Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В рассматриваемом случае Ео(ТД'~ = й/(О, ао/л), поэтому (см. задачи 3.80 и 3.85) критерий имеет вил Х(,' = (Х ~ )Оо — и а/ /л), его эффективность Пнтмена е~(О, а) = Ф (О/а + и.) и е( = а ', Анана. ла гнчна (см, залачу !.32) илгеем ео(Ф~) йг(О, — 11, откуда х(н = 2л /' = ( Х,,л ~ Оо — и,а ')/ — 1, ео(О, и) = Ф ( — )/ — + и.), ео = 2 = — т-. Следоаательно, Л = ет/е( = 2/л. ла 3.88. запишем функцию праадополобия л(х; 0) а анле Е(х; О) = ((2л)")~~() ыоехр( — — ОХх)~, 1 2 где квадратичная форма Оо(х) = (х — 01)'2, ''(х — 01) мажет быть раз- лажена а сумму 1!о(х) = Оо(х) — 201' 2' 'х + О~До(1). Замечая, что 1 — последний столбец (а значит, и последняя строка) матрицы 2,, т.
е, (0...01) 2, '= 1', нахалам !' Х', ' = (0...01). Отошла 1' ~, ''х = х. и, таким образом, Яо(х) = Оо(х) + Оог, — 20х„. Зто означает, чта !. (х! О) = 8 (Т(х); 0) й(х), где Т(х) = х., а 8 (Т; 8) = ! = ехр( ОТ вЂ” — О !.) . Отсюда согласно критерию факторизации сле- 2 дует, что Х, — достаточная статистика; и теи самым все статистические задачи в рассматриваемой модели нала решать, основываясь на этой статистике. Ио ео(х,) = йг(0!., 1.), следовательно, имеет место нормаль- ное распределение, у которога неизвестна среднее.
Таким образом, сфорооулированнан задача эквивалентна задаче проверки гипотез о неизвестном среднем олномернога нормальнага распределения па одно- му наблюдению, которан решена в задачах 3А7, 3.58 н 3.60. 224 Глава 4 4.1. Имеем (!) [хе*» / 2; г)! 2„' г(ОХ! — ~, г(агу!2 г!)зХ, г[егз!)3 зз г[о зз г['Х! — зз г(лгал~ г[оК,) 2„' г!' к„г)! — (д 4.2. Если ие все 1, одинаковы, то [) = Х вЂ” !рз, В = „' (!! — !)(Х,— Л)/ ~ (1,— !)'. 1 = — ! При этом Е[), = й» ! = 1, 2, ПпзтОМУ, ЕСЛИ ~:, (1, — !)' оз ПРИ Л-» оь, тО ОЦЕНКИ [)! СОСтОЯтЕЛЬНЫ. = ! 4.3, Имеем о! = 5(Р)/(а — 2), где 5([)) = ~ (Х; — Х) — [)з з~; (1, — 1)', [) = ())1, [)з) Указаны в пРедыдУщей задаче.
Если — ! зу5([)) = о(лз) прп и-» оз, то о' — состоятельнап оценка а'. В частности, длк нормальной модели Ц5(р)/оз) = д'(л — 2) ( [1), с. 193), поэтому !)5([)) = 2о'(л — 2) = о(и'). 4.4. Имеем сот ([)1, р!) = — оз!/ зэ (!! — 1)з. 1= ! 3 ! 3 1 4,6. Здесь ! = ~'„91, ! = ~, 91,, поэтому ЕТ= (Ь вЂ” а)' - (Ь вЂ” а) ! 1-! ! = !, О! = Хз', сот([)1, Р,]. !т 4.9. Доверительные интервалы находятся соответственно по формулам: 1) 5([))/К~~ гл ( о' ( 5(р)/К'~ л 6-190 у-доверительный эллипс имеет аид бз(Х) =(Рз(й! — ()!) + 2!(й! — ))!)(йз — ()з)+ — ~ Е(йз — нзз) ( ! л! — ! 2 ч.. — Гт.з, — з~, л(л — 2) где р„))з н 5(()) указаны а задачах 4.2 и 4 3.
