Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1.16. При больших н имеем Р~ в — !Х вЂ” а»! ( !) оы 2Ф(!) — 1 или Р(!Х« — а»! ( б) 2Ф( \ — 61 — 1 т р» В данном случае а, = 6, рв = 3, л = 4096 и правая часть приближен- ного равенства равна 0,998 при б = в! — "' ивово = 3,090 т/3/4096 = о = 0,0836... Наблюдавшееся значение !х — 6! = 0,1389 оказалось го- раздо больше этой границы, т. е. в данном случае в эксперименте на- блюдалось маловероятное событие. 138 1.17. В данном случае (см. предыдущее решение) а/ = 2, рг = = 5/6, 5 = -/5/(6 4096).3090 = 0,044.
Наблюдавшееся же значение 1х — 2! = 0,003 укладынается в эти границы, т. е. с позиций этой характеристики данные рассматриваемого эксперимента лучше согласуются с теорией. 1.19. Используя ез льтаты решения задач 1.13 н !.16, имеем б = ь/рг/лиэю = 11,9167/500 2,326 = 0359; наблюдавшееся же значение отклонения равно !х — и/! = !5,942 — 6! = 0,058, т. е, согласие с теорией хорошее.
1.24. Поскольку Е.(хо) = —" и Е(р.(хо)) = В/(и, ро), где ро = р„(хо) л = р(хо), прн л -ь оо па теореме Муавра — Лапласе имеем Р( " < х) Ф(г), Ро = ! — ро. / !г,(хо) — лдо з/лроео Отсюда Р(!Р(хо) — ро! ~ //т/л)-»Ф( ) — Ф( — — ) = т/Р»Ро /Роео =-(„'.)-' 1.25. Имеем 1 сот(р,(х/), р,(хг)) = —.~сот(н,(х/), б,(х/, хг) + н (х/)) = ! = — г(сот(н„(х/], д,(х/, хг]] + Он„(х~]) Здесь ОН„(х,) //г(х,)(! — Е(х,)) (см. решение задачи !.24.), а сач(р (х/), б (х/, хг)) = Х сот(Ч„С,). В силу независимости наблю. /,/ лений, при г чь / индикаторы ч/ и с, независимы и, следовательно, сат(ЧП Р/) = О. Далее получаем соо(Ч/ 9) = ЕЧФ вЂ” ЕЧ,ЕО Р(Ч, = С, = 1)— Р(Ч' = !)! (С' = !) = Р(Ч/ = 1)Р(С = !) = — Е(х )(р(хг) — Е(х,)), поскольку (Ч = С = !) — невозможное событие.
Отсюда сот(р.(х,), б„(. ь )) = — лр(х )(р(х,) — р(х,)). Обьеднняя эти формулы, приходим к требуемому результату. 1.26. Рассмотрим полную группу из /У событий В/ = (5 < х/), Е =(. <5<хо), ..., Е =(х <5<х„,) Е =(5> их вероятности соответственна равны и/. .., р». Тогда т„ очевидно, есть число реализаций событий Е/ в и независимых и однородных испытаниях, ! = 1, ..., Д/.
Следовательно, Е(у) = М(п; р/, ..., р»). Далее имеем — пр/рг = сот(»ь о,) = соо(!г.(х/), р.(х,) — р.(Х/)) = = сот(р.(х/], р.(хг)) — О!г,(х/). Отсюда сат(!г (х/), !г (хг)) = Р!г (х/) пр/рг = л]//(1 !г/ — /гг) = = лг"(х/) (! — Г(хг)), что эквивалентно результату, полученному в задаче (1.25). 139 127. Случайные величины Х!', ! = )...„л, при любом й независимы и имеют такое же распределение, как С», поэтому 1 " », 1 сот(А.», А,) = —, Х сот(Х!», Х,*) = — сот(1», э') = л з,! ! 1,, », 1 = — (Еэ'+» — Е) Е$') = — (а»+» — а»о,).
