Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Далее имеем Г ч» 1 / ч|| ч,г Т "|1|| = ч .| [ — (ч .| + ч .г) — (ч|| + ч,г)~ = ч чч ~ ч, ч,г/' окончательно получаем лччч., / ч„чы;г чьчг. 'Ч чч ч,г/ 2) Заметим, что случайные величины ч|| и чм независимы по условию и Е(чи) = В1(лг, р) при некотором р гм (О, 1), 1 = 1, 2, если справедлива гипотеза Ог. При и|, лг -|. го по теореме Муавра — Лапласа Е(чч) и/(лр, лгрч), Е = 1 — р, нли й(чч/и) М(р, —, 1 = 1 ре '! л| /' Отсюда й( — '" — — ") - йг(О, "~~). Таким образом, при гипотезе Нг Сг,г, = 'х и| асимптотически нормальна й/(О л ре чьчг. и при гипотезе Нг имеем — '- р, следовательно, )/ — - 1.
Отш. г яр|) р и ч|.чг. сюда следует, что при гипотезе Нг предельные распределения случайных величин Х„и с„,„, совпадают, что и требовалось показать. Наконец, прл рассматриваемой альтернативе среднее значение раз. 202 ж~ чм ности — — — равно р~ — рэ ) О, следовательно, проверяя Нэ прел, лэ тио У/ь критическую обдасть разумно выбрать в виде (7„ ) (,) По. скольку Р[Е, ) ! !Но) яе Ф( — !.), при уровне значимости а критическая граница имеет вид !.
= — Ф '(а) = Ф '(! — а) = и~ 3 а м е ч а н и е. Так как при любий гипотезе, задаваемой вероятнпстял!и !гь рэ, при ль лэ г оэ та, рассуждая аналогично, можно показать, что для «близкой» альтернативы Н( э: (р~ — р,)/ /р,ц, = а/э/и, а Ф О, Ц7,! Н,( !) -е П(аэгГТ(! — у), !), у = Ищ —. и Этот результат позволяет вычислять мощность критерия при таких альтернативах.
3.24. Так как (см. задачу 1.54) /.(эч, .... чк!ч + ... + чэ = п) = М(п; р, ..., р ) и при р; = О,/ Х 0„! = 1, ..., М, то гипотеза Не эквивалентна в данном ! ! случае гипотезе о равновероятиости исходов в полиномиальной схеме. Следовательно, критерий согласия Кэ имеет вид и и 3 а и е ч а н и е. Обозначим через ч, 5 = — л,'(т! — «] выбо. э ! 2 речные среднее я дисперсию; тогда статистику Х', можно записать в виде Х-', = Нбэ/». При гипотезе Не теоретические среднее и дисперсия наблюдений равны, поэтому, если гипотеза Нэ верна, то 3'/с ч-и ! при л -ь оо или Х„ '-» У. э е 3,25.
!) Так как в данном случае совместная плотность распреде. ленин порядковых статистик Хоэ, ..., Хо! есть Ы(хь ., х,) = л(, О С х~ ( хэ ь... ( х„( 1, (см, задачу !.3!), то по формуле полной вероятности безусловное распределение вектора и = (кь ..., к.е~) имеет вид ги! ° ""' Р(к,=дю(=!,...,л+ !)= )Д(х,— х; ~)'Щхь... = Д,!...Л.„.,1,, гл! л! ...,х.)охь..дх„= ' ', )г(х, )охэ..
) Ц(», — х, ~)~айх. (здесь й, + ... + й ь< = т, хэ = О, х„+, = !), И!гтегрнруя последа. вательио па х„, х, > и т. д. н применяя формулу г!з! (г+з+!)! (х — и)'(! — х)*г(х = ' ' (! и)'е'~', 203 получим т!и! А!Дг,( Д вЂ” Да +Д ь!+1)! !г1!(йз+«+й +1+я 1)! Х (д„,+д„+й„„+2)! - (а,+й,+, А„„+.у т|н! = (с.",+.)-' (т + л)! С другой стороны, при й<+ .. +а.т, =т и произвольном рт(0, 1), д = 1 — р, РД; = й„г = 1, ..., и -1- 1) ! (ь' й"! !" г!+1!с~+-. +тт~=т) = РД, + .. + с,т~ = т) И ( 'е) =кь.г'.-«- ъ-:-,-;ь ° )=з( + .
