Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 40
Текст из файла (страница 40)
лентно неравенству Т < 1, поэтому при уровне значимости а критнче. сная граница 1 = 1, определяется из условия сс = Ре,(Т ~ (1,) = Ре~т/Оэт < 1,/Оаэ) = Р„(1,/Оет), где т„(1) — функция распределения закона хэ(л). Отсюда ! /8эе = х', и искомый критерий имеет внд хт. = (т < ОЫ.). Его мошность В'(0~) = Ре,(т < Ое~х~, ) = Ре,(т/О) < 1 — ~)~х~, / х 0~7 Аналогично находим, что прн Ое < 8~ критерий имеет вид ХТ. = (т - Оек) .
„.) и его мошность "= -"~®"-") 3.51. 1) Утвергкдение следует из соотношений а(г) = ~ цх)нх < — ~ П(х)дх =- — (1 — 11(с)), 1 1 0(г) = ~ П(х)нх < с ~ )е(х)сгх = с(1 — а(с)), ха(г) = х~(с). х 10 лай 2) Пусть с ~ 1, тогда, используя первое нз предыдуших соотношений, имеем 214 а(с) + 6(с) ( — (! — 6(с)) + 6(с) ( !. ! При с ( ! используем второе неравенство: а(с) + р(с) » (а(с) + с(! — а(с)) ( !. 3) Пусть с ) !. Тогда исходим из соотношения а(с) + Р(с) = ~ (с(х)сгх + ~ ),(х)сгх = ! — ~ (П(х) — (с(х))с)х.
х !с) Х )'с) К,сс) Очевидно, Х,(с) =Х|(!) и на л)ножестве Х|(!) функния )~(х) — Га(х) ~) ) О. Следовательно, $ ((()-).())" 5 ()(.)-)() ", Хис) х«О откуда и(с) + 6(с) ~) а(!) + Р(!). При с ( ! рассуждаем аналогично, исходя из соотношения а(с) + 6(с) = ! — ~ ((с(х) — (с(х))с(х. Х,!с) 4) Если верна гипотеза Н„ то на основании закона больших чисел Т.(Х) Е ~ )п ~ Нс )= 6, когда л ос.
Поэтому при 6 . О / П(Х,) )с(Х,) а, = Р(Т,(Х) -' О! Нс) (» РП Т,(Х) — 6! г !6! )Нс) -ь О, если л со, На основании симметрии (если поменять ролямн Нс и Н~) также н О. 2.62. В данном случае 6(х) =, ехр) — — (х — Рш)'А '(х — мс))~. с' = О, 1, ! Г ! (2н)'ссх))А ! и область Х,(с) = (х; П(х)/(а(х) ) с) имеет вид Х,(с) = (х: а'х — — а'(Р") + РГП) ( с, = — )пг), 2 А — ~(рсс) Рг~)) Для случайной величины 1' = а'6 — — а'(Р)с) + ра)) имеем 2 ЦУ)ГГ) Н(( !)ср р) Гдс р (Рн) МП)) А — ~(РГС) )СП)) 2' — так называемое расстояние Махаханобиса между распределениями йг(р)С), А) и ДГ(РГ'), А). Отсюда находим вероятности ошибок первого и лторога рода критерия Х,(с): а(с) = Р(У ( с>)Нс) = Ф( ' 4.
,р -) Р(с) = Р(У ) с, )Н,) = Ф(— с)+ р/2 ') ,Г; — l' Если задана вероятность ошибки первого рода а, то соответству. )ощий критерий Неймана — Пирсона задается критической областью Х|(с) при с| = рсс2 + -дри, и„= Ф '(и); при этом вероятность ошибки второго рода равна 6 = Ф( — 6)р — и.) Критерием, минимизирующим сумму вероятностей ошибок являет. Ся Х,(!) (СМ, ПрсдЫдущуш ЗадаЧу) И Эта СуММа рзана 2Ф( —;Гргс2).
3.53. Из решения задачи 3.39 следует, что рассматриааемая модель обладает монотонным отношением праводоподобня, поэтому получен- ный в задаче 3.39 критерий Нейчана — Парсона яаляется однозремен. но р. н. м. критерием данной задачи. З.Б5. Поскольку ьг(Т.) = О(г, О) — распределение экспоненцналь. ного типа с монотонно возрастающей функцией А(0) = (пО, р. и.
и. кри- терий я рассматриваемой задаче существует н задается крнтнческой областью вида (Т, ) 1) (см. и. 5 гл. 3). Па цегюральной предельной теа- / .О гВ реме йг(Т,) — ЛГГХ, — — э) прн г-ь ог, поэтому длн расчета критической границы 1 = 1. прн больших г можно воспользоваться соотношениями ° -ггг ьсг=~( (,'ь, — .)/ Хгг,'ь, ). откуда следует указанная формула для 1,, 3.57. В данном случае Рч (Т = х) = ((х; О) = СХ".ч-йг/См х = О, 1, ..., 8, поэтому функция 1(х)— Г(хг О+1) 8+1 Н вЂ” Π— л+х )(х 0) Н вЂ” О О+! — х моаотанно аозрастает по х.