л л В частности, ВХ = 0А,! = — (аз — а!) = —. 1 из л л Прн исследовании выборочных центральных моментов можно считать, что а! = О, и, следовательно, и» = и». Учитывая это, имеем рз о — ! Е5' = ЕА,» — ЕА',! = рз — — = — рь л л Далее, (5')' = Азз — 2А'!А з + А'!, и непосредственные вычислении дают ЕА»з = — уЕ( Х Х» + Х Хз»Х»з) = -ч-(лр» + л(л — 1)рз) = л р, +(л — ! )р) л ЕА)!А з = — з-Е( Х Хз + Х ХзХз) Х Х» з= л ! ! !» ! ! ! ЕА',! = — з-Е( ХХ,'+ ХХХ) = -»Е(( ХХ!) + 2 ХХзХ»!) = р»+(л — 1)рз 2(л — !), р»+3(л — !)рзз л л Отсюда 1!5» Е(5»)з (Е5з)з р» — 8з 2(И» — 2рзз) р» — ЗН! л л л что эквивалентно приведенной в условии задачи формуле.
Наконец, сот(Х, 5»] = Е!Х5»), так как по прежнему можно считать, что о! = О. Записав 5' = — Х Х,' — — у ( Х Х,) = — у — ~„Х» — -и Х Х,Хз, л,„,' л ь, !',з л зм л получим Е(Х5') = — з — Е( Х Х) ( Х Х,') = — э — Е( Х ХР) = з — рз Для распределения М(р, о') моменты о! = р, рз = о', рз = О, р» = 140 ЕЯ = — а, [)5 и†! л ЕХ = р, = За', поэтому = — (л г-)-а', соч[Х, 5з) = О. Й(ч), чз, чз) = М(л; р), рз, рз), где Р) = е(х)). Рг = я[аз) — р(х)), рз = ! — Г(хз). Отсюда Р(р (х))» г, и (хз)~ з) — «'Р(ч) = щ, чз — /), где суммирование производитси по всем )л и /, удовлетворяющим условиям т ~ ~г, э» )и + )» »л.
Поскольку и! Р[ч) = щ, чз = ))= .. рурэрз щ Ц!(л — щ — ))! отсюда следует приведенная в формулировке эадачк формула. Если же х, ~ х„то событие (Хо) ~ х), Х),)» »хз! = (Х),)»» хз); формулу же для одномерной функции распределении можно получить, например, из предыдущего результата: г",(х)) = 1ип г",.(х), хз). «з 1.31. Пусть г = 2 (общий случай рассматривается аналогична) н точки х) ( хз заданы.
Событие (Х)з,)ш(х)) х) + бх)), Х)з,)ш(хз) хз+ + бхз)) осуществляется тогда н только тогда, когда й, — ! нз всех наблюдений меньше х), одно попадает в интервал (хь х) + бх)), Фз — й) — ! наблюдений — в интервал между х) + дх) и хз, одно наблюдение — в интервал (х„хз + дхП н остальные л — йз наблюдений больше ха + бхз. В силу независимости наблюдений, вероятность ука.
141 1.28. Рассмотрим г-мерные векторы 4, = (Х,"', ..., Х,"'), з = 1, ..., л. Оии независимы, одинаково распределены и Е(й)) = а, 0($)) = = [)соч(Х)"', Х[))[[[ = ~, (ф и ~ указаны в условии задачи). Следовательно, по центральной предельной теореме при л -«са имеем 6 ~ — [й) + ... + 6. — ла)) -и. Ж(О, Е) / ! 1 Остается заметить, что —.($) + „. + й.
— лм) = Я~Аль) — азп -., .)/А Азз, — аэ,). 1 29. Можно считать, чтоа, = Ей = О (см, решение задачи 1.27). положим ч. = ~~5,' — рз) 6 + 6., где $ = ))чА з — рз). 6 = †.)(лА') Поскольку при сделанных предположениях УА6.)- 6[[О, р) — рз) (см., например, решение задачи !.28), достаточно убедитьсн в том, что 6„-з О. Но Р([6.! ) а) ( -Е!6,! = — ЕА.', = — ОА.) = — -«О, ! /л з .~л рз е ' е " е " еугл что и требовалось показать.
