Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 2
Текст из файла (страница 2)
!5). Если случайная величина С дискретна и принимает значения аь аь ..., то более наглядное представление о законе распределения $ дадут частоты Л,/и, где й,— число членов выборки, равных а,: в этом случае й,/п4.Р($ = а,), г = 1, 2, ..., когда и- оо. Для величин $, имеющих плотность 1!(х) = Ях), можно рассмотреть частоты йк/и событий (сеиЬ!), где (Ь!)— система непересекающихся интервалов, образующих разбиение области возможных значений $. В этом случае прн и-» оо — х» РЯ ~ Ь~) = ~ /(х) йх, 6 и если Ь«малы, то по частотам й|/и можно построить два «графика», напоминаю!цие график функции 1(х) и называемые гистограммой и полигоном частот соответственно (1. с. !б), которые могут дать некоторое предварительное представление о законе распределения $. Каждой теоретической характеристике д = (й(х)йР(х) соответствует ее статистический аналог 6 = 6(Х) = ~ д(х)НР„(х) = — ~ я(Х!), ! ! называемый эмпирической или выборочной характеристикой.
В частности, статистическими аналогами для теоретических моментов являются выборочные моменты. Выборочным моментом й-го порядка называют величину А«! = А«й(Х) = — ~ Х,'. ! и . ! ! При й =! величину А„! называют выборочным средним и обозначают Х: Выборочным цеягральным моментом Гг-го порядка называют величину я М„, = М„(Х) = — ~, '(Х; — Х)" . г=! При я = 2 величину М з называют выборочной диспер- сией и обозначают символом 5'= 5'(Х): используется также обозначение 5' = " 5~. Аналол — ! гично вводят выборочные абсолютные моменты, выборочные семиинварианты и т.д. Другим примером выборочных характеристик являются выборочные квантили.
При этом р-квантиль для любой функции распределения г(х) определяется как =!п((хгР(х))р), 0 =.р(1, а выборочная р-квантиль Я., есть р-квантиль эмпирической функции распределения Е„(х). Если расположить элементы выборки Х = = (Хь ..., Х„) в порядке возрастания нх величин, то получится последовательность новых случайных величин Х< ~ 1 (~ Ха) (~ ... ~ (Х( ), называемая вариационным рядом выборки; при этом Ха~ — й-я порядковая статистика, й = 1, ..., и, а Хщ и Хи~ — экстремальные (соответственно минимальное н максимальное) значения выборки. Тогда Як выражается через порядковые статистики: ~ Хе.,~+ о при пр дробном, (Хым при пр целом.
В частности, 7,лм — выборочная медиана. Любая выборочная характеристика, имеющая внд не- прерывной функции от конечного числа величин А„ь (в частности, сами выборочные моменты, а также вы- борочные центральные моменты М„ь), сходится по вероят- ности при и- со к соответствующей теоретической характеристике и может служить оценкой последней, когда число наблюдений и достаточно велико. Аналогич- но, У„, -Р ср, если только распределение АЯ) обладает гладкой плотностью. 4. В выборочной теории изучаются различные свойства распределений выборочных характеристик как в точной, так и асимптотической (т. е. при большом объеме выборки) постановках.
При исследовании асимптотического (при и- о ) поведения соответствующих распределений широко используются предельные теоремы теории вероятностей и прежде всего две основные из них: закон больших чисел и центральная предельная теорема. Напомним их простейшие формулировки [2, с. 150 — 154) . Закон больших чисел. Если случайные величины П!, Пь ... независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание Егь = а, то ! Р— (т)! + ... + т1„)-» а при и -» со.
Центральная предельная теорема: если дополнительно к предыдущему существует 1рп; = от ) О, то при и — аь Х. ((П ~ + ... + т1, — па)/Япо)) — й!(О, 1), Многомерный вариант центральной предельной тео. ремы имеет следующий вид: пусть г-мерные случайные векторы т)„= (т1„!, ..., и„,), и = 1, 2, ..., независимы, одинаково распределены и имеют конечные моменты а; = Ег1и, Ьу = сои(т! ь т1„), 1, / = 1, ..., г.
Тогда где Я ! = (Ч и + .. + т1м — па )~»~п, ! = 1, ..., г. (Определение многомерного нормального распределения см. ниже в п. 6). Приведем некоторые утверждения о сходимости функций от случайных величин, которые понадобятся в дальнейшем прн решении задач. 1'. Если т1„-»т! и функция гр непрерь!вна, то 4!(т1„)-' фт1) 2".
