Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. А(0) =1пВ, В(х) = х, С(0) = г!п(! — 0). Следовательио, (0) = — С'(О)/А '(В) = Огг(! — 0), т' = Х, 4)~ = — , т'(6) гО пА (6) и(! — 6) ' д'1п)(х; О) 2.49. В рассматриваемом случае — — з-' — = 2Дт; 0), откуда дВ ) )т(х; 6)ах = 21 — -~-= —. , (!+1) 3' Далее, т 7)зй = Ег(й — 8)'= ~ (х — 8)з)(х; 6)ах = ~ х'е *(! + е *) гдх = —.
3 Отсюда и 1 3 ЮзХ = — >— 3п лХВ) и ' 2,59. Утверждение следует из равенства 1Г20от дь о' а'Ьт -т а т г + т х От 6 а61 и критерия Бхаттачария. 2.01. Из задачи 2.21 следует, что Ет7" Вт, 7)т7 = „В'. 2(2хп + 3) Нижняя же граница Рао — Крамера для функции т(0) = В' равна (см. задачу 2.43) — 8, что меньше Р,Т', следовательно, Т' не явли- 4 < )л !07 ется эффективной оценкой т(0).
Оптимальность У следует из ра- венства 1 28з дЕ и критерия Бхаттачарня. 2.62. Оптимальность Лл(Лл+ 1) д0т ) Л(Лл+1) указанных оценок следует из равенств О~з д(п /. — — =х — Оь л 08~ Аналогично, наилучшей оценкой для дисперсии, учитывающей всю информацию, пвляетсн статистика 5' = — л(А., — «'). л — 1 Но лА„т = л~А~„',!з+ лтАп]т, где Астз — выборочный момент второго порядка 1-й выборки, 1 1,2.
Из формулы 51' = — '(А~',1э — Х/) л~ — 1 имеем л,А~',1з=(л~ — 1]5 +л~Х,'. Отсюда окончательно находим, что 5" = — ((п~ — 1)51' + (лт — 1)5!' + л ~ «) + лзХз — »Х']. л-1 При этом (см. задачу 2.!4) 28' Щ5'т) = — 6! ( т!п (3Ц5(т], йу~(5!з)) = л — ! щах(ль лт) — ! 2.64. 1) Пусть Л известно. Рассматриваемая модель нвлиется экспоненциальной, для которой (см, задачу 2.46) В(х) = к, А(В) = Л Л = — — з-, С(0) = —, где 0 = р. Следовательно, в данном случае эф- 20 ' 0' фективная оценка т Х. а соответствующая параметрическая фуяк' ° ! 1 р' цня т(0)=и.
При этом Пт'= — П« =, = —. Если Л нензл лА'(О) лЛ ' аестно, та, вычисляя !Вй 1 т Вз зОЕ О~т д'Ет 1 — — — — з-) = — 2', (х~ — х)' — 6! Е Лл — 1 08т л(л-1) 08~ / л — 1, и критерия Бхаттачария. Информационная матрица моделе У(Оь 03) вычислена в задаче 2.44., откуда получаем, что граница Рао — Крамера для функции т,(8) = О~ равна Отз/л, что совпадает с )ВзХ, т.е. Х— эффективная оценка т,(8). Для функции же тз(8)= О! зта граница равна 20,'/л, что меньше й)й5")=20)/(л — !) (см. решение задачи 2.14).
т, е. 5' не явлвется эффективной оценкой ш(8). 2.63. На основании предыдущей задачи наилучшей оценкой для среднего является выборочное среднее объединенной выборки, т. е. 1 статистика Х = — (л~«) + лт«т), где л = щ + ли прн этом л 2)ь« — з ( ш!п(ХЗьХь !уз«тз) =От/шах(ль лг). л а]пб Хл— — (х — р) аи и и применяя критерий Бхаттачарии, получаем утверждение. 2) В данном случае мы имеем зкспаненциальную модель с х ! О О ! В(х]= »-+ —,А(О)= — —, С(0)= — + — !п0, р х' 2' Н 2 где 0 = Х, и согласно решению задачи 2АО статистина т есть эффентивная оценка для т(0) = — +— ! 2 1» 2 Следовательно, искомая оценка имеет внд т — —, и 2.55.
При огсз ]рч согласна неравенству Рао — Крамера для ска. парных оценок Ро(с'Т) ) Ь'(0)Р„ '(8)Ь(0), где -, Х с ', !В(8]. дт,(8)» Таким образом, Ерш(Т]с .'> с'В'(6)ТТ '(6)В(0,'с илн с'[АКТ) — В'(8)Р, '(8)В(0])» » )О. Это н означает, чта матрица Ег,(у) — В'(8]ТТ»(0]В(8) является неотри. цательно определенной. 2.08. Если для т(О) существует эффективная оценка, то модель является зкспонепцизльной (задача 2.48). Следовательно, Цх; О) = ехр (А(0]Т(х] + лС(0) + 2„»1(х]], Т(х) ~', В(х»), 1 » ! н согласно критерию факторизации ТО() — достаточная статистика.
2.07. Достаточность статистики Т, следует нз задач 2.58 и 2.46. Проверим ее полноту, т.е. покажем, что условию Еи()Т„) = О чГО ~ ~ (О, 1] удовлетворяет лишь функция »р, для которой »р((] 0,1 О, 1,..., гл. На основании свойства воспроизводимости й ХТ.) = В!(Ьл, О), поэтому Ео»р(Т ) = ~', »р(1)С» 0»(! 0)»л-» »-о и условие полноты эквивалентно условию Яо 0 2, Ч((]С).х»=О»о»х) О, к=в » о ! — 8' Но из тождественного равенства нулю миогочлена следует равенство нулю нсех его коэффициентов, что и требовалось установить. Из пал- ноты статистика Т„следует, что в данном случае несмещенные оценки существуют лишь для такйх параметрических функций т(В), которые имеют вид ЕзН(Т,), т. е.