Асимптотика моментов следует из задачи !.27. 1.39. СОбытия (Хп) з х), Х) ) (» хз) и ()з„(х)) ~ >г, р,(хз) з з! эквивалентны, поэтому г„(х), хз) = Р(р (х)) > г, р,(хз) ~ >э). Пусть сначала х) ( хз. Рассмотрим случайные величины ч, = р,(х)), чз р,(хз)— — р (х)) чз = л — р.(хз). Тогда (см. решение задачи !.26) ванного события при малых с(хг и г(хз с точностью до членов, имеющих более высокий порядок малости, равна С»' гр»' '(х,) (и — й, -1- 1)((лги Сйкн㻠— '(Р(х,)— — Р(х~))»' »' г(п — йз + 1))(хг)г(хз(1 — Р(хз))" разделка на с(хк(хз и устремляя з(хг и з(хз к нулю, получим указанную формулу для л»,»(хь хз).
!.32. Обозначим й~ = (лр~) ! = 1, 2, и пусть Пи = !Л~р, — С»)тгГп, ! = 1, 2. Совместная плотность распределения случайных величин Чы и тмз по формуле (1.2) равна (см. задачу !.31) ф (Уг, уг) = — 3», ~- г, », + ! (с р, + —, с», + — ') = А ~(п)А з(л)Аз(л), Уз з где А г(л)— лгр»'(р — р )Ы»' г(1 — )" лй1(йз -йз — 1)1(л- йз — 1)1 Аз(л) = ((с„+ — ')Е(сгч+ — '), ~/л ч(п ° -(-"( — )) (""® """) — -" ! — Р(сг.+ ' ( тГл~)» — », — ! Х 1-рз ! з.
° - --- - . ° "зч,ь,—,г — з з, зч -з», »з > гмлчг. Наконец, поскольку з Р(с» + у ) = Рг+ )(с») — + )(с»)-" — ' + о( — ), г = 1, 2, несложно получить, что .А.( ) - --'-~ — '-' — (з( „)у' — -' — "'У' ((С,,))(Ъ) + 2 ч Р(рз — Р~) ' Р— Р + (Ь)) = — — Х ачууа!!ач!! = !!ач!! (1 Р~)нз з 1 г — Р» — Рг 2 Учитывая, что [(Ср,)((С»,у-4рАри — р41 — рг) =(бег!аз!!) ', акончатель. по может записать, что 1 ( 1 ь,м —. (- —,х",,).
2п;(бе! !!оч!! т. е. в пределе имеем плотность двумерного нормальнога распределения с нулевыми средними значениями и матрицей вторых моментов !13,г!!. 1.33. Согласно решению задачи 1 31, совместная плотность распределения ХУ! н Хм ,+<! равна (при х~ ~ хз) 132 и! Е, .
„ ,(хь х,) = р' - '(х,)[р(хз) — 0(х,)['- )( Х[! — У(х»)['- '[(х,)[(х,). ПоскалькУ Якобиан пРеобРазованна йч = лг(х~), Рз = л[1 — Г(хз)) равен l(хь хт) = — лз[(х>)[(х»), по формуле (1.2) совместная плот~гость распределения случайных величин и„= лг(Хг,!) и н, = л[! — г(Х㻠— + ~!)[ имеет вид гР(рьу») = Х. —,~ (Р '(~'), Р-'(1 ~'))/)7(р- (~у) ( --"' ("-'- г" ' с — г (-в" ул+р»Х» — г-» р -> — ! л (' ц' (з — ц! если л -ь м», а г, з — фиксированы, Таким образом, и, и т)„следовательно, Х!,! и Хо,»и аснмптоти чески незааисимы; при этом Е(и.)-:- Г(1, г), ЦН„) ь Г(1, х).
!.34. Якобиан преобразования у~ = лхь уз = (л — !'ахэ — х~), у. = х. — х, ~ ранен 7(хь „х.) = л!. Отсюда по формуле (1.2), при- нимая но внимание указание, имеем, что совместная плотность райпре- деления аелнчнн Уь ..., У, есть ехр( — ач — ... — и,). Далее, Хгн = = ХУ,7(л — !+Ц, у 1 1 Р ЕКГМ = 4,', ЕУ» ОХГ»! = д',~ОУг ,л — (+! ' 1, (л — !+ц На среднее и дисперсия экспоненциального распределения Г (1, Ц разны 1, следовательно, окончателыю имеем 1 " 1 ЕХ >= Х вЂ”, Вхгм= д,' г гм!' ,„„„,! В частности, если л -ь »», та 1 ЕХгы = ,'Š—.= 1.