Пусть (т1„, с,), и = 1, 2, ..., — последовательность пар случайных величин. Тогда а) т1„— С.-т О, ~.'-'ФС=»П„ЪС; б) Е(т1„)-» А(т1), с„-~»0--т1„с„т»0; !о тт) Е (ем)-» г (т1), с„-»с = соп51=>-,Е(т1л + Ял)-+ Е(Ц + + с) Т (т1лял) ь Т.(ст1), Т (т1„/д„)- Т(»1/с) при с „-ь 0; г) т1, — С„-ьО, »,(С,)». Е(ц), функция тр непрер»явна~ =' М ) — а(с ) ' 9. 3'.
Пусть Т„= Т„(Х), Х = (Хь ..., Х,), — оценка скалярного параметра 0 в модели Г =(Е(х; О), О ен 6) и такая, что хьЯп (҄— О)) — У(0, о'(О)) при и -ь ьь и всех 0 ~ 6. Пусть, далее, функция тр дифференцируема и Чт' ~= О. Тогда $.»(т/п(тр(Т„) — ЩО)!) М(0, [тр'(9))то'(0)) .
Кроме того, если функции тр' и и непрертнвны, то Обобщение утверждения 3' на случай векторного параметра 0 = (Оь ..., О,) нмест следующий вид. 4'. Пусть Т„= (Т,ь ..., Т„;) — оценка параметра О, удовлетворяющая условию Е»Яп(Т, — О))-» У(0, Х(0)) при п-ь ьь и всех 0 я 6. Тогда для любой дифференцируемой функции цт от г переменных 1.»( /п(тд(Т „) — тр(О)))- У(0, оэ(0)) при условии, что о(0) ч~ О, где о~(0) = Ь'(0)Х(0)Ь(0), Ь(О) = — „,, — тт, Если, кроме того, функция тр непрерыв=(, -',) дт дет да,' "' да,/' но дифференцируема и все элементы матрицы вторых элементов Х(0) непрерывны по О, то й»(т/п11»(Т „) — тс(0))/о(Т ))-т- ЬГ(0, 1).
На основании центральной предельной теоремы выборочный момент А„» асимптотически нормален с параметрами а» = Е$» и — Ва' = (ат» — а»т)/п, что кратко записывается так: Т, (А.») - й/(а», (ам — а»т)/и). Асимптотически нормальным является и совместное распределение любого конечного числа выборочных моментов А„», а также (при некоторых дополнительных условиях) распределение любой дифференцируемой функции от конечного числа моментов А„».
В частности, асимптотически нормальными являются и центральные выборочные моменты М„». Исследование асимптотического поведения распреде- 11 лений порядковых статистик Х<ю при и-~ оо проводится методом прямого анализа точных распределений величии Хоь При этом средние члены вариационного ряда (т. е.
ь когда номер Ь = Ь(п) удовлетворяет условию — -~ р, л 0( р < 1) для распределений А Я), обладающих гладкой плотностью, оказываются асимптотически нормальными; для крайних же порядковых статистик (т. е. для Хо!, Хы, + О при фиксированных г,д ~ ! ) класс предельных распределений исчерпывается распределениями трех типов, отличных от нормального [1, с. 26]. 5. Напомним некоторые формулы из теории вероятнастей, которые часто используются для нахождения явного вида распределений при преобразованиях случайных величин.
Пусть вектор Х = (Хь ..., Хь) имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью ((х), х=(хь ..., х~)55ыу', и Ь=(йо ..., Из):5- Р— произвольное взаимно однозначное и гладкое (т. е. все частные производные дЬ,(х)/дх; непрерывны) преобразование, якобиан которого д/ц~(х) дгн(х) дю дю У(х) = де! д/з~~х) да,(х) дх~ дю не обращается иа 5 в нуль. Тогда плотность распределения случайного вектора У = Ь(Х) = (Ь~(Х), ., Ь~(Х)) имеет следующий внд: р(у) = 1(Ь '(у))/У(Ь '(у))!, у =(уп - у)ЕЬ(5)(12) где Ь ' — обратное к Ь преобразование: Ь '(Ь(х)) =х.
Выделим два часто встречающихся частных случая. Если Ь = 1„ то речь идет о преобразовании случайной величины: У = Ь(Х), где Ь(х) — взаимно однозначная гладкая функция с не обращающейся в нуль производной. В этом случае плотность распределения г' имеет вид д(у) = !(Ь '(у))/1Ь'(! '(и))1. (! .3) Если речь идет о линейном преобразовании: Х = АХ+ + Ь де!А в = а ~ О, то плотность распределения У равна г((у) = )(А '(у — Ь))/1а!. В ряде статистических задач приходится иметь дело с частным й = $/т) двух независимых случайных величин, 12 плотности РаспРеделениЯ котоРых 1а и )е известны. Плотность распределения величины с может быть вычислена по формуле ~~(р) = 5 )а(хд)Г«(х)!х!дх (1.4) 6. Для удобства дальнейшего изложения приведем наиболее часто встречающиеся в приложениях распределениях,Я) и некоторые нх свойства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
