Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 30
Текст из файла (страница 30)
о-о Это треугольнан система, в которой диагональные коэффициенты ((О; Р, ») = Сй:е/Сй чь О. Следовательно, значения Т(0), Т(!), Т(йо) отсюда определяются однозначно. Для значений же т ) йо полагаем Т( ) = ~( ) — 3'. Т(й))(й;, ))/)1 — 3'.)(Д;, )~, о-о г о 6 — 190 1б! что возможно, так как ! — ~ ](й; т, и] чь О прн т ) йо. о о Далее, поскольку ~, 'йДй; О, л) =— 0я д (см.
формулу лля среднего гипергеометрнческого распределения Н(0. Ф, л) во введении к гл. (], длн случая т(0) = 0 функция Т имеет внд Т(й] й]У/п при й О, ], ..., йо н Т(т) ~т — — Я й/(й; т, л~~ /~ ! — ~', ((й; т, п)~ п о о о-о при т ) Ао. В частности, если положить Ао = и (контроль всей партии пс про. дусматривается), то несмещенной оценкой для числа 0 дефектных нз. // делий является статистика Т(!) = — й.
и 2.34. а) Поскольку (см. указание) Ет(и) = Р(и ш 5) п(и), из представления о(э,х) = э'т(п)х(и)/п(и) следует иесмешениость оценки Горвица — томпсона. Далее, так как «,' а(и)х(н) = д,'т(н)а(п)о(н), то условие несмешениостн такой оценки означает, что ~л(и]о(и]х(го) = 2„«(и) э/х ш ]5». Выбирая, в частности, в качестве «координатные векторы евклидова пространства )!", получим, что л(и,) а(и,) = ], г = ], .... М, Таким обри.
эом, оценка Горница — Томпсона является единственной линейной не. смещенной оценкой али Т(х). б) Тан как ео(5, «) = /„т(и)у(п)х(и)х(и)/п(и]л(п) + «,т(и)х~(п)/и (и) Ет(и)т(и) = Р(и ш 5, и а 5) = п(и, о), и Ф п, то 0«(5, х) = Ее'(5, «) — (Ес(5, «))' = 2, ' х(и)х(п) + п(и)п(п) -(- Т',хг(и]/л(п] — ~ ~',х(и))т, что эквивалентно указанной в формулировке задачи формуле. в) Несмешепность следует нэ представления Л(5, х) = «т(и) — — ~ — !) + х'(и) / ! л(и) т л(и) х(и)хш) / л(и, и) ) л(о, о] от л(и)п(п) 1б1 г) Указанные формулы являются прямым следствием представлений л(з) = 2„'т(и), л'(з) = 2', т(и',т(и) + 2',т(и).
2.33. а) Для любого фиксированного элемента и существуют л(М вЂ” !)„~ различных выборок, содержащих этот элемент, поэтому л л(и) = л(М' — 1], ~/(М), М Ь) Формула для О«следует нз обшей формулы для Ое(з, х) (см. и, б) предыдущей задачи), если учесть, что в данном случае л(л — 1)(М вЂ” 2) -т л(л-1) (М), М(М вЂ” 1) ' в) Несмещенность оз(з, «) следует нз представления 1 а'(з, «) = — 2, т(и)(«(и] — р)' — Х т(н)т(оП«(ч) — р)(«(о) — И). л л(л — 1) 2.33.
Вычислим сначала Ер,. Используя указание, имеем Ер, = = МЕс(л = МР(Е('= 1), где, согласно классическому определению вероятностн, Р4' = 1) = С((С«-,') (С;,,)"- /(С"„]" = С„'( >л ),(1 — гл ) Окончательно имеем Ер, = МС;( — ) (1 — — ) Отсюда следует, что среднее любой линейной статистнкн нмеет анд Е>= М ~ >,С!( — "М) (1- — „) 1 т.е. представляет собой многочлен от — степекн не выше л — 1. Это М означает, что несмешенные оценки в классе Ъ могут существовать лишь ь для параметрических функций вида т(М)= 2', с,/Л» прн й(л — 1.
