Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 25
Текст из файла (страница 25)
! У к а з а н и е. Воспользоваться решениями задач 5.16 и 5.13 и. 7). 5.25*. Рассмотрим задачу оценивания скалярного параметра О, если функция потерь ЦО, й) = 18 — й(, О,»Г~ Л'. 1) Доказать, что при Х = х байесовское решение йв = = б*(х) при любом априорном распределении Е(О) есть медиана апостериорного распределения Е (0(х), т. е. такое число, что )~2 ' ( ~ )~2 2) Использовать этот результат при оценивании среднего модели й((0, Ь'), когда Е(О) = М(1», о').
У к а з а н и е. 1) Установить неравенство Е(10— й~1х) ) Е(10 — йа1(х)~»»й~ Д'. 2) Использовать решение задачи 5.13 п. 7). Глава а СТАТИСТИКА СТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 2;!и»1~- »=1 (6.1) В качестве оценок л» и )»»» по наблюдениям Хь ..., Х„используют соответственно статистики 132 Бесконечная в обе стороны последовательность случайных величин (Х»), Г = ..., — 1, О, 1, ..., называется стационарной, если выполняются следующие условия: ЕХ» = л» + сопз1, сот(Х».» ьХ~) = Е(Х»» ~ — л»)(Х» — т) = й».
Последовательность чисел (1т»), й = ..., — 1, О, 1, ..., называют ковариационной функцией последовательности (Х»). Прн этом 1»' » = )т» при всех Ь и )с» = 0Х, = о» = = сопз(. Будем предполагать, что Х = — ~; Хг, Са(п) = ~ (Хг — Х)(Ха+о — Х), л г г л — Й й =0,1,...,п — 1. Для иллюстрации смоделируем и членов стационарной последовательности Хг = Ь г+ $г+ 5г+г, 1 = 1, 2, ..., и, (6.2) где сг, 1 = О, ~1, ~2, ..., — независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,26]. Нетрудно проверить, что здесь ВХг = Зй, Во= †.
(гг = Л Л Л 3 Йа б, г = О, 1)3. В табл. 6.1 и 6.2 приведены значения статистик Х и Са(п) для различных п. Таблииа 51 Л = 0,5 (ЕХг = 1,5; Ро = 0,25; Яг = 0,165..3 Лг = 0,0833- ) Таблица 82 Л = 00 (ЕХг = 1.8; Ро = 0,3; Лг = 0.2; Рг = О,1). Важной характеристикой стационарной последовательности (Хг) является ее спектральная плотность 1(к), представляющая собой яреобразованне Фурье коварна- ЦИОННОИ ФУНКЦИИ (Яа)." 133 1(х) = — ~„'Р»созйх, хан[ — и, и). (6.3) Спектральная плотность (когда она существует) и ковариационная функция находятся во взаимно однозначном соответствии.
В качестве оценок 1(х) по наблюдениям Х!, ..., Х„используют статистики вида 1,(х) = — Х и!л(М)С»(п) соз Мх, (6.4) !»!~в — ! где (и!,(й)) — некоторая последовательность весовых коэффициентов (и!.( — й) = и!„(й)). В частности, при и!.(А) = = 1 — — получаем пгриодограмму выборки. Если сред- 1»1 л нее т = ЕХ, известно, то в формуле (6.4) Х заменяют т. 6.1. Доказать, что среднее арифметическое Х = = (Х! + ... + Х )/и является несмещенной и состоятельной оценкой для и! = ЕХ!.
6.2. Доказать, что статистика ! и — » С»(п) = — ~ (Х! — т) (Х».»! — т), 0 ( й С и, »=! является несмещенной оценкой 1с». 6.3". Доказать, что статистика С,(п) = — '„Х (Х, — Х) (Л,+, — Х) ! является при и- со асимптотически несмещенной оценкой %», т. е. ЕС»(п) — )т» (й фиксировано).
