Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 29
Текст из файла (страница 29)
му она практнческн бесполезна. 2.13. Так как АкХ) = ВГ(0, — 1, то ЕКХ<) Р<Х+ (Е<Х) = л)' = — + В, откуда н следует утверждение. г 2.14. для распределения йг(н, В') второй н четвертый центральные моменты соответственно равны рг = 0 н р< = — ~-6 = 36, позто. 41 < 2!2 му (см. решение задачи 2.1) Еобг = — 0'. Р<5' = г л — 1,, 2(л — !) < 0'. л л' Отсюда нмеем Вг т г "-"'="((' — "")- ) ='"' л ) лх 0' 2л — 1 + '= — О.
л л Еат* — 0) = Роте = — Ро(Х< — р) = = — В ° р< — но 2 л и л 1Ц5') = ( — л1 ~Ц5<) = — 0'. (л — 1) л — ! Такнм образом, ЕХЯг Ог)г ~ Роте ~ Р,(5"), т. е. согласно критерию минимума среднекэадратнческой ошнбкн статнстнка 5' точнее оцеянвает теоретнчесную дясперсню О', чем статистика те, но в классе несмещенных оценок то точнее, чем о". 2бб.
Так как ьо( — ) = йГ(0, !], та ТХ вЂ” н~ 0 е Ео!Х< — р! = 0 — — ) !х1е 'Т <(х = 0<(/ — ) хе <(х = От(/ —, )2п г< о и Ро!Х< — 1<! = Ео(Х< — р)' — (Ео!Х< — р!) = — В . л — 2 г л Отсюда Е,Т.(Х) = <(( — — ~„Н<!Х, — р! = Π— несмещенностгн а1 ° 2 л. л ! л — 2, /1< Р<Т„(Х) = — — Ро!Х, — р! = — 0' = 0( — ) — состоятельность. 2 л 2л чох 2.16. Из того, что А<(То<<От) = К'(л) = Г(2, — 11, н нз формулы 2) ' для моментов гамма-распределении следует, что Е<Т =02 Г( — )ТГГ( — ).
т. е. несмешенпость указанной оценки. 156 Чтобы сравнить оценку ну для 0 с оценкой Т., полученной в предыдущей задаче, надо вычислить Ртту Ее(ту)т-Оз. Имеем (здесь использована формула Г(х+ !) = хГ(х)), следовательно, Ршр = "й) = ( — ! — () 0'. Это выражение надо сравнить с Рту, = и — 2 0' (см, решение задачи 2.!0). При и = 1 обе статистики 2п (и их дисперсии) совпадают; Роту = ~ — — !угй = 0,273 В при и = /4 /и 15 = 2, а Р,Тз =( — — — 7! 0' 0,283 0', т, е, оценка ту точнее, чем Тх (,4 2г' l 1Х /3п (здесь учтено, что Г ! — ! = т!й, Г(!) = 1) .. аналогична, Рггу =! —— ~2) ~8 — !)О' кн 0,1780'< Р,Т, ж 0,190 О' при и = 3.
Доказательство того, что оценка ту при любом л точнее оценки Т., следует из результата, полученного а задаче 2.64. 2.18. Средненвадратнческая ошибка произвольной оценки Т» равна Ей Тх — Ог)' = Ей)(5м — Ог) + (Х вЂ” 1)бз)' = ХРе(5м) + (Х вЂ” 1) От = 4(Х)01 2ьт (см. решение задачи 2.14, где вычислено Рг(5' )), т(а) = л ! + + (Х вЂ” 1)'.
График функции Ч(Х) изображен па рнс. 7. Поскольку и — 3 ч(х) < ч(1) дли — < ь < 1, при втих значеиннх х и+1 ейт, — О!)' < ей5л — О!)е л — 3 и — ! Длн определенна й имеем условие и+! и+4 « — !. удовлетвориют лишь значении й = О, 1, 2, 3. Наконец, которому ппп Е(уг— )г!',)) 2 л 7 2 л! 7 Л = лн! л 3 лг! Рис. 7 157 — От)' = гр(Ль)0гз = — 03 и, следовательно, оптимальной по критеи+! рию минимума средиеквадратической ошибки явлиется оценка Тлг = = — 2, (Х, — Х)'.