! Пусть т(Л>) — такая произвольная функция. Тогда условие несмещенностн означает, что ~>,С„(М) (1 М) = Ч с,/М>+, Х/М» Отсюда следует, что коэффнцненты >, искомой оценки однозначна определяются через козффнциеиты сг То, что 1, имеют указанный в формулировке задачи внд, можно проверить непосредственно, учн. тывая (см. задачу 1.52 п. б) формулу 2, (г),С'„( — ) (! — — ) = (л)>( — ), > = 1, 2,... 2.37. Найдем сначала рвспределенне случайной веанчины Обозначим через А~ событие, состоящее в том, что >-й элемент не 163 наблюдался (! = 1, ..., М), и пусть ре(л, гп, М) = М вЂ” г! — общее число ненаблюдавшнхся элементов.
Тогда по формуле для вероятности суммы событий (2, с. И6) 1'0 (л,ш,М))0)=Р(()Д~)=Я( — )У ~ Х Р(Аг-А ) 1 ! =! ~сьс, <ггчл Во внутренней сумме все слагаемые равны (Сз,.)"/(Сл)", а их число равно Ск, поэтому Р(де(л, т, М) ) 0) = 2;( — 1)!+'СГ(С" )чУ(с"'~. 1 Далее, Р(т!й й) = Р(ро(л, т, М) = М вЂ” й)= ~ Р(йч-.й и мйгг, Ага). 1сч<...«з-гчз где ()ь ..., )г) = (1...
М)тйь,.„гк г). В последней сумме все слагаемые равны вруг другу, а их число равно С', По теореме умножения вероятностей Р(лг~ -'1 — 4 - Хь) = Р(А .. А ,)р(А, А )л д ) Здесь Р(г(ч„.гце,) = (С, )"у(ср ( """гг("и-""-) = Р(р(" й) =О) = Х( — цгС)(С,",) у(ср). ,-о Из этик соотношений окончательно получаем, что Р(цр й) = Сл 2;( — Ц' гс((С,") /(С„)", й = т, го + 1, ..., ш)п(т л, М). ~-е Пусть теперь М( глл, тогда и и г Ет' = ~ т'(а)Р(ч =а) = (Сй) " ~ Сн ~, '( — Ц" 'С!(С,")чг(г) А- А л л-г = (С"„) " ;Я~ т(!)(Ст)"С „ Лг ( — Ц'С л à — — т( ДГ) г ° -0 так каи Если же М.
жл, та, учитывая свойства функции )(М), мажем запи. пать, что у ь Ет' =(С„) " Х Сг Х ( — Ц" )С1)(!). г-а,-а Для этого достаточно убедиться, что .Я ( — Ц" 'С1)()) = О при й ) тл. а В спою очередь это следует из цепочки равенств 2,( — цг гс((1),=(й), ~, '( — ц" ' 'С),=О, ге.Е 1-е а !б4 Теперь имеем и и-! Ет'=(Сй] *~((!]Си ~ ( !]Сй-,=(Сии] )(Л!)=в(ЛГ).
в-в -в 2.41. Так как для схемы повторных незавнснмых наблюдений распределенкя векторов Х и пХ совпадают, то ЕвТ = ЕвТ=т,т. е. T— несмещенная оценка т(6). Пусть теперь ГЗву(Х) = бв, тогда я Ъву(пХ) = = б', а согласно неравенству Каши — Буняковского ,си о, гв,ов(;6 й Вв и 'ч 6'. Отсюда (Уву'= —;~-[~ )уву(яХ)+ 2,' сочв(Т(лвХ), Т(явХ)]~»( 1 (и!) ~ б' 1 л! + п](л! 1) в (л! = б'. О = сочв(Т, Т вЂ” Т) = Ттв Т' — сочв(Т, Т).
! -вр 1 2.43. Для модели Л((6, б') функция )(х; О) = — е 'в' . От. л)2 па б дв 1 1 сюда —,-1п)(х; 6) = —, и поэтому !(0] = -з-. Для моделя Л!(н, 6') де ' ов б имеем ]п )(х; Е) = — , — — -,-, д' 3(х — н)' 1 де ' 6 В откуда 3 и 1 2 в(В) = — Ел(Хв — р)' — — = —. 0' 6' В' х е в-! — /в Лля модели Г(О, Л] функция )(х; 0) = — -~ — и 2х Л 2 Л Л = — з- — !.. Отсюда !(6) — т ЕвХв — в- = -т-, Для 6 0 е в =в' д 2(х — 0) — „в в', ч = т — Г— 4 7 (х — 6)' 1 !(0) = — ) и ) (1+(х — 6) 2я в(х = — агс!Ех!" дв д г !" !(и' 0) = ' модели Коши 1 2' 165 Такнм образом, для любой несмещенной оценка можно указать снм.
