Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поэтому естественно рас- сматривать слишком большие значения статистики Л. как свядетельство в пользу альтернативы. Другими славами, если проверяется гипотеза Н» против альтернативы Нн то критнческую область разумно выбрать в ви- де [2, ) ! ). Поскольку Р (2, > / 1//») ш Ф ( — !,), прн выбранном уровне значимости о критическая гранина имеет вид — Ф (а) = Ф (! — а) = н~ 3 а м е ч а и н е.
Рассуждая аналогично, можно показать, что если «блнзкаа» альтернатива задаетсн условиями Н)м: Р (АВ) = Р(А) Р(В) + О (н ыт), р = ры! = ал ыт, а ~ О, то ь (2„1Н(м) -» Н(а, !) и, следовательно, при а .л 0 мощность построен- ного критерии удовлетворяет предельному соотношению (Р.(Н(м) - Ф (. + н.). г 97 АОБУ 360.82 442 3.29. Здесь (см. задачу 3.28) 2. = /х — — †/! — 3,86, а Х', = 2;" = 14,89. Так как Х»з.ы»», ~ = !0,8, то гипотеза о независимости признаков должна быть отвергнута (вероятность со.
вершить при этом ошибку меньше 1О '). В то же время данные опро- вергают и гипотезу Нь поскольку 2„( 0 (этот факт можно интерпрети- ровать, например, как отсутствие дискриминации а отношении женшин прн приеме в вуз). «276 3" 749.69 313 29,70. Следовательно, на основании полученных данных (см. реше. нне прелыдущей задачи) гипотеза Н» отклоняется. /(алее, так как Я, ) ~ Ф '(0,9999) 3,72, то (см.
решение задачи 3.28 п. 3)) данные под. тнерждают гипотезу Н~. Вероятность ошибки отклонить Н» в пользу Н> при этом меньше 10 3.31. Здесь речь идет о проверке гипотезы случайности //, [1, с. 133[. В данном случае число инверсий Т» = 0 и вероятность получить такое значение при гипотезе Н» равна (8 Ц ' 0,25 1О '. Следователь. но, при любом разумном уровне значимости гипотеза Н» отвергается. 3.32. Обозначим Т; = 6 [ Т, — /! л; тогда характерисл (л — !) 4 тическая фуннния агап = ех» ( — Н2 7 вЂ~ Ф (е 208 При (11 ( с ( о», и аа и любом д = 1, ..., л ехр (б!!йл 'г») — ! = б!!Лп *м — 181'й»л» + () (А'л»г»). Отсюда 31 — 1) 3!»( — ! 2 1 з Переходя к логарифмам и используя формулу *» (п(!+к) =к — — + 0(х'), к О, 2 получим 30 (л — 1) 30 (п Ееч ' = — -)-, ~' (г !)— 2х» л л 31 912 — --г Х(г — 1)(2» — 1) + — т Х(г — 1)'+ л 2п +~С(-:~)=- — 2" +С~-- ), откуда н следует утверждение.
3.39. Здесь статистика отношения правдоподобна 0,(1 — О») и при О, ) О» величина ) 1. Поэтому неравенство 1~ с 0»(1 — 0~) эквивалентно неравенству Тл~ !. Пусть и — заданнан вероятность ошибки первого рода. Определим целое число 1„ из условия » » и" — ~', С» 0»(1 — О»)»" (а( ~', С» 0»(1 — О»)»" =а'. (") » +» » Если здесь и = о», то искомый критерий является неракдомизированным и имеет вид Х». = (Т ) г ).
Так как Е»(Т) = В1(йл, 0) (см. задачу 1.39 п. 3), то вероятность ошибки первого рада этого критерия равна )У»(Х) 10») = Ра(Т)! ) = а' = а, а мощность таковаг )Р(Х».; 0») = Ре,[Т ) !.) = ~', С».ОР(1 — 0»)»" Если же в (») имеет место строгое неравенство (и ( а'), то критерий Ней»»ана — Пирсона яаляетсн рапдомизированным и задается критической функцией 209 при т)с + 1, <р.СТ) =, „при Т=- С, а' — а" о р т<с„- !. Его мощность )Р(<С'„О<) = Ео С(Т) = Ро(Т) С,+ !)+, „Ро(Т= С ) = СВОР (! — 0'," "' + (а — а")( — ') Ы( ') В этом случае (йрн а а'] можно также испольэовать нерандомизированные ианболсс мошные критерии х; „=(т .