Следовательно, а данной задаче р. н. м. критерий существует н имеет вид (Т ) !), т.е. гипотеза Нг отвергается, когда Т чрезмерно велико. 3.60. Рассмотрим класс критериев вида Хг = ~ — (» — Ог) < и,~ () ~ — (х — Ог) ) — и Гх(л - 1 Гх/л ! ° а где аг + лг = а, н рассмотрим также функцяю мощности !Р(Х~ ', 0) = Ог(х)лд/а + ич,) + Ф( — х(лд/и + ич,), Л = 0 — Ом Легко убедиться в том, что мощность минимальна при Л = Лг = = о(ич, — ичг)/(2т)л). Так как ЩХы; Ог) = а (т. е.
прн Л = О), то несмещенность имеет место лишь прн Лг = О, т. е, прн аг = пг = а/2. Таким образом, искомый критерий имеет анд Г тггл Х. =! — '- О.! = - 4 ! о Этот критерий является р, н. м. критерием среди всех несмещенных критериев. 3.61.
Здесь функция праадоподобня Цх; 0) = — -е ггмгг~, Т(х) = д„'(х, — р)', н 1 (,/2пО) 5~(х; О) = ' = ~ —. — — /!Цх; 0). дЦх; О) / Т(х) дй 'х Ог О/ Поэтому неравенство Цх; О,) г сЦх; Ог) + с,1,(х; Ог), определяющее наилучшую критическую область, имеет в данном случае внд [см. решение задачи 3.50) е'г ) с' -1- с;Т нлн (Т ( гг) () (Т ~ гг).
216 Итак, искомый нритерий имеет вид Х, =(Т ~ 1,)() (Т) 1,), где границы 1~ ( Ео определяются при задааном уровне значимости а двумя условиямиг йг(Оо) = а, йу'(Оо) = О, где йг(0) — функция мощнос- ти. Т!о (см. решение задачи 3.50) ВУ(0) = Ро(Х ш Х,) = Ро(Т ( Е,] + Р (Т ) Ео) = Г„(1, /О') + !— — Т,(Ео/О ), откуда имеем два уравнения Т.(1о/Оо) + ! — Т.(го/8[) = а, Е~й (1~/Во) = Еоа.(В/Оо), где 5.(1) = Т'„(1).
Полагая 1, = Водо,о, 1, = 8[2[ о, о, получим, что должны выполняться условия Хоч ой (Х,, л) = Х[ — оо, ой (Х[ — ч,, о), а~ + ао = оо Этими условиями Х'„, „и Х[ — оч о, а тем самым 1, и Ем однозначно определяются. Следовательно, искомый критерий имеет вид Х,. = (Т ~ 8[Х'.о „) (Е (Т ) Вох[-., ) и представляет собой объединение двух односторонних р, н, и, критериев задачи 3.59. Значения (Хо, „, Х[ „„ „) для а = 0,05 и и = 2, 5, !О, 20 см, в [Е, с. 86[. 3.62.
Схемы решения данной н предыдущей задачи аналогичны. Используя решение задачи 3.43 и введенные там обозначения, найдем, что критерий имеет вид Хе = (Т ( 1,) ()(Т ) Ео) и ега функция мощности равна 57(8) = го,(2(о/8) + ! — Го,(2Ь/8). Для определения границ Е, и 1о имеем два уравнения: ЕР(8о) = и, В, В, йг'(Оо) = О, которые при замене 1> = — Хо,,ам Ео = — Х[-оо ы при- нимают внд хо. э йо(хо,, то) = х[-котово (х[-,,эо) о~ + ао = а ОПРЕДЕЛИВ ОтСЮДа Х'„, Зо Н Х[ „,, о„, ПаЛУЧИМ, Чта ПРИ УРОВНЕ ЗваЧИ- мости со искомый критерий имеет внд Оо Во Х~ = [ЙХ ( — Х оолпнба ЛХ~) Х[ — аот~ ю и представляет собой объединение двух соответствующих односторонних р. и.
м. критериев для альтернатив НТ гВ ( Во и НР .'0 ) Оо, которые следует из задачи 3.43 н свойств экснонеициальнай модели. 3.63. В даиаом случае (см. решение задачи 3.39) функция правдоподобии 5(х; 8) = ЙСЕВо(! — 8)о ", поэтому о=~ д!п1.(х, 8) Т(х) — алО Л, Н(х, В) = дО 8(! — 0) Кране того (см. задачу 2.43), 1(0) = й/[0(! — 8)) поэтому искомый критерий (см. указание) имеет внд Хы = (! Т вЂ” йлОо)/ЧГйпОо(! — Оо) . - '— и м). 2!7 Мощность этого критерия при указанных альтернатиаак вычисляется так же, как и а задаче 3.40. 364.