4.10. Поскольку ~ х(!)з(Г = 2обз, речь фактически идет о довери— а тельном интервале длн р„указанном в предыдущей задаче. 4.11. Здесь теоретическая зависимость имеет внд аИ) = а(0)+ о!, поэтому доверительный эллипс строится по правилу, указанному в задаче 4.9. 4.14. Положив в (43 !) гл = 3, ь! =(!00), «ч = (О!0). лз = (001), получим, что искомая система имеет вид ((з, 'Ч вЂ” ', "ззз,ьз, ).з-, з !). 4.18. Обозначив через Хз, ..., Хз результаты укаэанных последа нательных измерений, получим, что в данном случае речь идет о следующей модели нормальной регрессии: Л! = 8!+ ез, Хз = рз+ ез, Хз = 8!+ йз+ ез, Х! = !80 — йз — 8!+ с!, Хз = ()з+ ез, Хз = Рз + ез, Хз = из+ (!! + ез, Хз = !80 — 8! — 8! + зз. 4.17.
Учитывая указание, имеем Е5())) = Е5(Р) — Е(Й вЂ” ВУА(() — Р). Здесь Е5((1] = Е 2 е,' = ла' (сз!. (4А)) и з з Е(() — Р)'А0) — 8) = Х,' а,!сот (()„()!) = а* '«» ача'! = а'!г (АА ') = з,! ! — ! = йа'. В результате получаел! Е5(()) = (л — й)а'. Далее, тзк как Х вЂ” Х')) = ВХ (см. (4.8) ) и В' = В, то 5(()) = Х'В'Х = Л"ВХ. 4.18. В данном случае матрица А = ХХ' явлиетсн диагональной, се диагональные элементы равны х,'го ! = 1, ..., !з, где г! — !-й столбец матрицы Х', поэтому )), = х',Х/г,'гь )3()! = аз/г,'гл соч (()ь (),) = О, ! ~ г.
4.21. Функция правдоподобна для модели (4.3) имеет (см. (4.4)) внд 1 ( (.(х; 8) = — з-чз-ехр1 — -; — з-5(х; 8)«, 0 = ((1, аз), (2яа )ч ! 2а и лзакснмизацпя ее по 8 эквивалентна минимизации квадратичной формы 5(х; 8); отсюда следует, что о,м.п. (й совпадает с о.н.к. О.м.о. а' — это то зизченне а', которое минимизирует 5(())/а'+ л!п а', откуда а' = 5(р)/и. Учитывая задачу 4.!7, кмсеи Еа — а =~ — — (/! аз = — — а'. и / л 226 4.22.
Решение следует нз (4.10) при »и = 1, У = Д', прн этом необходимо учесть, что Ех.. ! = !»»+„»», „! (см. задачу 1.50). 4.23. Полагая в предыдушей задаче ь = (1, !) и используя резуль. таты задач 4.2 — 4.4, получим искомый интервал: (Х+(1-!)() ~ 4.25. Положить в (4.1! ) Х, = х!», ! = 1, ..., и. 4.27.
В данном случае в (4.12) л» = 1 н ч 5г = гп!п ,'~ (Х! — Рзой — Р»)' = 5())) + (Р! — Рго)' Х (1 — !): в »=! кроме того, Е! «. !. ° -! = 1! (см. решение задачи 4.22). Отсюда следует, что Е-критерий (4.12) имеет указанный вид. 4.29. Здесь мы имеем модель нормальной регрессии с и = 3, Р = = (Нь рз, рь р,) и соответствуюшей квадратичной формой 5(Р) = 5(Х)! — р)! = 5.(Х!! — Х»о)'+ 2~„'(Хш — „,)', », 1 », 1 ! Хг*> = — '(Х!" + Х(!). 2 Отсюда о.н.к. р» = Хы, 1 = 1, ..., 4, пнп 5(р) = ,'~~~ (Х,"! — Хю)' — 5! и !.