с.! и х<„=(т ) с,+ !) с уровнями значил<ости соответственна а') а и а" ( а. 3.40. Прн л-ь <ю по теореме Лоусэвра — Лапласа Е<(Т) й((ало, йг<0(! — ОС), поэтому условие (*) для определенна критической границы С можно заменить приближенным условием РО(Т~С.)=ф( ' )=а Э(олой) — О,) Отсюда следует указанный вид критической области. Далее имеем т - Дло(М ( ! ) о"< .) о'ч( ;С)шло("с( 1: О(зт) йл Ое(! — О ) — . и'и- .)-..
О!' (! — О!" ) О!'э( ! — 0!"') ) (< <С,„' „-:-и.-:-чч)+ч >, что экниоолентно второму утперждсишо. 3.41. Критерий строится по той же схеме, что и в задаче 3.39. Здесь достаточная статистика нмсст вид Т = ~ Х, и при этот) ЕХТ) = П(ло), С(Х) = ( — ) е"'"' ш!. Для определения критической границы С при за- 'Х Оо) данной вероятности ошибки первого рода а имеем условие <л! при а = а' критерий имеет вид х„= (т > с,), а при а а: а' оп является рандомнзироавннымя его критическая функция <1,(Т) имеет токой я<с вид, как и в задаче 3.39 (с учетом обозначений, принятых в (о) ), В любом случае мощность вычисляетсн по формуле чо, (по )'" ш! (,Оо/ Если л-<- оэ, то Е<(Т) ЛС(ло, ло), и рассуждая как и прн решении задачи 3.40, имеем, что асимптотичсская форма критерия имеет вид 210 (Т) лоь — и,2!2202), а его мощность нри близкой альтерэатиэе О, = 0(М = == 02 + Р/зп, 0 ) О, удовлетворяет предельному соотношению 1'ин У,(0(м) = бг ( — + и,) .
— тО. 3.42. Наблюдаемая слу шйиая величина К имеет геометрическое распределение 4)2(0, 0) и статистнка отношения правдоподобия !(х) = го,тх ! — О, — — †.((лсдовэтельна, неравенство ! ) с зквноалентно нера'т 02) 1 — О.' ! венству Х) ! н для определения критической границы !=-! имсел! соотношение 22 = 02 = Ре.(Х ) 1,) = ~ Ой,1 — 02) = 02', откуда находим 1, = 2, Таким образом, в данном слу ше критерий 1!ейчаца — Пирсона имеет внд Х„=(Х.- 2) и его мощность 1 — 0 = !Р(0~) = Ре,(х 2) = ~ От(1 — 0~) = О!. 3.43.
Статистика отношения правдоподобия !(Х) = ( †/! Х / 023" (,О,/ /1 13 Х ехр(( — — — /! Т), Т = ~ Хь йэ(2Т/0) = 22(2л) (см. указание). ~ О. О, ! 1 Если 02 с Оь то неравенство ! ) с эквивалентно неравенству Т ) ! н для определения критической границы ! = ! при уровне она !имости о имеет соотношение и = Ре (Т ) ! ) = Рэ! 2Т/02 ) 2! /02) = Р(кт ) 2! /02). Отсюла 2! /02 =К! мг, и, следовательно, оптимальный критерий амеет 02 аид Х(„= ((Т) — 'х> .
2.). Его 22ощность равна 2 (Р(0~) = Ра, (Т ) —,' у(-..2 ) = Ре,(2Т/0~ .. Оол( — .2,,/0~) = 1 — Г2 ( — у! 2 ), где Гт.(!) — фу!2кц2~я распределения закона 32(222). Аналогично, ори 02) 0~ Оо оптимальный критерий имеет вид х(„= /(т ( — д.,т.~ и его мощность 2 (Р(О ) =- Г,„( — ',' 2„) . 3А4. В данном случае множество критических з!2ачс~шй наблюдения определяется нз условия 2 ! -1-(к — 1) которое эквивалентно условию (с — 1)к' — 2сх+ 2с — 1 щ О.
Если с =1, то неравенство выполняется нри х ) 1/2. Это озиачтет, что критерий Х(, = (Х )» 1/2) имеет уровень значимости 211 (г ах а = Ро (Х > — ) = — ) — з-- — — „— — агс!й —, 2) л )!+х 2 л 2 и его мощность ранна )т 1 г )(х 1 1 '(' )- 1 27 л ) 1+(» — 1) 2 2' Положив с = 2, получим нерааенстао (х' — 2)' < 1 или 1 < х < 3. Это означает, что критерий Х). =(1 < Х < 3) имеет уровень значимости 1 г )7» 1 а = Ро(1 » ~Х < 3) = — ) — 1-= — (агс!я3 — агс!я() н,)+х л и мощность г )(х 1 о('о о))= — ) - — о л ) 1+(х — 1) л 3.45.
