Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Записав, как и в предыдущед задаче, функцию прзвдоподо. бия в виде Ь(х; 0) = е(х»п — а(0)) е(Ь (О) — х»„у/(Ь (0) — а(8))", убеждаемся в достзточиасти статистики Т. Если п(О) Е Ь (8] ( при возрастании О, то (х»»» ~ и (8). хм. щ Ь(0)) чо(О < а '(х»»г. О» Ь '(х»„»]] чь(0 ~ Т»(х] = щ!п(а '(хе»),Ь»(х»„))], следовательно, функцию правдоподобия можно переписать е анде !. (х; 8) = е(Т, (х) — 0)/(Ь (0) — а(0))", Это означает, что в рассматриваемом случае существует одномерная достаточная статистика, именно статкстика Т,(Х) = щщ(а»(Х»»), Ь»(К»ч)). Аналогичио, если а(0](.
Ь(0) ( при возрастании О, то одномерная достаточная статистика существует и вмеет апд Тг(Х] = щах(а»(Х»»у, Ь»(Х»„»]]. Этими двумя случаями исчерпываются ситуации, когда в модели ]т (п(0), Ь(О)) существует одномерная достаточная статистика. В частности, длв модели (1( — О. О) статистика Тг(Х) = щах( — Х»,» Х»„»] = гпах (!Хщ(, !Хоп!). 2.82, Условие Ее»р(Х) =- 0»е» 0 можно записать а виде 0 8( — !) —; — — Т+ ХО(х)0*= — о или (см. указание к задаче 2.!!) в виде »р (О) + 2„[»р (х) + х»р (- 1)]0* ем О.
» Этому условию удовлетворяют функции и, дла которых и (О) = О. Р(х) = — хп( — !). х = 1, 2.... Единственной ограниченной фуикиией такого типа является функции ф[к) = О, к — 1,О, 1, .... Таким об. разом, Х вЂ” ограниченно полная достаточная статистииа, ис являю. шаяся полной. 2.83. Распределение выборочных дакиых р = (рь .... р.) сосрелоточено на множестве 1-»., векторов 1 = (1ь ...,1.) с целымн иеатрица.
тельными компоиеитамн, удовлетворяющими условиям 1~ + ... + 1, ( У, 1~ + 2(з + ... + л1, = и. Найдем функцию правдоподобия Р»(р = 1), 1~ Ь» Общее число воз. можиык исходов эксперимента равно У", число же поколов, совместимых с событием (!х = 1), можно подсчитать следующим образом. Зафиксируем сначала те й 1~ + . + 1, элементов совокупности (Г, которые булут представлены в выборке.
Это можно сделать С» раз. личными спосабамн. Для каждого такого подмножества элементов су. шествует одно и то же число способов формирования выборки из эле. ментов данного подмножества с заданным значением 1 статистики р н при условии, что все Л элементов лолжиы войти в выборку. Обозначим это число А (1; й, и). Тогда общее число благопринтных исходов равно См»4 (1; В, и) и согласно классическому определению вероятности Р.(р = 1) = 8(й; М) А (1: Е л), где первый множитель й(В; У) = С»»У " зависит от параметра У, а от выборочных данных зависит лишь через й = 1~ + ... + (.-совместимое с событием (р = 1) значение статистики ть а второй множитель А (1; Д, «) от параметра М не зависит.
Согласно критерию факторизации П вЂ” достаточная статистика для М. Лля доказательства полноты ц требуется проверить, что для всякой функции ф (В) из Е»4» (П) = = Охи'М следует, что !р(Д) = О для всех возможных значений ста. тистики и (прн всех У ) !). Распределение и имеет (слг. решение задачи 2.37) вид Р,(ч = ь) = й(»: У) ~', ( — !)' 'с!1", а се к(У) = ( 1, 2, ..., пцп (и. У)), а следовательно, надо проверить, что и(!) = п(2) = ..