а! = 5 74 При гипотезе Нь 5г = ш1п ~'„(Х('! — р)! = т!и!у (Хго — Х)! + л(Х вЂ” р)т1 = ь » (»,1 = 2„' (Хь! — Х)! = 5 + 2 2„' (Хго — Х)т, ! ! поэтому Е-критерий (4.!2) при »н = 3 имеет вид Х,. = (,'» (Хгн — Х)'75, ~ — Е..л,,). 4.37. Обозначив Я' 11!а)! матрицу размера и Х 2, составленную нз вектор-столбцов 1 = (1, ..., 1) и и = (а», ..., и,), получим решение в виде р = А 'ХС 'У, тле А = ЯС»Х' = Й, ')) С '111!!!1. При- 1' меняя далее обычные правила.
умножения блочных матриц (естраку на столбець, если матрицы.блони рассматривать как элементы), ! результат можно привести к виду рь 9», ()!) = — (м'СУ вЂ” 1'СУ) Ь где Ь=(1'С '1)(а'С 'и) — (1'С 'а)', а матрица 6= 6 '(а!'— в 1а')6 '. Матрица вторых моментов этих оценок имеет вид (7(аи) йз 4-! йт~ ~м'6 'а -а'С '1 ~ ~ 227 Глава 5 5.1. 1) В данном случае выборочное пространство Х = (О, 1) состоит из двух тачек и для каждого »ЕХ возможны лишь два решения, поэтому всего имеется четыре решаюгцие функции 6, = (6(0), 6(1)), ! = 1, 2, 3, 4гбг = (А, А). бг = (А, А), бг = (А, А), бг = (А, А) Пусть Я, = (Я(0„6,), Я(Ог, 6,)) — вектор риска процедуры б„где Я(0, 6,) = !.(8, б,(0))(1 — О)+ Е(О, 6,(1))0. Тогла для рассматриваемой ситуации / 1 25 / 2 45 Я, = 10, 2), Я, = !х-, -/1, Я, = ~-, -), Яг = (1, О).
=~3 3) =~ 3 3) Процелура бг предпочтительнее бг, а процедуры бг, бг, бг между собой несравнимы и, следователыю, образуют совокупность допустимых решающих правил; при этом т(бг) ( ш(бг) ( гл(бг), т. е. бг — миннмаксная процелура. 2) ре ш . н не 1, Для байесовских рисков г(6') = аЯ( ' ')+ + (1 — а)Я(Ог, 6) имеем следующие значения: г(6,) = 2(1 — а), г(бг) = 2 — и 1 = —, г(б,) = а. Отсюда находим, что если а < —, то пнп г(б,) = 3 2 ' ! 4 = г(6,), т.
е. здесь 6* = 60 если — ( и ( —, то пип г(б,) = г(бг), т. е. 2 5 ' 4 здесь 6* = бм наконец, б* = бг при а * —. Следовательно, график 5 ' байесовскаго риска имеет вид, изображенный на рис. 8. Р еще н ие 2. Вычислим апостериорное распределение я(Ог!х) = Д», 0)л(0)/Дх), х = О, 1, г = 1, 2, где в данною случае Дх; О) = 0'(!— — 0)' ", Дх) = ((»; Ог) л(Ог)+У(х; Ог) п(Ог) = 0((1 — О )' *сг+ О (1 — Ог)' '1(1 — а). Имеем и(Ог!0) = аг1 — Ог)/(10), п(0г!0) = (1 — а)(!в — Ог)/((0), л(Ог!1) = аОг/Д1), п(Ог!1) = (1 — п)Ог ДП . Для рассматриваемаго случая средняя потеря относительно этого апостернорного распределения при х = 0 для решения 6(0) = А равна Е(Ь(О, А)!О) = !(Ог, А)п(Ог10) + !40ь А)п(Ог!О) =— 3((0) 2п а для решсния 6(0) = А аиа равна —..
Сравкнвая эти потери, 3!(О) ' 1 получаем, что при а ш — потери для решения А меньше, т. е. бь(0) = = А, если же п ) —, та 6*(0) = А. диалогичный анализ для случая 2 ' наблгоденая х = ! лает, чта при а( 4 4 ( — 6'(1) = А, если же а) —, та 6*(1) = А. Тем самым получены значения байесовского решения 6*(х) 1 в каждой точке х = О, 1 при любом 1 1 априорном распределении. 5.2. Для априарнога распределед .! .й. Г л ния л(нг) = м, пш (О,!), искомые средние потери Е(Е(О,гт)(х), вычислеиРис.