Пусть Х =(Х„..., Х.) — аыборка нз распределения Цй). Если хотя бы одно )Х,! > а, то при гипотезе Но зто невозможное событие, и поэтому в данном случае Но следует отвергнуть. В остальных слу. чаях, т. е. при 7"„И = п)ах (Х,! < а, решение принимается иа основе ) <)<о анализа статистики отношения правдоподобия !(Х)=7)( ! е-»Нэ"у 1„=(у2 — а) р(- 1 7тп~, , „/2ла (2а)" л а 2а 7д)= Х Х,.
В даииои случае неравенство ! > с эквиаалентно нераеенству 7Р < ! и поэтому искомый критерий имеет аид Х), = (7п)> а) () (7~1 < а, 7т)) < !) = (7тп > а либо 771 < ! ), гдс прн уроане значимпсти а граница !. определнется из услопип а = Р(Х щ Х;. ! Н,) = Р(7тн < !. ! и.) = 1... 5 (л!.)"" о Г ( — + ! ) (2а)" (так как при гипотезе Н, событие (7т)) < а) достоаерно) . Для мощности этого критерия имеем, очеандно, оценку (р(ХВИ! Н)) > Р(7ти > а(Н,) = 1 — Р"()Х,( < а! Н,) = = ! — [! — гб)( — — — ')~". Следовательно, при любом значении а вероятность ошибки второго рода )) удоалетворяет неравенству ' Фихтенгольц Г.
Хй Курс дяфференцпального н интегрального исчисления М., 1960. Т. 3., с. 392. 0 ~ ~1 — 2Ф( — — )~". Если л со, то на основании иептралыюй предельной тсорсмы ЦТР(Но) — й((пр, пЬт), где р = Е(Х(1Но) = — „х'г)х =— 2а " 3 Ь = ()(Х((Но) = — 1 хог)х — нт = — и', Следовательно, для определения Г„можно использовать приближенное равенство а Ф Г вЂ” — ~( т)( †), откуда 3 /1 45 х' ла' 2а' » + и.:т( —. — 3 375 3.4б. Обозначим через Т, число положительных исходов в л испытаниях; татаа Тт(73 = В)(л, р) и при гипотезе Но событие (Т. ) 01 не. возможно.
Следовательно, в рассматриваемом случае критерий естест. венно задать а виде Х, = (Т. ) 01, т. е. при наблюдении Т = 0 принимаем гипотезу Но, а в остальных случаях — гипотезу Нь Тогда вероятности ошибок соответственно равны а = Р(Т„.л 0(Но) = О, 11 = Р(Т = 0)Н~) = 0.99". Для определения и имеем следующее условие: 0,99" ( 0,01, откуда и ) 454. 3.47. Здесь статистика отношения правдоподобия приводится к виду ((Х) = ехрт(-Т(0~ — Оо)Х вЂ” — т(0( — ОВ)). са 2ат позтому, если 0~ ) Оо, то критическое множество ХТ имеет вид Ху =1х ) Оо — — и.), а ч(л а мощность равна В'(0~) = Ро,(Х ) Оо — — и,) = Ф~ — (О~ — Оо)+ и ) ) а а //л Х/и В случае Оо ) 0~ а / ъгл ХТ.
= (х ~ <Оо + — и.), )РЩ = Ф (Х вЂ” (Оо — О~) + и ). )л'ча 3.46. Для определения л имеем два уравнения Ф(и,] = а, Ф ~ — (0~ — Оо) + и,) = 1 — 0, Т тЯ а откуда находим, что л* — минимальнос целое число, не меньшее чем а'(.. + ио)от(О, — О,)'. 213 349. Поскольку ь(Т(Не) = У(0, 1), й(т(Н~) = И(Д/и, 1), речь идет о различении двух простых гипотез о среднем нормального распреде- ления с единичной дисперсией по одному наблюдению над случайной величиной Т.
Из решения задачи 3.47 следует, что искомый критерий имеет вид Х1 = (Т ) — и,), прн этом р = Ф( — и„— Д/о). Отсюда, учнты. вая, что и, = Ф '(а), получаем уравнение для определения ш: — и — Д/а = Ф '(0) = иэ или о' = д'(и, + иэ) Разрешая последнее равенства относительно лг, окончательно находим, что гп* — минимальное целое число, не меньшее чем Дт гг (и, + иэ)/ [ —, — —;-(и + иэ)'~. 3.50. Пусть Нл 8 = 8„1 = 1,2, н Ое ) Оь Если Х = (Хь ..., Х.)— соответствующая выборка, то статистика отношения правдоподобия ,,Гг О, ~ -/2пйа и прн этом йг(т/От) = х'(л). В данном случае неравенство 1) с эквнва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