В данном сну лае 1(х; О) = е 'Оп*г/(хг) .. х.(), Т(х) = 2„' х„ поэтолгу (/(х, 6) = (Т(х) — «О)/О, а г(0) = 1/О (см. задачу 2.43). Отсюда искомый критерий имеет внд Хг, = (17 — лба)тЯОа ~ — и гг). Его мощность вычисляется так же, как и н задаче 3.41. 3.65. Используя обозначении, авсдеиные при решении задачи 2.119, находим, что критическая область Хг лля сформулированных задач имеет следующий аид: 1) Х,.
= (х: х» 0„+ Г, . „,5(х)/Нд — 1; 2) Хг, -— — (х: х ( Ога — гг-,, г5(х)Яи — 1) (ср. с решениями для случая изнестной лисперсии — запани 3.47 и 3.58); — — !х — бм! 3) Хг = (х; л)л — 1 ~ )1,,) (ср. с результатом задач 3.60 и 3.73); 4) Хг = (х; п5г(х) > Огай! г)! 5) Хг = (х; л5г(х) ( Огад~. — г! (ср. с результатом задач 3.50 и 3.59); 6) Х,. = (х: л5'(х) ( 0!ау д , либо п5'(х) ) Оглу'. . .) (ср.
с результатом задач 3 61 и 3.74). Действитеаьно, рассмотрим, например, первую задачу (для остальных задач рассуждения аналогичны!. Используя для Ог нижний у-донерительпый интервал Сг(Х) = (Ог. Х вЂ” 1,, г5(Х)/э(а — ! щ 8г С оа), получаем, что область принятия гипотезы На с уровнем значимости а = = 1 — у имеет нид Ха, = (х: х — 1ь, г5(х)/э(л — 1 ( 8га). Ио Хг, = = Ха имеет аид, указанный а ответе задачи. 3.68. Используя у-доверительный интервал для отношения т, построенный в задаче 2.127, находим, что область принптня гипотезы Н, имеет а данном случае инд Отсюда искомый критерий задается критической областью х х Хы =[(х,у):=~» Г либо =) Г ), и его мощность 1Р(8) — Р— ~ Г +Р— ~ Г ) = Р, =- НтГ. э .; 2п, 2т) + 1 — Г(т/'...; 2п, 2т), т = —.
г 3.69. Обращая построенный н задаче 2.128 у-довер интервал, находим критическое множество для гипотезы Нм Хг = (х:хао (Оа либо хн! -' Оа — (1п о)/л! Так как И при!<0, '( "' ') [е-"н-аг при 1 ~ О. 2лй (см. решение задачи 2.128), то функция мощности этого критерия равна )Уг(0) = Рг(Х«1 ~ <Оо) + Рл(Хглг ~ >Оо — ()па)/и) = г 1, 8 ) Оо — (!пп)/л = ( ае"го о'1, Оо ~й 8 ( Оо — (!па)/л, ! — (! — а)е"! о'1, 0 ~ Оо. Отсюда следует, что В(8) ) гл нри всех 8.
3.70. Искомый критерий имеет вид хл, = (х: х1,,1 ~ Оооо" либо хг.г ) Оо), а ега функция мощности В'(0) =- Р,(ХМ1 ( Ооаы") + Рл(ХГ,1: Оо) = = ш1п(п( — )", 1) + 1 — ппп(( — )", 1) = 1, О ( Ооц'г", а( — /!", Ооа ж -С 0 < Оо, 1 — (1 — а)( — ')", О ) О,. л,О/ Отсюда следует, чта )Р(0) ) а Хогб. 3.71. Утверждение о выборе границ в несмешенном критерии следует из совпадения распределений соответствующих статистик.
3.72. Обрашая построенную в задаче 2.132 доверительную область, находим, что критерий имеет вид Хл. = !»: л(х, — Ош, хг — ОгоУХ '(хл — Оло, хг — Ого) ) К)-и г) 3.73. Здесь 6 = (О = (Оь О,); — оо ( Ол ( оа, Ог ) О) и (слг. ре. шение задачи 2.88) знрЦх; 0) = Цх; (х, з)) = (2лш') "Г', з' =- 5'(х). е Далее, Оо = (О = (О, О ): Ол = О~о, Ог -' О) и эцрЦх; О) = Цх; (Оло, зо)) = (2пего) Ил г где зо = — Х, (х, — Оло)г — о. м. п. дла Огг пРн гипотезе Но.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
