Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отсюда следует, что (Хь Хг) и (Ха — Хг, Хп -Хг,г' — — 1,...,л) независимы, следователыю, независи- (Х, Х ) и (5гг, 5г, 5гг). 1 б) Иэ предыдущего следует, что Е(Хг, Хг) = Й ~(рг, рг) — ~) л поэтому, положив в задаче 1.40 А = л Х ', получим требуемое утверждение, „г аг п,аг па г —, а1 в) Имеем 5~г = — (Угг + Уг), 5ы = — Уг г! Уг.
5г = — Уг и модуль л л л якобиапа указанного преобразования ггг г 1!) = а!гауз~ лг (агат)Т Огг По формуле (1.2) плоность совместпого распределения (Уг, Уг. Уг) равна 150 зр(рл рь уз) = — е 'рз е 'рз' е '/2з(2л Г(л — 2), з/2л т. е. представляет собой произведение плотностей распределений Ф(0, 1], у'(л — 2) и х'(л — 1) (здесь коэффициент преобразуется к нужному виду с помощью формулы Г (р) Г (р + — ! 2'» ' = з/я Г(2р)). 2) Таким образом, случайные величины Уз, Уз н Уз независимы и прн этом Е(уз) = й)(0, !), Ь(уз) = 2'(л — 2), Е(уз) = Х'(л — 1). Отсюда Ь(Т = Уз/Ч»уз/(л — 2)) = 5(л — 2).
Т И---, .— . ° -2. ° (УЗ) -- ° . — 2 .~. »» " з з З2Тл — 2у /л — 2 6(р) = 2» — 2( )-(! -У) Д (! — „2) ' , — ! ( !. (" "С".') !.60. Как следует из решения задачи ! 29, асимптотические распределения статистик 5' и А з одинаковы, следовательно (см. задачу 1.28), совместное распределение Х н 52 асимптотически нормально.
Отсюда и распределение любой их линейной комбинации асимптотн. чески нормально, поэтому достаточно вычислить среднее и дисперсию л разности Х вЂ” — 52. Используя решение задачи 1.27, находим л — ! Е(Х вЂ” " 5') = 0, О(Х вЂ” — 52 ! = РХ + ! ! 052 — — соч (Х 5') = л — ! ) Хл 1) и 1 Из 1 Х л — 3 Х !М 2Х + (нз нз) — — = л л(. л — 1 ) л л — ! Отек»да заключаем, что е(с,) й((0, 1).
Ио т, = с,х/х, откуда с уче. том указания получаем утверждение. 1.62. Эдесь Е($~) = й»(нь о~) и )2,(х) = ехр ! — ~~, 2 1 2 (х — и)1 1 1 ! Г(х — рз)' (х — !22) (р — !22) (р — !22) Озп» оз Далее, в результате простых вычислений приходим к указанному выражению для условной плотности (зцз(у(х). Еп' О 1.63. Пусть Е = ~~ — А Еси 12, )( — матрица указанного преоб- 151 г пл разования. Тогда ЦУН1, У!'!) = й)(Х~Р1з>), ХХХ) н в результате не- Ь/ посредственных вычислений имеем 1! Вн О 11 !!Хм Х„м 1!" ."'!! =!1 '";!! (в частности, это приводит к следующему равенству длл определителей: !Х! = ]Х~! ° !В!). Из структуры матрицы ХХь' следует, что Уп' и Усл некаррелнрованны, следовательно, н независимы.
Кроме того,. отсюда получаем, что ь(угз') = й((рз — Арпг, В). Но тогда Х (Х'и!Хн' = хп') = й (Усл + Ахп') = й((М (хп'), В). 1.64. По формуле полной вероятности вероятность указанного события Р (Ь = Ь) = ~ р ( — 5. !и (/, < 1) Р ( — (п и„, ~ д — 1)бг = а г=! гэ -! -г -э е +И=э е г, гх о (Ь 1) 1 Ь 1 1.6$. Так как Р (с(Г~ ( ((х)) = )(х)/г и Р (с(7~ ) ((а+ (Ь вЂ” о) (/т)) = $ ~1 — — ((а+(Ь вЂ” а)х))г]х = 1 е'т с = ! — 1/с(Ь вЂ” а), то плотность распределения случайной величины $ в точке х Е(а, Ь) вычисляетсл по формуле Ях) = /(х)2, (1 — ) = ((х). ! 1 .=а Глава 2 2,1.