л- 6.4. Пусть $ и»1 — случайные величины с Ес = Е»1 = = О, »з$ = Р»1 = о», сочК, т1) = О. Доказать, что последовательность Х, = СсозЛ1 +»1з1пЛС 1 = О, ~ 1, ~ 2, ..., Л ен (О, и), является стационарной и вычислить ее ковариационную функцию. 6.5. Пусть 5!, 1 = О, -+- 1, -Ь 2, ..., — некоррелированные случайные величины, т = Ес!, о' = 0с!. Является ли последовательность (Ц стационарной? Доказать, что последовательность 1 Х! — — ХаД! »ч 1=0, +-1, ~-2, ..., ,-о является стационарной.
Найти ЕХ! и И». »з4 (!рл(1)(! = — (Ц 1Ц + (1 — 2а)'Ц 1Ц). !!рч(1)1! = Ц ' .," .Ц, О если Найти стационарное распределение этой цепи. 6.10. Составить программу для моделирования последовательности чь 1 = О, 1, ..., и, определенной в задаче 6.9. 6 11. Пусть Я вЂ” стационарная цепь Маркова, определенная в задаче 6.9. Является ли стационарной последовательность (тн], где 1,если т,=2, 11~ — 1, если чо = ! ? Найти Етн и 1?ь 6.12. Смоделировать последовательность нь ..., тпоо, 1 где тн определено в предыдущеи задаче, а = —. Вычисз' лить оценки величин Ечь??и 6.13. Пусть т~ — цепь Маркова, определенная в задаче 69 В~(1), Со(1), Г = О, ~1, -Е2, ...,— независимые !35 6.6*.
Для последовательности (6.2) доказать состоятельность оценки С„(п), найденной в задаче 6.2. 6.7. Смоделировать последовательность (6.2) в случае, когда $, распределены нормально с Е5 = О,б, Р~~ = 0,1; и = !00. Составить таблицу, аналогичную табл. 6.1. 6.8*. По значениям Хь ! = — и, — п + 1, ..., — 1, О, предсказать значение Х, — найти оптимальный линейный о лредиктор Хг. = Е 11ЙХь т. е. определить 6, так, чтобы !=в выражение Е(Х| — Х 0~Х~)о было минимальным. Вы! -л числить а'(и) = Е(Х~ — Х~,)з — минимальную средне- квадратическую ошибку прогноза. 6.9. Пусть чь 1 = О, ~1, ~2, ...,— стационарнан цепь Маркова с состояниями 1, 2 ( [2), с. 167). Доказать, что матрица 1!ря(1)!!оь где рч(1) = Р(т*+с = 1!ч* = 1), ю', 1 = 1, 2, определяется формулой стационарные последовательности с ЕС;(1) = О и ковариа- ционными функциями ВР, 1 = 1, 2.
положим тп = $„,(1). Является ли последовательность (тп) стационарной? Найти Етп и Вю. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой полного математического ожидания. 6.14. Смоделировать последовательность пь ", пмю, где тп определено в задаче 6.13, а = —, С,(1) равномер- 1 з' но распределены на отрезке ( — 1, 1]. Вычислить оценки величин Ею1ь В,, 6.16. Решить предыдущую задачу для случая ьЯ,(1)) = = й((0, !). 6,16.
Убедиться в том, что при условии (6.1) спектраль- ная плотность 1(х) (см. (6.3)) существует, непрерывна и определяет коварнационную функцию по формуле п Вю = ~ 1(х)созйхйх. 6,17. Вычислить спектральную плотность для стационарной последовательности некоррелнрованных случайных величин. 6.18. Существует ли спектральная плотность у последовательности (Х,), определенной в задаче 6.4? Убедиться л в том, что в данном случае В» — — ~ созлхйг(х), где г(х) — ступенчатая функция со скачками в точках .+Х и величинами скачков —, г( — и) = О, г(я) = о' (!ю(х) назыз ' вается спектральной функцией последовательности (Хю)).
6.19. Получить следующее представление периодограммы (см. (6.4) ) через выборочные значения последовательности (Х,) (среднее т известно): („(х) = †" К~(х), Щ(х) = А'.(х) + В'„(х), где А„(х)! З ю (Х,п)) созх! В„(х)! а,, ' 1 ейпхд 6.20". Убедиться в том, что для математического ожидания периодограммы при известном среднем гп = ЕХю справедливо представление ! за Е~.(х) = $ А.(х — у)[(у)ю1у, где й„(х) = — '(з[п(лх/2)/з)п(х/2))~ — ядро Фейера. Доказать, что Е1„(х) 1(х), — я х ( и. 3 а м е ч а н н е. Периодограмма является асимптотически несмещенной оценкой спектральной плотности и при неизвестном лт, однако эти оценки не являются состоятельными. Состоятельные же оценки можно получить при специальном выборе «весов» ш,(м) в (6.4).