= Р(п) = О. Если М = 1, то Енр(я) = гр (!) й (1; !) = и(!) = О. Если М = 2, то Етф(т!) = »р (!) Рз(т! = Ц + ер(2) Рт(т! =2) = п(2) й(2; 2) (2" — 2) = О, т. е. п(2) = О. Аналогично, полагая М = 3, находим, что условие Езм (я) = О вместе с уже установленными равенствами и (!) = м (2) = О означает, что гр(3) = О и т, д, Таким образом, последовательно проверяется, что ф(л) = О прн всех й »С и, т.
е. статистика я — полная. 2.64. Согласно критерию эффективности справедливо соотношение д (и 1. (х; 0) дО откуда следует, что О„удовлетворяет уравнению т(О) = т*. Чтобы доказать ее однозпачиость, вычислим вторую производную сй !п 1.
(х; 0) а (0)т (0) + (т» — т(0)) а'(О) м Так как в данном случае речь идет об экспанеициальной модели (см, решение задачи 246), то ()»т» = а(0)т'(О) ) О н поэтому 178 $ч..*г'и= дт(п й (х, О) 1 дй ! з=б. ляется локальным максимумам функции правдоподобия. Если бы было больше одного максимумаг то между последовательнымн максимума.
ми должен ивходитьсн минимум (т. е. в точках минимума, которые т д'1и ь также удовлетворяют уравнению т(8) = ть, должно быть — т-) 0), ди а тзк как минимумов нет, то не может быть более одного максимума. Отсюда и из задачи 2.48 получаем следующую таблицу значения О„ для некоторых моделей: Заесь Т1 = [ — Х; (Х; — р)з~, Тз = ~ — — 2,1п Х,1 1 1 2.85. Для распределения й/(О, о') точка 8 является теоретической медианой, поэтому выборочная медиана Т.
является в данном случае состоятельной оценкой О, распределение иоторой, согласив решению задачи 1.321 удовлетворяет асимптотическому соотношению ьз(Т,) ЛГ(0, — ), т. е. для нее ог(8] = яо /2. В данном саучае о.м.п. мо 'ь т т 2л /' нз О = х (см. решеяие предыдущей задачи) к ье(Ю.) = дг(0,— ). Отсюда еИ (Т;, 8) = о'/от(О] = — = 0,887,. Это означает, что при больших л я выборочное среднее Х лли выборки объема я' = 2а/н оценивает 0 с таКОй жЕ тОЧНОСтЬЮ, КаК И ВЫООРОЧиаа Мсаиаиа Хызтг+ о ВЫбОРКИ ОбЪЕ- ма л, независимо от значений 8 н о'.
2.86. В данном случае 1 с 1 й(»;8) = ехр( — —; У(»г — 0,]э~в ( ~2п0,) ( 20... ' ехр( — 20г (з + (х — О~)')~, (,~ Оз]" 28 где з = — 2,'(хг — х), х = — 2;х„позтомУ УРавнениЯ пРавдоподо. т л и ~=! д(п ь д)п й бия — = — = 0 имеют вид дй~ дбз х = Оп Озт = зз + (х — 8,)'. Они однозначно определяют решение 6=(х, з). Покажем, что в этой точке функция правдоподобия достигает максимума. Лля этого перепишем формулу для Цх; 8) в виде 1.(х; 8) = (2яез') мзехр(-лф(х; 8), (х — О,) 1 с э' х э где ф(х; О) = + — ( — !.
— 1) — 1п —, н будем минимизировать 201 2 ~Вс / Вт по О = (Ос, Вг) функцию 4(х; О). Используя легко устанавливаемую оценку (па~а — 1 счса)0, из котоРай пРи а=Ь' следУет также оценка )п ь и; (ь' — 1)/2 т/ь ) 0 (знак равенства имгет место лишь прв ь = 1), получаем, что ф(х; 0) ) О (знак равенства имеет место только в точке 0=(х. э)). следовательно, с.(х; 0]((2пег') "с' (знак равенства лишь при 9 =(х, э)).