представляют собой полни«мы от 0 степени не выше й«. В частности несмещенной (а следовательно, и оптималь. ной) оценкой степени 0 при 1» Д«является статистика (Т,)!/(6«), (см. задачу 1.52), а нз линейности свойства оптимальности следует, что несмещенная оптимальная оценка полинома т(0] = 2; «6' при г ( р=а (» й« имеет указанный в формулировке задачи вид. Этот результат обобщает н усиливает результаты задач 2.5, 2.7 и 2.8. 2.56.
](остаточность статистики Т„ следует нз результатов задач 2.56 и 2АВ. Имеем, хч(Т,) = П(«0) и поэтому условие полноты эквн- («6)" валентно условию 2; 6(й) — = О зс/О ) О. Но нз тождественного э а равенства нулю степенного ряда следует равенство нулю всех его коэффициентов. Таким образом, этому условию удовлетворяет лишь функции 9, для которой 6(й) = О, й = О, 1, 2, .... Это означает пвиоту статистики Т,. Из задачи 2.9 следует, что оптимальной несмещенной оценкой для 6! является статистика (Т,),/«', отсюда, учитывая линейность свойства оптимальности, получаем последнее утверждение задачи. 2.59. Из предыдущей задачи имеем, что для функции т(0) = = 2', (В(г — 1]]'/]1 оптимальная оценка имеет вид ~-о " (Т.]/ -!]! 64+1 пля функции «г(0] = 2,'( — 1]! —. — следующий внд: г-э а11! '= Х(- у — Т, = — '-.Х(-!р —,.— = (Т.]ьг! (Т„], '- (Т.
й]! йы!1« ' а!«г «11 т.-в =Сг ((- — ) для функции т,(В) = '~ пэ(6) — эта оценка такова; 2, Сг ~1 — — ) -э при Т ~г, ь- ° ~ О при Т,<г. 2.60. 1) В данном случае ](х; 0)=ехр(А(0]В(х)+ С(0)+(](х)) прн А(В)=!пВ, В(х)=х, С(6)= -!«](В), 1](х) 1па(х), н утверждение непосредственно следует нз результата задачи 2АВ. 2] Из вида функции правдоподобия ((х; В) = В "661 "(О) П а(х~) ! 1 на основании критерия факторизации следует достаточность Т.. Чтобы найти распределение Т„, заметим, что ее производнщая функция равна (см. указание» !70 Еээ " = >т"(э; О) = )'(эо)/)'(0). Выделяя в правой части коэффициент при э', получаем указанный результат.
Пусть теперь о(1) — произвольная функция, заданная иа множестве (л1, л1+ 1, ...), и такая, что еир(т,)=0 л/Ощ В, т, е. ~ Ч(1)Ь,(1)0' = 0 Ээ>0 >и 9. ! ! Отсюда следует, что ч(1) =0 для всех 1, для которых Ь.(!) чь О, т.е. 6(1)=0 иа множестве всех возможных зиачсиий статистики Т„. Таким образом, Т„ — полная достаточная статистика, 3) На освоваиии препыдущего пункта достаточна проверить, что Е т, =О'. Имеем Ет.'= ~ " рйу„=()= у'.
Ь„(1 — )О'/)"(0)= ° Ь (1 — э) , ы+, Ь.(1) поскольку ~', Ь.(1)0' =!"(О). ! 4) Используя лилейность свойства оптимальности и результат п. 3, находим >- ! ~ Ь '(Т,) 2', о>ь.(Т,— 1) при Т,,лл!+г, т' = 2, а!т>' = ! 0 ярв Т,(л1+г, Накоиец, если Т„~ (л+ !)1, то отсюда в силу указания следует вид оценки )'. 2.6!. Рассматриваемая модель — частный случай модели предыдущей задачи (при )(О) = ее- !), поэтому т = Ь.(Т вЂ” !)/Ь.(Т), где Ь„(Ь) = сое)э(еэ — !)" = 2', ( — !)" 'С.'гэ/Ф! = Ь*О'/Д! -э при д ~ л и Ь.[д)= 0 при д ( л. Отсюда следует сформулироааииый результат.
2.62. Полагая в задаче 2.60 ((О) =(! — 0) ' и учитывая разложение )"(О) =(! — 0) '"= 2„С,'ге»0' (см. задачу 2,! !), находим, ~-о (Т ), с>э+г.— * — !/с эег.— ! = ! э (т,+гл — !), 0 при Т„<з (это заачительиое усиление результата задачи 2.!!). Лалее, т>(0) = / '(0) и аналогично задаче 2.60 устанавливается, что ° г. г. (гл !) тг = Ь, 1(Т„)/Ь,(Т,) = С,!"„О+э 1/С,„'+ г 1 — — Г( ! 2.63. Из указаиия к задаче 2.45 следует, что функцию ((х; 0) можно представить в виде (7! и — 1 ((х; 8) = еар ( Л', О»5(х, а) + 1п р и~, 3 где О,'=)п —, 1 1, ..., Л( — 1.
Р| Ри Отсюда по критерию для и-параметрического экспоненциального семейства (пРи и = Го — Ц следУет, что Т = (Ть ..., Ти,), где Т, = = 2,' б(Хь а!) = та 1= 1, ..., Лг — 1, — миинмальиая полкан доствточ! ! иая статистика. Следовательно, в данпой модели иесмещекные оценки существуют лишь для таких параметрических функций, которые имеют вид Е,Н(Т). Но класс таких функций совпадает с классом полипомов от рь ..., Ри степени (а (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