) (см, задачу 1.39 и. Ь)). Таким образом, если справедлива гипотеза однородности На, то Е (н) = Е (ьь ..., 1.+1! Ь + ... + с. + ~ = т). 2) Вычислим Р (зэ(п, т) = д) = Р(2, 1(с, = 0).= й!у, + ... ф 1„., = т) = = Р(Х((Ь =О) = й,1, +, + !+, = )УР(2,+ +2„„ ! ! Чтобы найти числитель этого выражения, зафиксируем номера тех величин, которые принимают значение О Это можно сделать С."т, раэ.
личными способами. Тогда числитель можно записать в виде С~еР(Т,) О 1=1, ...,и+! — а$, =О,) =а+2 — А,...,н+ !)ЗС ХР(1~+- + $.+ = (Ь) О 1=!.-,и+1 — дц=о, ! = я+ 2 — й, ..., и+!) = С+~р' ~ЕР(6 + - + ~ч~ з = т) (см. указание 2). Здесь при г = 1, 2, ... Р 5, = г) = Р ($~ = г)/Р (ы ) 0) = — = р' 'д, Р т, е. а. (~,) = Е Я> + !).
Отсюда Е(~< + ... + с.) = Е 5< + ... + с. + з) и поэтому Р Я~ + ... + Э, = т) = Р (~~ + ... + С, = т — з) = С*„,р*р Окончательно можем записать, что = Сз„Сббь,УС2, Таким образом, Ь(за(л, т)) = Н(п + 1, и+ т, п). Используя формулы для моментов гипергеометрического распределения, получаем, что при гипотезе Нр 204 ) .) ) ) — ) ) )- е ) .) ) ) ; — — ) Если и, т — к оо так, чта т/л = р ) О, то Ехе (и, ги) = — + О (», )ээе(и, ги) = — з- + О (». !+а ' ' (1+ р) 3) Иэ решения предыдущего пункта следует формула для Р(хэ(и, ш) = Д), приведенная в указании. Пусть Л = (и +»р + 1т/ир)), 1!! < с ~ оз. 1огда ь (л) и + 1, р) = !+о(» 2лирд и — д = (ги — » р — — ~вру и поэтому чр Ь(и — Д)ги — 1,р) =, е ! + о(» 2ягирд наконец, л = (и + ги) р, следовательно, 1+ о(» и ) )е )) Объединяя эти оценки, получаем Р(зо(и, гл) = д) = е л)~+ми~'(1 + о(»).
2лтирл На это означает, чта если Л = — + к /ир Г(1+ р), !х! < с < оо, л+! т 3 то 1+р !+а(» .ы ). ) , ) - о — -и=„-~ге —.) ) т. е. имеет место локальная (а тем самым и интегральная) нормаль- ная предельная теорема. а+ ) Е[эе(и, )и) [Н)1 = ~ Р(к) ~ О[Н,). 1= ) Рассмотрим сначала слагаемые при ) = 2, ., л. Вероятность того, что при фиксированных К), а = х) ( Хк) = хт блок Вй пуст, равна [1 — р(хт) + р(х)))", поэтому по формуле полной вероятности ) и! Р(к) = О[Н,) = ' $)(х))[1 — р(х)) -)- () — 2) ! (л — )) ) + Р(к)))"х(-т(1 — к,)"-))Гх), Лля ) = 1 и 1 = и + 1 эти вероятности будут иными, но если их выражения разделить на л + 1, то в пределе онн дадут нулевой вклад в сумму и, следовательно, км можно не уделять внимания. Суммируя эти выражения, в результате получии 1 1 Е~ ' ~ Н)~ = ) ))(х))[1 — Р(хе) + 205 + Р (х>))" (! — хг + х~)" тг(хэ -1- е„, где г, ( 2/(и + 1).
Сделав заменУ псРеменпык х, = Р„х, = У~ + Уз/л, перепишем эту формулу в аиде ! (~ -гп е[ —" "', ~ В~= ", )лу, ~ (! — — "')" х Р(Р, + — /~ — Р(Р,) Ртт Х[1 — — ~ пуз+ в. Переходя здесь к пределу при л, т -г оч, гп = рл, и учитывая, что функции Р днфференцнруемв, получим (пп Е[ ' (>1>~ = ! ! =)г(у~~а "' ' 'т(уз= ~ з ! + Р((х) Теперь (см. указание) ! 1 = ~$ д~(х) Хг(х)г(х) ( !)(1 + р/(х))г(х~ о а ! + Р) (х) г(х =(1+ Р)~ так как )/(х)г(х = 1. Знвн равенства имеет место лишь в том случае. а когДа фУнкции Х<(х) и Яг(х) пРопоРциональны. В данном слУчае это означает, что 1 + Р((х) = сопз1, т. е.
