниже задачах Х = (Х!, ..., Х„) — выборка из некоторого распределения Е Д), Е(х) и г"„(х)— соответствующие теоретическая и эмпирическая функции распределения (см.
(1.1)). 1.24. Для заданной точки хг такой, что О ( Г(х») ( 1, и заданного числа ! оценить прн больших а вероятность события У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Муавра— Лапласа. 1,25. Пусть х~ - хг — две заданные точки на числовой прямой такие, что О ( г (х~) ( г" (хг) ( 1, Доказать фор- мулу соч (Е„(х~), Е„(хг)) = — Е (х,) (1 — г" (хг)). г! при Х,(хь» = 1,...,и, р.(х)=Н +" +т!. где Н =(О !О при Х,) хь 1 при х~ (Х; ( хг, б„(хь хг)=р + ...
+ с„, где с! = ! = 1, ..., и, О в остальных случаях. 1.28. Пусть х~ ( хг ( ... ( х» ~ — заданные точки на числовой прямой такие, что О ( Р(х~) ( Е(хг) ( ... ... ( г (хч,) -' 1. Рассмотрев случайные величины ч; = р»(х~) — р„(х; »), ! = 1, ..., !ч' (здесь р»(х») = О, р (хх) = и), убедиться в том, что случайный вектор г» = (чь -, чч) имеет полиномиальное распределение М (и; р!, ..., рх), где рг = г" (х;) — Е (х» ~), 1 = 1, ..., )ч', г (хо) = О, Г(хч) = !.
Получить отсюда результат задачи 1.25. 1.27. Вывести следующие формулы для моментов выборочных моментов: а»», — а»»ч а», соч (А,», А„) = » а~)», соч (Х, 5') = ~, рг. ЕА,» = Ев»= Е5 = — рг »» — 1 » р»=ЕЯ— 26 У к а з а н и е. Представить случайные величины р» (х~) и д (хь хг) = р,(хг) — р„(х~) в виде сумм независимых индикаторов: Вычислить значения этих моментов для случая 2. ($) = й((п,о'). 1.28. Доказать, что для любых фиксированных г 2, 1 ( !2! = ....= а, совместное распределение выборочных моментов А„«„..., А„4, при и -5- оо асимптотически нор! мально Лг(а = (а«„..., оь),— ~), где 2', = !!ач — — а«,44,— ''л — а«,а4, !! (, т. е. 1.
( /и (А„ь — аь), ! = 1, ..., г) -~ И (О, Х) (предполагается, что все указанные теоретические моменты существуют). Кроме того, если «р(х), х = (х«, „х,),— любая дифференцнруемая функция, то ЕЯп (ф(А„«„... ..., А.«,) — 4р(а)))-~ )ч (О, о') при условии, что о Ф О, где ! У к а з а н и е. Применить центральную предельную теорему для векторных случайных величин и утверждение 4', п. 4, гл. 1. 1.29*.
Доказать, что при а — оо выборочная дисперсия 52 асимптотически нормальна п2(!22,(!24 — р22)/п) и при этом Е5'. р2, 052, -(р„— !22)/п (предполагается, что р4 ( оо). ! . У к а з а н и е. Воспользоваться утверждением 2'а), п. 4 гл. !. !.30. Доказать, что совместная функция распределения двух порядковых статистик Х!,! н Х!,! (! ( г( з ( п) имеет внд « л (х, х,) — Ч' 2' " Р"' (х,) (тт(х2)— и= ! «(ц 5 (х!)г(! 5 (Х2)25 ! ЕСЛИ Х! "= Х2 Н Е55 (х,, х,) = Р (Х!,! ~ х2) = Г«(х2) С«г (Х2) (! 5 (Х2)) 2= если х! ) х2. Вывести отсюда формулу для г, (х) = =- Р (Х!,! < х).
1.3 1 . Пусть распределение 2. ( ",) а бсолютно н епрерывно и его плотность Г(х) = /(х). Вывести следующую формулу для плотности совместного распределения порядковых статистик Х„л, ..., Х„,! (! < а! ( ... < гг, ( п): гт л! «г««(х!...., х )— («~ )р (««А~ !)! ° («Ф ! !))(л «)! х Хр«' '(х!)(р(хг) — Р(х!))«' ' ' ... (Р(х,)— — г" (х, !)«' ' ' '(! — г"(х,))" ') (х!) ... 1(х,), х! сх«» ...»'х,. В частности, совместная платность всех л порядковых статистик Хн), ..., Х(„! равна д!....(х!, ...,х„) = л! ( (х!) ... ( (х.), х, С хз с ...
С х„. 1.32*. Доказать, что если в некоторых окрестностях квантилей с«, и с„(0 с р! с р«с 1) плотность ! (х) не- прерывна вместе с производной и ! (с,,) > О, ! = 1,2, то при л -~ оо выборочные квантили 7„,„, = Х!.,)+ и, ! = 1,2, асимптотически нормальны Н((С„, ~,), — !!оч!)!), где ач = , ! С !. Обобщить на случай г квантилей. !(з«) 1(с«) 1.33". Доказать, что для выборки из абсолютно не- прерывного распределения крайние порядковые статисти- ки Х(,! и Х(„,+и при л- со и фиксированных г, з ) 1 асимптатически независимы. У к а з а н и е.
