Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 35
Текст из файла (страница 35)
п. илн выборочных квантилей, так как плотность Т(х; 0) в точке 0 не днфференцк. руема. Тем не менее, справедлив следующий результат: Лс(6„) ! Л йГ(0, — уг, имеющий такой же внд, как н в задаче !.32. ' лу' 2.106. Найдем предельный закон распределения оценки Т„прн л -ь ео. Имеем Р,(Л(л(҄— 0) < х) = р„РДз)п(Х вЂ” 6) ( х) + (! — р„)Рг(т)л(ЬХ вЂ” О) ( х), где р Рй!Х!)~~) гр(з(~0 „))+ф( т(йй+ „)) !О О О' 11 прн )О! ~О, 166 Таням образом, при л оа йй /'(7. -0])- ~"' ", ]й( (О, Ьт) прн 0 =О. Отсюда П(1 О] ( ! прн !01)0 ]а 'нри 0=0, т. е.
еП(7; 0) ~ 1 прн !Ы ~1; строгое неравенство имеет место в точке 0 О, которая является, следовательно, точкой сверхэффективности. 2.107. Длн модели )7(О, 0) (см, решение задачи 2.100) (), = Х!,! м П<0„ = О(л '). Пля мойцтн Вейбулла„(см. Решения задач 2.102 и 1.37] при 0 ( и ( 1 о.м. п. О, = Хп]! н Пт0, = 0(л 'г'), т. е. в данном случае в зависимости от значения а дисперсии о. и.
п. может иметь сколь угодно высокий порядок малости. 2.108. Здесь (см, решение задачи 2.84) О, = Х и согласно инвариант. ности т,= Х '. Но (см. задачу !39]ййлХ) = П(лО), откуда РйХ=О) = = с "" ) О. Следовательно, с положительной вероятностью при любом л случайная величина Х принимает нулевой значение, и поэтому ста- тистика т„ не имеет конечных моментов, В то же время ее нсимптоти- ческая дисперсия равна (т'(0)Г/(и!(О)]=(0'л) ' ]см. задачу 2ИЗ).
2.109. Асимптотпчсская дисперсия о. м. п. т. не зависит от пара- метра 0 тогда и только тогда, когда функция т(О) удовлетворяет соот- ношению о](0)=(т'(О))'/((О) сонэ!. Отсюда и из задачи 2.43 следует, что для модели В!(И, 0) соответствующее уравнение имеет вид т'[0) = = г/т(О(! — О) . Решением его является функция т(О) = агсз!и т(0 (с точ. ! постыл до постоянного мпогкителя), для которой а,(0)= —. Аиало4а гично, для модели П(0) искомая функция есть решенно уравнения т'(О) = —, т. с.
т(0) =;(О и о](О) = —; для моделей й((р. 0') н Г(0, х) /О' ' ' 4' с имеем урапкецие т'(О) = —, т.е. т(0) = !п0. Таким образом, используя О' решение задачи 234, имеем следуюнгие, полсзиыс длн многих целей аппрокснмацииг 1 длн молслк Гн(!г, 0): Ес(агсз!п .]!В.) й/(агсэ!п т(0, — /г, К, = 4ал/' = Х/й; длн модели П(0): Ейт/0„)-Аг(э/О, — г], О„= Х; 1 х ' 4л)' длн модели Аг(р,Ог): У40т0,) Аг(!п0,— ). О,= ] — ~(Х,— н) ~ '2л ' " "л, для модели Г(0, Л]: Еййгй)-А!(!п0, — 1, О.
= Х/х. зл/ 2.! 1!. Из решении задачи 283 следует, что при заданном 0 = й (числе различных наблюдавшихся в выборке элементов) максимизация по А( ) й функции правдоподобна эквивалентна максимизации по М функции й(!г; Аг) = Сгь/У " илн, что эквивалентно, функции г — 1 а Рассмотрим разность Л/(М) = )(М + 1] — )(М) = ]п И+ 1 М+1 М вЂ” э+1 — л1п — = М М+ 1 (5 (М, й) — л]1п М Здесь Функция 5(М, й) монотонно убывает по М при й ~ 1.
Действительно, если ввести функцию р(х) = 1п (1 — — 1/(п ! 1 —— М+2) ( М+1/' 0 с х ~ М + 1, то неравенство 5(М,й) ) 5(М+ 1, й) будет эквивалентно неравенству а(й) ~ р(1), Функция же ф(х) монотонно убывает, так как неравенство ф'(х) ( 0 сводится к неравенству (И+1 — х)1п(1 — ) ) (И+2 — «]]п(1 — ), хт которое вытенает нз того, что фуннция ф(у) = (у — х) ]п(1 — — х], хт х у ) х, монотонно убывает (ф'(р) = 1п (1 — — г! + — ( О). Таким обц р разом, при заданных значениях л н й > 1 неравенства 5 (М, й) ( л < ~ 5 (М вЂ” 1, й) однозначно определяют целое число Мз = Ме(й, л). Прл этом Ц(М) ) 0 при М ~ Мо — 1, Ь)(Ме) ~ О. Ь!(М) ( О прн И ~ )Ме + !.
Это означает, что функция )(М] монотонно возрастает прн И т Ме н монотонно убывает при М,л Мм если 5(Ме, й] чь л. Если же 5 (Ме,й] = л, то )(Ме) = )(Ме + 1), а левее Ме и правее Ме + 1 значения )(М) ( !(Ме). Таким образом в любом случае гпзх )(В) = ) (Ие), что н требовалось установить. Пусть, наконец, х й = 1. Тогда л(1; М) = 1/М" ' н значение этого выражения достигает максимума прн М = 1.