л+! 2.19. Из решения задачи 135 имеем ЕеТх = ЛОз, Еа)чх = Л вЂ” Оь ,л+! < л †! , (л + Ц (л + 3) . . . (л + ! П + З)(а + 5) Отсюда мера 5 (О) = Ебт, — 04)' = Ебт, '— 4 Т101 + ОТ(Оз — 4 Т 0', + 03) = 0(Л)03, где , (а+ ц(л+3)(а+5) з (гг+ ц(л+3), л+ ! (л — ц' (а — ц' а ! — 4Л+ !. л — 1/ кЛ Уравггение гР'(Л) = 0 с помощью подстановки Л = — !Л ! + — /1 л+5 'л л/ приводится к виду хз 3 к 2 = 0 2л' 8а' а+ 3 ' ' (л+ Ц(л+ 3) Поскольку днскримипант )у. = рз+ 4*. ) О, зто уравнение имеет единственный действителыпай корень *.
— Лс: ч чь -:- 'с .: чз.. (формула Кордона), для которого при больших л справедливо аснмпто- 8 / ! тическое представление х. = — + О!Л вЂ” /1. — 3,Та У Таким образом, оценка, минимизирующая а классе статистик (Тг = Лз'т) меру б>(0), имеет в!гд Т' = (! + — "~15" л+5 Л л/ рассмотрим теперь вторую меру бз(0) .: — Еа! Т~ — От! = у(цбт где Л(Л) = Е ~ — Л.', — ! ~, Л(Л.'-,) = у'(гг — Ц. и†! если д, ~(г) — плотность распределения лт(л — Ц, то Л(Л) = $ ) — à — ! ) д.
~(Г)гтт = ~ (! — Г)». ДГ)ЛГ + Л ! Л о о + ~ ( ' г — цд.,(г)дг. ч — Г 158 Отсюда следует, что уравнение д'(Л) = 0 эквивалентно уравнению гй, !(!)!г! = ~ га„!(!)!(г, л — ! л которое определиет единственное значение !» = )Е а тем самым и оп. тимальиую оценку Тз . и — 1 2.20. Поскольку Еа(л5~/О~аз=к'(л — 1) = Г(2, — ).
из формулы 2 для моментов гамма.распределения имеем е»5» = — зтуеа ( — з-5») = зту2»г»Г( )/Г( — ), откуда следует иесмешенность указанной оценки. Прн л = 2 5 = 1 = — 1Х! — Кз! и поэтому 2 '»Г( — ) (, 2 ) Отсюда 2 — /и Еа!Х! — Ха! — О, = Оа ° /и 2,21. Утверждение непосредственно следует из того факта, что Еа(Т) = Г(0, лл), и формулы длн моментов гамма-распределения, 2.22.
Если Е,Щ = Г(О, 1), то Е!Д/0) = Г(1, 1) и по задаче 1.34 л — г+1 случайные величины У, = — — — (Хг,! — Х!,,!), г = 1, ..., и, иезави- 0 симы и Е!(У,) = Г(1, 1) для любого г. Отсюда (см. решение задачи 1.34) Х!и = 0 Е У,/(л — ! + 1) и поэтому ! ! л! Т=т(Х) = ~!чх >=О~ Уь Л = ~',За, а ! !-! + а Из этого представления сразу получаем, что Е»Т = О~,' Л,/(л — 1+ 1), О»Т = Оз,'Я Л!'/(л — ! + 1)а Условие весмешеаности эквивалентно условию 2, Л!/(и — !' + 1) = 1, прн погорим надо минимизировать выражение Е,Л!/(л — ! + 1)' ! ! Метод неопределенных множителей /)агранжа дает слелуюший резульл — !+1 тат: оптимальный выбор Л! таков: Л» =, ! = 1...., г Оконг чательпо получаем, что оптимальнав несмешениан оценка 0 имеет внд 159 О 1 ' л — г Т = — ~У,= — ~(л- +Ц(хаг-Хн ц)= — ~Х„>+ Хгц г г г Г в в в о' н ес дисперсия 0»Т' = — .