Перейти к случайным величинам и„= пг" (Х(,!) и т)„= л(1 — Р(Хм,+и)) и воспользоваться результатом задачи 1.31. 1.34. Пусть х.(Ц = Г (1, 1). Доказать, что случайные величины у, = (л — г + 1)(Х(,! — л(, п),г = 1, ..., л(х!и —— = О) независимы и одинаково распределены с плот- ностью 1(х) = е ', х ) О. Основываясь на этом, вы- числить ЕХ(,), 0Х!«! и исследовать асимптотическое пове- дение ЕХ!.! и РХ!о при л — оо, У к а з а н и е. Воспользоваться представлением » п Х х, = 2; (л — г+ 1)(х, — х, !), х« = О, и резуль-! =! татом задачи. 1.31.
1. «3. Убедиться в том, что для случая Е($) = = Р(0, 1) распределения порядковых статистик имеют внд «, (Х!«!) = () (/с, п — /г + 1), А(Хн) — Х!«!) = = Р(! — !«, л — ! + л + 1), 1 с й С ! = л. Вычислить средние и дисперсии этих распределений, а также соч (Хм, Хн)). 28 !.36. Пусть Е(с) = И(а, Ь). Показать, что плотность совместного распределения экстремальных значений выборки Х,ц н Х!„! имеет вид „(хг — х!), а<х(<~ «(» — !)» — г (Ь вЂ” л)" <хг < Ь. Получить следующие формулы: ла+Ь а+лЬ ЕХ!ц = —, ЕХ1,! = л+! ' л+! ПХсц = ОХм! = (,, сот(Хпь Х(„)) = л (Ь вЂ” л) (л+ !)'(» + 2) ' ( — .(' (" -( ') ( (.
( ' 1.37. Пусть Е Д) есть распределение Вейбулла )Р(а, а, Ь). Найти распределение минимального значения выборки Хп! и вычислить ЕХ!ц и 0Хп!. 1.38. Пусть Х, = (Х((, Х(г), !' = 1..., и, — независимые наблюдения над двумерной случайной величиной в = (э( эг) с функцией распределения г" (х(, хг). Эмпирическая функция распределения определяется в данном случае формулой г"„(х(, хг) = — ~ е(х! — Х,() е(хг — Ха) ! л, (=( (ср. с (!.!)). Вычис()ить ЕГ„(х!, х,) и Рг„(х!, хг) и по- казать, что г".(х(, хг) — г" (х,, хг), когда и- ог. Построить выборочный коэффициент корреляции р, и. показать, что Р„- Р = когг (Ь(, Сг), если Е(Сг(эгг) < и Щ! > О, 1 = 1,2.
1.39. Говорят, что распределение Е„зависящее от параметра а, является воспроизводящим по этому пара- метру, если для независимых случайных величин $! и Сг с распределениями соответственно Е.. и Е„выполняется свойство Е(с! + эг) = Е,,»„; это записывается также в виде Е., г(» Е., = Е„ь„, где ~ означает операцию свертки. Убедиться в справедливости следующих утверждений: !) г((р! ог!) Ь)» М(рм огг) = г!(р! +рг ог! + огг)) 2) Г (а, ) !) г(» Г (а, Ь.г) = Г (а, З ( + ) г); 3) М (п!, 'р!, ..., р„) ~ М (пг, р(, ..., рл) = М (п! + пг! Р! ". Рл) в частности, В1(л(, р) 4» В1(лг, р) = В1(л + лм Р)! 4) П ().!) г(с П ().г) = П ()! + 2г); 5) В1(го р) ф Вс(гм р) = В1(г~ + гм р).
У к а з а н и е. Использовать тот факт, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристичвских функций слагаемых; при этом для дискретных случайных величин вместо характеристических функций Еегг удобно использовать производящие функции Ехг. 1.40*. Пусть случайный вектор У имеет невырожкденое нормальное распределение й((р, Х) и (г' = (У— — 1г)'А (У вЂ” 1х), где матрица Л удовлетворяет условию А = А Х Л. Доказать, что ьЯ) = к'(гп), где пг = = 1г (ЛХ). В частности, при А = Е ' число степеней свободы гл совпадает с размерностью вектора У.
1.41. Совместное распределение двух случайных величин Х и У описывается следующим образом: условное распределение Х при условии У = у нормально М(у, а',), а Е(У) = Ж(И, ах~). Доказать, что Е(Х) = М(ц, а( + о3). У к а з а н и е. Вычислить плотность распределения Х по формуле (х(х) = ~ (ха(х, у) (г(а) г1у, где )хп(х, у) — плотность условного распределения Е (Х(У = у). 1.42. Случайные величины Х~ и Ха независимы, причем Е(Х,) = Г (а, Х), Е(Х, + Х,) = Г (а, Х + р), 1г ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