Тем самым доказано, что о. м. и. Е, =(Ось, От,) сушест. вует, единственна н при этом В, =(К, 5). 2.87. Вид оценки т, следует нз задачи 2.86 н свойства ннэайиант- ности оценок максимального правдоподобия. При и-+ еа Цз(л(т— — т(О)))-ьУ(0, а.'(В)), где (см, задачу 2А4) а,(0) Ь'(0)/ '(6)Ь(о) = ( дО ) О! + ( до ) В!/2 д (О) ', д (О) С*,-а,с' ~1+ 2.88. Вид оценки В, указан в задаче 2.84. Используя этот результат, х/2Г(ф) можем записать, что В, = т1, где т) — несмещенная ацен- ,йГ( — ",) ка О, полученная в задаче 2.16. Отсюда имеем, что Еэо„= с,В, с„ з/2Г ( — ) Используя формулу Стнрлиига для гамма-функции -тсиГ ( — ) Г(г] ~2ллг* 'е *, г-ьсо, получим сз-ь! прн и-ьсо, таким образом, имеет место асимптотнческая несмещсннасть О,.
Далее имеем СусОх = ЕсО", — (Еес„)с = Вт(1 — сс) -ь О, и чо, откуда следует состоятельность бь Наконец, Аэ(х(и(0, — О)) — ь У(0, с '(О)) = У(0, 0'/2)(см. задачу 2.43) . Ли 1 Рассмотрим теперь оценку Т„= )/ — — 2,. !К, — ц) (см. задачу 2.15). 2 и, По центральной предельной теореме, используя решение задачи 2.15, сс — 2 г находим, что Ес(т.) У(О,— 0') при и-ьсо. Отсюда ее асимптоти2и ческая эффективность еН(Тш О) = — / — 0' = — = 0,88... 2.86.
Здесь функция правдоподобия 1 с ! Е(х; В) = — — „~~-ехр 1 — — 2', (х, — О)') (4но)" ! 40, и уравнение правдоподобия имеет вид О' + 20 — т„ = О, т„ = 1 у'. хт. ис ! 280 Это уравнение имеет единственное положнтельнае решение О„= = )1+ ҄— 1, которое макснмнзнрует ь(х; 0).
По закону большнх чнсел Т. сходятся по вероятностн прн л-ь со к ЕеХ~ = 2)гХ~ + + (ЕэХ1)' = 20 + О', следовательно, О.— ~,"-чт! + ао+ о' — 1 = о. 2.90. В данном случае плотность распределения наблюдений 1 Г «'+у' рху 1 )(х; у; 0) = — ехр [ — — г- — ~-+ — т — г — — — !п(о'(1 — р')]~, 2п ! 2а(1-р) о(! — р) 2 учитывая указание, можно записать в виде )(х, У; 9) = — ах Р [У>[хе + У') -1- дгхУ + т(9)), 1 где т(9) = — 1п [44[ — ага). Отсюда уравнення правдоподобна для на- 2 хождениЯ оценок 4> и Ог имеет следУющнй внд: — Х', (х, + у, ) =— э дт(9) 49, дд~ 44ут1 — у~' дт(9 ) л Ею»'= = — т — т доз 49~ — д~ ' 24~ 9, Но о = — — „— г-, р = — —, поэтому нз предыдуших уравненнй 49,— у,' 29, ' сразу получаем нскомые о.
м. п, о' = — ~', (Хз + Ут). р = 2 ~', Х~У~/ ~, '(ХЗ + )л). 2л ! ! ! ! г ! 2.9!. Лля данной модели плотность распределения имеет внд поэтому [пй = -л1п(2п) — — !п(1 — 0 ) — — -т(Тп — 2ВТм+ Тю) л г л 2 2(! — 0 ) где ! ", ! " 1 То= г х, Т~э= ахов Ттг 2 У Отсюда находим д!па ло л9 л — э.— -( — - гг-(Тн — 20Т~г+ Тм)+ — ~-Т~т н уравнение правдоподобия приводится к виду 0(! 0 ) + (! + В )Тм О(То + Ттг) = О. Это кубическое ураняение, имеющее трн корня, два нз которых могут быть номплекснымн. Еслн все трн корня действительны н принадлежат интервалу (- 1, 1), то в качестве б, выбирают тот нз ннх, который манснмязнрует функцию прзвдоподобня )..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