Решение сформулированных задач сводится к вычислению средних, а также дисперсий указанных статистик и асимптотическому при л со анализу этих характеристик. Например, в задаче а) имеем Е„(х) = †" , где р„(х) — число элементов выборки Х = (Хо ..., Х,), р,(х] л принявших значение ~ х, т. е. ь(н.(х)) = ВАп, е(х]); отсюда ЕЕ„(х) = Ер„(х]/л = Е(х), 0Е„(х) = Т]р„(х)/»з = Е(х) (! — Е(х))/л-чб прн Л-ч оа, что означает иесмещеинасть и состоятельность Е„(х) как оценки Е(х). Рассмотрим задачу г).
Так как (см. задачу !.27) л — 1 /12, (л — 1)'/ л — 3 Е5' = — рт = рг + О~ — ), 05' = рг — — рт) = л 'Ь л/' л' и — ! /11 =О! — ! при р~( ь л/ 122 то 5' — состоятельная, но смещенная оценка рм чтобы устранить сме. л щеине, надо использовать статистику 5' — 5 , дисперсия котол — 1 ъл рой равна 1 — ) 05 = 01 — 1, т. е. 5' также состоятельная Чл — 1) т лс' оценка Н!. 2.2.
Согласно решению предыдущей задачи п. б, Т,(Х] ~а«У2 = а,чэ«)и! = и!, т.е. когда среднеквадратнческое отклонение и среднее равны. В частности, зто имеет место для распределений Г(а, 1), йг(а, а'), а ) О. 2лЕ Для случайной величины я = $! + йт выборочными данными являются (Ус = Лп + Ха, ! = 1, ..., л], а ее дисперсия 00 = 0з! + + 0зл+ 2соч (Е„й!).
На основании задачи 2.! п. г) несмещенной оценкой 0п является статистика л л л — 2, (Ус — У)' = Х, (Х,! — Хс]'+ — Х, (Хп — Х!)'+ ! ! ! с=! л + 2 Х (Хл Х,) (Ха Х,). и — 1. ! Первая и вторая суммы етого разложения являются иесмещеипымн оценками дисперсий 0$! и 0а! соответственно. Позтому 1 Е ~ (Х! — Х!)(Кл — Х!) = сот Яс, Е!), с ! что н требовалось установить. 2.0. Для произвольной статистики ЙХ] имеем Е«Т(Х] = «Е 1(«)02«(1 0]л — з«, («„... «,! «,=е, !. С !.,л л ~, 0'(1 — О]" ' 2'„Т(к).
з«, « Здесь правая часть представляет собой полипом от 0 степени не выше л. Следовательно, в данной модели несмещенные оценки можно строить лишь длп поликанов т(0) = ~„а«0' нри з(л, з=о 2.0. Вычислим первые двв момента статистики Т. Твк как Ес(г.) = 1 лО+а = Нс(л, О], то Е«Т = — (Е!«. + а) = = л+О '" = л+р ' 1 Е,Т' =-т-(0лг. + (Елг„)'+ 2аЕ«сл + а ) = (л + р] л(л — 1)О'+ (2а + 1]л0 + а' (л+ р]! 153 Отсюда Д(а, В; В) = Ейт — В)' = Е.Т' — 2ВЕ,Т+ В' = В'(Рз — л) + В(п — 2а(1) + аз (л+ р) В частности, Л(О, 0; В) = Рз~ — "г! = Т г„~ В(! -В) Т „Я , ДгХ вЂ”, «/»; В)— 'Хл) л ' Х 2 1 , — не зависит от В. 4Кл+ 1)' г +-!(л/2 Рассмотрии оценку Т' = " . Ее среднеквадратнчесная л+ ч/л г ! ошибка меньше ошибки несмещенной оценки Т» = — (т.