+ с + (Ц, ,,[ с = 0,5772... — кол»ганга Эйлера, пз Охм>= Х . = — + о(Ц, г,! б 1.33. Согласно решению задачи 1 31, совместная плотность распределения случайных величин Х<м н Хю есть «1 (й — ц!(! — й — ц!(л — !)! "' 0 ( х~ ( хз ( 1. Отсюда (сль (1.2)) совместная плотность распределения У> = Хи! и Уэ = Хю — Хо, имеет аид 143 л! (Ь вЂ” !)!(! — Ь вЂ” 1)!(л — 1)! "' дцу,>о,д,+у,< !. Теперь, чтобы получить плотность распределения Уг, достаточно вычислить интеграл г — у л! Е(уг, Уг) Уг = ( 1, 1,( +,) Уг (1 — Уг)" о О«дг «!. Аналогично, плотность распределения Хог равна г — т, л! Ег(уг, дг)г(уг = угг г(! — Уг)", О о Далее, так как среднее и дисперсия распределения а аЬ г" "~г;-ч г~г'г ' й Ь(л — Ь+ 1) гг, .
Ог,„=, гэ — «„г и+1 ' (л+1) (л+2) ' «дг«!. Р(а, Ь) равны 1 — Ь л+1 О Х (л -1- !)г(л + 2) Накопал, поскольку О(Хггг — Хсц) = ОХггг+ ОХш — 2соч (Хог. Хю), из этих формул получаем, что Р(Х, «х)=! — е х " г,. >а, а также Р(лгы(Хггг — а)/Ь «1) = 1 — е ', 1) О. Таким образом, случайная величина лы'(Хгц — а)ггЬ имеет распределение, не зависящее от объема выборки, именно распределение йг(0, а, 1). Отсюда 1Ъ ЕХггг = а+ ЬГ(1+ — )и а/ 144 Х Х Ь(л -1+ !) соч (Х,ц, Хпг) ( + 1) (л + 2) I й — ай 1.Зб. Заметив, что ь( — ) = У(О, 1), можно воспользоваться ~Ь- У' решением предыдущей задачи. В данном случае Хгц (Ь вЂ” а)Хгц+а, Хг,> = (Ь вЂ” а)Х(,!+ а, где Х(ц, Х(.г — экстремальные значения выборкл объема л из распределения )1(0, 1), совместная плотность распределения которых имеет вид Уг (хг, хг) = л(л — 1)(хг — хг)", О ~ хг «хг ~ 1.
1.Э7, Р(Ха!) х) = Р(Хг) х,! 1, ..., л) = (1 — У(хЦ' =е 1 ' х) а. Отсюда Охп,- Ь~Г~!+ — ') — Г ~1+ )~л- ~.. 1.33. Слагаемые в Г.(х,, к,) независимы н имеют такое же распре. деление, что и величина ч = е(х~ — 3~)е(«г — ст], поэтому ЕГ„(хь хг) = ЕЧ = Р(1! = !] = Р(3~ » к,, 3т ~ кг) Г(к,, кз], 1 1 ОГ„(хь хз] = — ОП = — (ЕП вЂ” (ЕЧ)'] = — Г(хь кг) (! — Е(хь хз)). л л л Отсюда согласно неравенству Чебышева Р(!Г.(хь кг) — Г(хь хг)! ) е) ~ — ОР„(хь кэ)-ь 0 прн л -ь оь. 1 2 Обозначим, далее, через Хг = (Хи, ..., Х.г], ) = 1, 2, Хь 5,' = 5'(Х!] соответствующие выборочные средине н дисперсии и через 5ы = й л ! ! = — ~ (Хл — Х~)(Хл — Хг) = — ~'„ХиХт — Х~Хг выборочную ковал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