6.21*. Пусть среднее и = ЕХг известно и тн„(я) = )й! Х Млей = ( ! — — ) —. Доказать, что 1„(л) — асимптотически л) сй несмещенная и состоятельная оценка величины — ) 1(у)г(у, О ( е ( я, )с ев [ — л + е, и — е1 ! х — в 3 а м е ч а н и е. Результат верен и при неизвестном лт.
6.22". Пусть ят известно и ш,()с) = (! — — г! ( !— )й! 1 л г' )цх — — 1! прн !)е[ ( 1„и ш„(я) = О при !)г! ) 1„. Доказать, что если п, 1„- сю, 1„/п-ьО и Х[lгдзз[ =' оо, то !.(х)— асимптотическн несмещенная оценка 1(х). ! 3 а м е ч а н и е. Результат вереи и при неизвестном и. Эти оценки при широких условиях являются состоятельными. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Глава ! 1,1. Паложнть Х, = 1, если У, ~ ~Р, н Х, = О, если (т, .л Р, где ст„ — последоввтельность (!.5). 1.3. Отрезок [О, 1! рвзбнть нв М отрезков бь Ьт, ..., Лл, где А = [О, Р~! Й = [Р~ + ...
+ Р~ ь Р~ + ... + Р4 1 = 2, 3, , М; положить Хз = 1, если 1Г« гм Ль 1 = 1, ..., У, где СГ, — паследаввтельнасть (!.5). Числа Хь ..., Х, образуют ревлнзвпню л первых испытаний полиномнвльной схемы с унвзвннымн в задаче вероятностями всходов. 1А. Полажнть зс=о, а =3, ~+Х„, л) 1, где Х,= ),еслн 1 ! У, ~ — , Х. = — 1, есле У„ ) — ,где (1„ — последоввтельнасть (!.5). 2 ' ' " 2 137 1.6. Положить Х. = — а!и(! — (/.), где (/. — последователь- вость (1.5).
1.8. Пусть б„..., $ — независимые случайные величины, имеюшие показательное распределение с параметром а. Тогда случайная аеличи. нз ч = 6» + ... + 6 имеет распределение Эрланга с параметра. ми (а, »и). 1.9. Положить ! (/и „,„, + (/и „„, + ... + и., — — б! 2 / Д»/12 где У, — последовательность (!.5). Удовлетворительное приближение к нормальному распределеяню получается уже прн й( = 12; это значение параметра И обычно н используют для вычислений. 1.12. Если 6», ..., $» — независимые бериуллиевские случайные величины с параметром р (см.
задачу 1.1), то д(б» + ... + 6») = = В!(й, р). 1.13. Прн больших л по теореме Муавра — Лапласа имеем Р~ ( !) он Ф(!) — Ф( — !) = 2Ф(!) — 1, д = 1 — р, / !о„— нр! илн Р( ~ —" — р ~~ ! "»(/ — ") си 2Ф(!) — 1. ч, Следовательно, чтобы выполнялось соотношение Р( ~ — — р ~ ( ~б„) "ву, надо положить б,=! )/ —, а 1=Ф ! рр» / 1+у'т 7п' = ~ 2/ ом и»ьх. При Т = 0,98 квантнль иош = 2,326 и для приведенных экспе- Ь 1 ! риментальных данных граница боов = О,О!83, а ~ — — ( = 0,0069, п 2( т.
е. согла ие с теорией хорошее. 1.14. Соглзсио предположению, понвление числа, не превосходище- го 4, можно рассматривать как «успехв а испытаниях Бернулли с ве- роятностью «успехаь р = 1/2. Поэтому (см. решение задачи 1.13) гра- ница а данном случае равна боло = 0,0116, а наблюдавшееся значение л 1 отклонения частоты «успеха» ~ — — — 1 = 0,0089 ( боэв Следовал 21 тельно, согласие экспериментальных данных с теорией хорошее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