/ (х) = сопеЕ Но так как ( (х)— функция плотности, то ! (х) = !. Таким образом, если справедлива альтернатива, то неравенства будет строгим и поэтому при альтернати. ве статистика зс(л, ш) аснмптотически стремится принимать большие значения, чем при гипотезе Нс. Следовательно, критическую область ддя гипотезы Ве разумно задавать а виде (зе(л, ш) ~ с). Пря уровне значимости и критическая граница асимптотнчески имеет аид 1г Р с = с.(») = 1+Р (!+Р) — ч(л — ~~ и,. 3.26.
Ииссм Хт = л (5 —" — 1) = 8,09 ( Ксэ э = 9,49, Гппоте. тлг за не отвергается. 3.28. 1) См. Решение задачи 3.23 п, !). 2) Пусть (Кь У~),, (Х„У.) — независимые наблюдения над Кь 3т) н Х = (Хп ..., Х,), У = (Уь, У.). Тогда выбора ~ные средние Х = — ч~ = — ', У= —, выборочные дисперсии и л 5,=5(Х)= — 2,Х,э — Л = — !1 — — '/ г ! . — г ч~ I гг и (ч а/ = — 52 = 5(У) готт. т з члч., и и 206 наконец, выборочная копариацпя 1 — чп т,ч, бгг 5,г = — ~ Хгу, — ХУ= — —— я л и л Отсюда (см.
решение задачи 1,38) р = Вгг/5~5г = лбггИтг.тг т,ццг = л Ы«2, Теоретический коэффициент корреляции Е(Его) — ЕрЕ~г Р(йг = 1, Ег = 1г г— Р(с~ = 1) Р(ьг = 1) р ./0;, 0~г /Р(сг = 1) Р (Ег / В) Р(Ег = 1) Р(Ег р а) Р(А В) — Р(А) Р(В) т/Р(А) Р(йз г Р(В) Р(В) Но Р (ЛВ) — Р(А) Р(В] = Р(В) ~ — (Р(В)+ Р(В)) — (Р(АВ)+ Р(Л(г1)~ = = Р(В) РЩ[Р(АВ)/Р(В) — Р(АЦ/Р Щ откуда следует второе представление длв р.
3) Рассмотрим случайную величину ,. = У. (Х, — Р(ЛЕ (У, — Р(В))/4 Р(Л) Р(А) Р(В) Р(О. ! ! Так как при гипотезе Ва Е (Х; — Р(Л)) (У; — Р(В)) = Е (Х, — Р(А)) Е(У, — Р(В)) = О, 0 (Х, — Р(А)) (У, — Р(ВВ = Е (Х, — Р(Л))'(У, — Р(В))' = =Е (Х, — Р(А)) Е (У, — Р(В))г = 0 Х 0 У, = Р(А) Р(А) Р(В) Р(111, то с. представляет собой пормиропшгиую сумму независимых одинаково распределенных случайных величин.
Следовательно, на основании цен~ральной предельной теоремы при л ао Е(т.) й1(0, И. Теперь, так как ~ (Х, — Х) (У вЂ” У) = ~ (Хг — Р(А)) (У, — Р(В))— — л (Х вЂ” Р(А)) (У вЂ” Р(В)), то на основании и. 2 задачи но>кем записать Х. в виле л'" ~, (Х, — Х)(У, — У) 2. = лыг5~г/(5г5г)— /Х(1 — Х) У(1 — 1') — — 1[ л"'(Х вЂ” Р(Л)) У вЂ” Р(В) ~ ~ Р(Л) Р(А) Р(В) Р(В) с« гФ(л) 1'(л) тср(В) Р(В)л ~ х(1 — х) РН вЂ” у) 1 По тсорече об асимптотической нормальности выборочных моментов прн гг со 'лХ РЛ Е(, (Л РД ) йг(О. 1), 207 Р Р а согласно закону больших чисел Х -ь Р(А), У -» Р(В) Следопательно, прн л са Р(А) Р(А) Р(В) Р(В) [ы' ['' Х(! — Х) У! — Р) .[ и' '(Х вЂ” Р(А)) (У вЂ” Р(В)), о, ы Р(А) Р(АВ Р(В) Р(В) н поэтому предельные распределения 2. и с«при гипотезе Н» совпа- дают. Итак, при гипотезе Н«имеем р = О, а при альтернативе //~ р ) 0 и, следовательно, 2«-ь+ чо прн л -ь оэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