е. * и 4(хГл+ 1)' В(! — В) ) при ВЕ!х — ~ — — — — ~ ! длина этого интервала стре- Р ~~;~ !) /' мится к 0 при л-ь со. При остальных же значениях параметра В р(0,1) более точной является оценка Ть. Таким образом, по критерию средне- квадратической ошибки оценки Т' и Т» ие сравнимы, м чтобы выбрать какую.то нз ннх, необходимы дополнительные рассуждения. Напри. мер, можно принять правила считать ту оценку лучшей, для которой максимальное эначеане среднеквадратической ошибки меньше (лриичмл 1 1 ! мимимлкса) . Поскольку глах О(1 — В) = — и < —, соглаа 4 4(зГгл 4 1)' 4л ' сно принципу миннмакса оценка Т' лучше оценки Ть. 27.
Условие несмещенности Езу(Х) = т„(0), чгоб(0, !), принимает в данном случае вид ~; Т())С!О!(1 — О)'- = О(1-О)*. ~Об(О, 1). 1-о При любом Т выражение а левой части этого тождества представляет собой многочлен от 0 степени ие выше а, следовательно, укаэанное тождество может иметь место лишь прн г+ з ( й.
Далее непосред. огненно проверяем, что указанная в формулировке задачи статистика удовлетворяет условию несмещеиности. Покажем, наконец, что это единственная несмещенная оценка в данной задаче. Предположим, что Г(Х) — другая несмещенная оценка. Тогда статистика Т1(Х) = = Т(Х) — Т'(Х) удволетворяет тождеству а ~,Т~(11С!О'(1 — О)' '=О, 0(0(1 1= с или Хл Т~(1)С!х' = — О, 0(к ~ со, где х = .
Но из тождест. "$ 0 ! — В 1-о венного равенства нулю многочлена следует равенство нулю всех его коэффициентов, т. е. Т'(1) = ТЦ) для 1 = О, 1, ..., й. 2.0. Согласно свойству воспроизводимости биномнального распределения ьг(Т) = РУ(йл, В), поэтому Егтт(У) = ,~~~ 11(/) С! О'(! — О)»" а 154 При любой функции Н зто среднее представляет собой полипом от 0 степени ие выше йл, следовательно, несмешениые оценки вида Н(Т) в данной модели можно строить лишь для функций вида т(0) = Х,' а,0' при з < йл.
Пусть т,(0] = Ог, ! (йл, тогда, поскольку э Е47]! = (йл),0' (см. задачу 1.02), несмещенной оценкой для т(0] явля. ется статистика ту = (У],/(йл)ь То, что это единственная несмещенная оценка, являющаяся функцией от Т, устанавливается так же, как аналогичное утверждение и предыдущей задаче. 2.9. Первое утверждение следует из цепочки равенств ,0' !, О' Е4Х]! = Х, (й)!е ' —, = О! Х', е ', = 0'.
ь-о э-! (~ Чтобы убедиться в справедливости второго утверждения, запишем условие несмещеиности Еэу(Х) = т(О) ггг0 ~ О, в виде 0'+ ' 0' Х 7(й) д, = Х вЂ” ', Уй~О а-о ° -ог Ясно, что не существует не зависящей от 0 фунвции 7(гг], удовлетворяющей этому тождеству. 2.10. Условие несмешеннасти Е,Т(Х) = т(0) Ху 0 ) 0 принимает в данном случае вид 0' ... 0" Т(й] — = е"(1 — е ')' = еэ+ е ' — 2 = 2 Х,' — ~Ф О ~ О Единственная функция Т(й], удовлетворяющая этому тождсству, кисет внд 1'2 при й ) 0 четном, (О в остальных случаях. Такая несмещенная оценка Т(Х) практически бесполезна. 2.!1.
В данном случае условие несмещенности Т(й) С)эх ~0 (1 0)' 0 т/ 0 р (О, !) ь и можно переписать п виде т(а]с)+т-~0 = = дк' с(+г-~0 е! ээг ОР(0, !). «-о (! — О]' 1-о Из тождественного равенства двух степенных рядов следует рапенство соответствующих коэффициентов, поэтому единственной функцией Т(а), удовлетворяющей этому тождеству, является функция 7(й] = С;+ ),,УС!+ (,, а = О, 1, .... Отсюда следует, что единственной несмещенной оценкой в данной задаче ипляется статистика 0 прн Х»~5 — 1, 7(Х) = (Х)./(Х+г — 1). прн Х > з 155 Есвн г = 1, то эта статнстнка прнвямает лишь двэ значения 0 и 1, не прннадлежашке параметрнческому множеству моделн О = (О, 1), позто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