8 ные по указанным формулам, приве. дены в следующей таблице. 328 А х=О х,=1 Сравнивая указанные значения для определения минимального в каждой строке (а тем самым и отыскание значения 6'(х)), получаем следую. 1, 1 7 Шие результаты: Ьь(0) = »!т при а < —, Ьь(0) = »тз прн — < о < —, 4' 4 10' 7 3 * 3 6*(0) = А при а) —; 6*(1) = А прн а < —, 6*(1) = А при — < 10 ' 4 ' 4 21 21 < а < —,, 6*(1) = А при и ) —. Тем самым искомые байесоаские -22 22 ' 1 решения Ьт = (6*(0), 6~(1)) имеют вид: Ь* =.
(А, А) при о < —; Ь 1 7 7 3 = (А, А) при — < а < —; 6' = (А, А) при — < а ~~ —; 6" = 4 10' 10 ~4' 3 21 21 = (А, А) при — < а < —; 6* = (А, А) прн и) —,. Далее, так 4 22' 22 кзк ! р(а) = г(бь) = ~ ((х)Е(ЦО, 6»(х))1к), »=о то, беря соответствующие значения Е(Л(0, 6»(х))!к) из таблицы, для функции р(а) получаем следующее представление: а при 0(а<1/4, (1+ 4о)/В при 1/4 < а < 7/10, р(а) = (4 — Ва)/4 при 7/ГО < а < 3/4 (! 1 — Гба)/В при 3/4 < а < 21/22, 4(1 — а) ори 21/22 <»» < 1 График этой функции приведен на рис. 9, 6.3.
Для приведенных в решении задачи 5.1 решающих функций векторы риска для первой ситуации имеют внд )7(П = (О, Ь), Ж" = / — а, †1 , Л(П = / — . †~ , Я('! = (а, 0), а для второй — следующий внд: 77('! = (О, Ь), !7Р = 1 — о, — ), »,4 ' 2/' )7(т! = ~~ ', Ь ), )7(э! = (, 0).
'х4' 2/' Отсюда заключаем, что в обоих случаях процедура 6» предпочтительнее Ьь следовательно, допустимыми яв. лаются процедуры Ьь 6з, 60 прн Рис. 9 229 этом длн тех значений а = л(Ог), прн которых соответствующее байесовское решение 6» = бг, соответствующие риски удовлетворяют неравенству г"г(6»)(г"!(6»). 5.4. В данном случае функция риска имеет вид з //(О, 6) = ~, 'ЦО, 6(Ь)) С,'0'(! — 0)'- ' л=е и векторы риска /7, = (//(Ог, 6), //(Ог, 6;)) для указанных процедур соответственно равны /Ог = (5,94 !О ', 0,792), /бг = (5,96 10 ', 0,972), /бг = (2 10; 0,999). Отсюда минимаксное решение б = бг и т(6) = = 0,792.
5.5. Здесь Дх; 0) = (1 — 0)0*, х = О, 1, 2, поэтому функция риска — ! //(О, 6) = ~; 6(0, Ц ))/(х! О) = 6(О, А) ~; Дх; В)+ »=О + 6(0, г/г) ~ )(х; 0) = 6(В, г/~)(! — О') + ЦО, г!г)0( к=! Вектор риска для г.й процедуры равен /7 = (/2(Ог 6), /7(Вг, б И = (а02 Ь(1 — 0~)). Здесь с ростом / первая координата убывает, а вторап возрастает, поэтому при аО, ( Ь(1 — Ог) макснмальньгй риск т(б) = Ь(1 — 02 и, следовательно, минимаксиая процедура 6 = бг. Если же аО, ) Ь(! — Ог), то, определив целое гг условиями абгг) Ь(! — Вгг), абгг ( Ь(1 — Огг ), /аО» г < /г, будем иметь лг(6,) = ! ' , ' Следовательно, в данном случае (Ь(! — ОЯ, ! > /г. б = 6, если аОг'(Ь(1 — Ого+'), и б = бм»г в противном случае. 5.7. В соответствии с общей теорией (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