метрическую несмещенную оценку, дисперсия которой не превышает днсперснн исходной оценкн. Следовательно, оптямальную оценку (когда она существует) надо кокать среди симметрических функций наблюденнй. 2.42. 1) Рассмотрим статистику Тв = Т'+ Лф, ноторая пря любом Л является несмещенной оценкой т. Тогда, в силу оптимальности 7", О Т = О Т + ЛвГГ Р + 2Л (Т', ф] ~ О Т'. Но зто возможно пря всек Л только лишь, если соч,(Т, ф) = 0 И~в. 2) Пусть Т вЂ” пронзвольная несмещенная оценка т. Тогда статнстнка ф = Т' — Т имеет нулевое среднее н на оснпванян предыдущего дт Для биномиальной модели ((», 0) = С;0(1 — О]' *, — — т-1п](х; 0) = до х й — т = -~-+ — — — з-, следовательно, 1 1 й й й 1(0) з-Ееу| + (Д вЂ” Еьу~) = — +— 0 (1 — О)' 0 1 — о о(! — О) ' , 0' д' х Дли пуассоноиской модели ((х; О) = е ' —, — — ~1п((х; 0] = -т, слех)' до ' О довательно, 1 1 !(0) = — ! ЕоК~ = —.
0 0' Для модели В!(г, 0] функция ((х; О) = С",ь„,о'(1 — 0)', де .т г )п((»! 0) = г-+ — — ~-, следователыю, до ' 0 (1 — 0) г г г о(1 — о] + (1 — о)" = о(1 — о]" 2.44. В данном случае — [ 0 1пК»; О) = — т — — 1п(озчг2п) 20х 2 — Еа~ — 1п((Хц 0)] т гЕ4Х~ — О,) = О, ХООдот ' У' О! Этот факт с учетом предыдущих результатов приводит к указанной в формулировке задачи формуле. 2А6. Вид матрицы Т(О) следует из формул Езб(Е а,) = Р,(б = о,) = рь — .' — ' — — '. — + — '-а —, д (п((Е о) 6(Е а,) 6(Е о») др, Р, Рх д'(п](Е а) б(Е ах) непосредственно можно проверить, что Т '(О) =Е„ь где матрица Ек, определена в задаче 1.53, 2.46. Пусть Р— зкспопенцнальнвя модель.
Тогда при 0 = (Оь ... 0,) (Г,(Х, 0) = — ]пЦХ; О) = Х )п](Х„О) = Т(Х) + л д " д дА(0) дС(0) г дА(0) х где Т(Х] = 2', В(Х). Отсюда, полагаа а,(0) = 1 и — г1, ! = 1, ..., г, ! до, г' можем записать, что п(0](](Х' О) Т(Х)+ з до до т (0). '„дС(0) дА(0) ! Обратно, если нисет л~есто представление а'(0)ТТ(Х; 0) = Т.(Х) — т(0) при некоторык а(0) = (а<(0), ..., щ(0)), Т.(Х! н т(0), то, в частности, ~'„охо) ' = Т,(х) — т(0). 01п((х; 0) д; О 1бб Отсюда следует, что функция )(х; 6) имеет указанный вид.
Чтобы получить формулу для дисперсии )уст', заметим, что — =)т (х) ' Цх; 8]дх = Ейт (Х)сГ,(Х; 8)) = ат(0) . а )п Цх; 6) дВ, дВ; = соч,(т'(Х), (Г,(Х; 8)), так как Ез(),(Х; 6) =0 гГ'6. Отсюда — Хт,' — à — = сочз(т', а'(8)()(Х; 8)) = 1 " дт(8) / дА(8) и,, дВ, дО, = сача(т, т — т(6)) = )тот . 2.47. Так как дисперсия эффективной оценки совпадает с границей т'(О) Рао — Крамера, то из предыдущей задачи имеем соотиошенне —, А '(8) = —, откуда следует указаипое выражеиие для !(8).
Далее, (т'(8)Т г(9) !(0) = — Ет — — т-' — = — А "(8)Езд(й) — С"(8) =, А "(9) — С"(8), а'!п)Д; 6) С'(6) дВ А'(8) т. е, Егд(Е) = — С'(0)г'А'(0). 2.48. Проверка состоит в прямом применении результатов задачи 2,46. Например, для модели В((г,О) !(х; 9) = ехр(х!пВ+ г)п(1 — 9)+ (пСт, ~), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