Значение У = ц тогда н только тогда, когда выполняется уело. вие 5(ть и) ~ л (тан как 5(ц — 1, ч) = оо по определению функции 5), т!+ 1 которое можно переписать в виде ]п (П+ 1) ( л1п —. г] В указанных аснмптотических условиях приближенное решение для а получим из соотношения Я+~ — !и (1 — — а~1 = л1п = ш а. л / М Ч 1 — е -! Отсюда — = а(а), где а(а) =, или, обозначая а (!) фупкл а цню, обратную н а (а), имеем а га а Ч ~п/' Для произвольного значения гл вместо функции л(й; М) получаем функцию л (й; М) = Сх(Сь) ", мансимизация которой по М приводит к следующему результату: при и ) т о.м.п.
М определяется неравенствами 5 (У, ц) ( л ( 5 (м — 1, П), где 5 (М,й)=]п у!и при М)й)т, И+1 г И+1 М+! — й I М+! — гл 5„(й — 1, й) = оз; еслижез]=ш,то)у =т. !Вй 2.112. Если р, = й, то й) есть значение М, максимизирующее функцию правдоподобия Рх(рэ=й) = С',Сх'.",/Сх' = й(М). д(М) (М вЂ” )(М вЂ” т ) Здесь , откуда получаем, что неравенства д(М) «~ Х(М вЂ” 1) эквивалентны соответствующим неравенствам Г тпнз т мй ~ «тпяь Обозначим м, = !ь — э1, где ( ) означает целую часть. Тогда из предыдущего следует, что при М ( Ме функция Х(М) возпг, лгг растает, а при М ) Мэ убывает, если число — не целое, т.
е. в этом л тпяз случае Мэ — точка максимума. Если же Ме = —, то максимум д достигается в двух точ)гах: Мэ — 1 и Мэ. Таким образом, в любом случае значение оценни М совпадает с Мэ. В задаче 2.3б было найдено, что (при и = 2 и гп~ = пгз = гл) единственная несмещенная оценка для т(м) = !/м, являющаяся линейной функцией от иэ имеет вид мэ/тт. Оценка же максимального правдоподобия т = !/У и / сиз')- 3 т гпгз 2 т 1Х вЂ” 1 = — т(1 — — э-'), где е = — — 1' — 1, и является, таким образом, смещенной. 2.113. 1) Покажем сначала, что А — достаточная статистика и воспользуемся для этого критерием факторизации, т. е. убедимся в том, что для функцни правдоподобия Рэ(Х = «), к = (хь „., х„), хг = О, 1, ! = 1, ..., л, справедливо представление Ро(Х = «) = й(г(м О) Ь (х), г(, = Х„'х,.
По форнуле умножения вероятностей мо! жем записать Ро(Х = х) = Ро(Х~ =«~) Ро(Хэ = хе!Х~ = «~) .. Ро(Х„= хь!Х~ хь Хз = хт, ..., Х„- ~ = х„>) Палее имеем 0 — х~ —...— х! Ро(Хг=х,!Х~ =хи...,Х! ~ =х;,)= М вЂ” /+1 0 — х,— ...— х, !в при «,=0 М вЂ” !+! (О х, х,,) (М 0 /+ 1+ х,.(. +х,,)'-ч/(М /+1) Из этих формул находим Ро(Х = «) = 0*'(0 — х~)"'„, (Π— х~ — ... — х -~)*(М вЂ” 0) 'Х )С(М вЂ” 0 — (1 — х~))' **...(М вЂ” 0 — (и — 1 — х~ — ... — х, ~))' *'/(М)„.
Наконец, воспользовавшись формулой 1В9 где е! = О, 1, которая легко устанавливается, например, ипдукцией па», окончательно получим, что 0 !(М вЂ” 0)1(М вЂ” л)1 (Π— б,)! (М вЂ” 0 — и+о,)! М ! Убедимся теперь, что гт. — полная статистика. Для этога требуется доказать, чта если Еэр(Ы„) = О при О = О, 1, ..., М, то р(А) = О, й эм(О, 1, ..., щ!п(0, и)) при всех возможных О, т. е. при й = О, 1, ..., я. Поскольку ьа(б.) = М(0, М, л), предыдущее условие имеет вид ~ ~э..! м(Д) беэб ~ о/С"и = О, 0 = О, 1, ..., М.
е-о Полагая здесь последовательна 0 = О, Р = 1 и т. д., последовательна получаем ф (О) = О, р (1) = О и т. д. Пусть теперь т(О) — подлежащая оценнванию заданная функция параметра Р. Тогда оптимальная аненка для нее — это реше|ее уравнения несмешеииастн Елт(б„) = т (0), 0 = О, 1, ..., М. (ээ) На прн любой функцнн Т левая часгь здесь является мяогочлеиом от Р степени ~ л, поэтому, если т(0) не многочлен степени ~л, то уравнение (эк) решения не имеет, и, следовательно, для таких фукипнй несмещенных оценок ве существует.
Пусть, наконец, т(0) — указанный а формулировке многочлен. Проверим, что тч удовлетворяет уравнению ( ). Имеем Еот». = Х У (й) / (а; О, л) = э-э Здесь ~(а)г/(а! О, л) = Еп(б„), = (Р)(п)/(М), поэтому Елть = 'Я а! (0); = т (О) з;/ О. !-а Следовательно, тч кэк функция полной достаточной статистики являет. сн оптимальной оценкой т(0). 2) Функция т1(0) является многочленам первой степени, поэтому несмещенная оценка для нее всегда существует и имеет, очевидно, энд тг = Мг(./л. Функция т,(Р) = (М вЂ” Ц Р вЂ” (0)т является многочленом второй степени, поэтому длн нее несмещенная оценка существует, если объем выборки л ) 2. В этом случае из предыдущего находим, чта ту = = Д.(п — б.) (ЛГ)э/(л) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