г 2.23. Из решения задачи 1.36 следует, что 2л+1 л+12 Б»Т = «Б,хин+ РР,Хп, = (а — + Р— )О, и+! л+1) 0,Т = ае0»Хг,! + Р»0»Хввв + 2айсоч(Хг„ь Хе,!) = лО' / е, Зай~ - ~в.е, „,в ( ° .вв: —.) Отсюда имеем, что оптимальными являются значения а и О, минкмизи. руюшие форму а' + Ре + 2ар/л при условии ашл + !]/(л + 1) + + р(л + 2)/(л + 1) = 1. Решение этой экстремальной задачи (например, методом неопределенных множителей Лагранжа) имеет вид 2(л+1) л+1 а» = бл+4 ' Оп+4' , 0» = —. Таким образом, оптимальной несмешенной оценкой 0 в рассматриваемом классе оценок является Т» = л+1 Ох = — -(Хсц+ 2Х!.в) и ес дисперсия 0,Т + 2.24.
Несмещевшость указанных оценок непосредственно следует из 0' л залачн 1.36. Лалее, 0»Тв — ( 0»Тв = — 0', т. е. оценка п(л+2) л+2 Тв точнее. Более того, 0,Тв 0 прн л -е. »», т. е. оценка Тв состонтельна. Оценка же Тг не обладает этим свойством. Действительно, тан как Рв(Хвв! ( !) = 1 — (1 — — ), 0 ( ! ( О, то О)' /Π— е О+ее Ре(1Т» — О! ( е) = Ре( — ч Хпв ~ — ) ~я+1 и+1) 2.26. Из формул задачи !.Зб непосредственно следует несмешснность указанных оценок и следующие выражения для их дисперсий: 1 (Ов — 0,)' 0»Тв = — (0»Хвц + 0»Хв„в + 2сот(Хвц, Х(.в))= 0»Те = ( — ! (0»Хев! + 0»Хе,в — Зсот(Хгвь Хв,!)) = / и+1 Хз — 1) 2(0» — Ов)' (л — Ц(п+2) ' При л — со этн дисперсии стремятся к нулю, т.е.
обе оценки состоятельны. 2.26. Из формул, приведенных в решении задачи !.37, непосредственно следует иеснешенность указанной оценки и тот факт, что 0,Т О при л — ео, т.е. ее состоятельность. 2.27. Б данном случае теоретическое среднее совпадает с О, поэтому результат следует нз решекия задачи 2.1 п. б). 160 2.28.
Согласно свойству среднего арифметического для распреде. лепна Коши Ео(Х) = К(0), т. е. распределение статистики Х не зависит от л и поэтому величина Ро((Х вЂ” О! > с) одна и та же для всех л. 2.29. Из задачи 1.52 следует. Еоу. = р, РоТ = — т[Еоч(ч — 1) + Ест. — (Еоч )') = — «О ! ЕА1-р ) » » при» со, что доказывает утверждение и. а).
Далее имеем /дс дн'т»! о, о Е«Н(Тс, ..., Тн) = 2, !/~ " ) 'Ь л ' "" » йс1.- й»1 Здесь прн любой функции Н праоая часть представляет собой много. член от рс, ..., рн степени с л, следовательно, иесмещеивые оценки в данном случае можно строить лишь для многочленов степеви ~ л от параметров рс, ..., рн. н н Наконец, если Н = — Х,снь то ЕоН = ~,'срс — — т(О), 0«Н л ! /А = — ~ л сйгс — т'(0))-«0 прн л- оо, т.е. Н вЂ” несмещенная и сос» т с тоятельная оценка т(0). 2.30.
Так как а, = аг(0) = ОсГ(Ог + !)/Г(Ос) Ос0« аг = аг(0) = = ОгГ(пг + 2)/Г(0г) = Огй,(йг + 1), откуда Ос = (аг — а! /ас, Ос = = а(/(ас — ас), то искомые оценки имеют внд Ос = (А.г — А.'с)/Я„с = 5г/Х, Ог Яг /(Я г Ягс) Хг/5г Зтн статистики представляют собой непрерывные функции от выборочных моментов, поэтому онн являются состоятельиымн оценками соответствующих параметров.
1 г ! г 2.31. Здесь ас(0) = Еоз = -(О, + Ог), аг(0) = Еой' = (0( + 2 + 0', + О, + Ог) и реп!синем уравнений а„(0) = А.», й = 1, 2, являются оценки с =с. Са:гс."с о,-г су-х, Для приведенных данных Ос = 2,!7 ..., О, = 3,67 .... 2.33. Если О»» йо, то условна несмещенности эквивалентны системе уравнений 'ЯТ(ЕЯс; О, л) = т[0), 0 = О, 1, -. Йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
