Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2л л 4»' Таким образом, (Тг, Тг) — другой приближенный у-доверительный интервал длп О. С точностью до членов порядка !/л оба эти интервала эквивалентны интервалу (Х -г- с,-/Х/л], полученному в предыдущей задаче. 2.140. Из решения задачи 2.9б следует, что искомый интервал -.е.**,Д7'Ж» ° с — * -- --- ке-г. а п(0) — теоретическое среднее распределения.
В случае распределения / Х гХ В!(г, 0) зтот интервал принимает вид( -г- с« ( г+Х л(г+Х)г/ 2,141. Искомый интервал имеет аид (О. -г- с,/./л((0.)), где в данном случае г(8) = Л/О', В„= Х/Л. В результате получаем интервал ХЛ '(1 ~ с„' ТЛ ). Если воспользоваться аппроксимацией ГчЯЛл()п 8, — !п 8)) й((0, 1) (см. решение задачи 2.109), то будем иметь у аа Р«(./Ли!!и 0„— !и 6! < с,) = Р((п ΄— =' < 1и О < (п О. + /л + — ") = Рг(0 ел р ~ — — «~ < 0 < О„ехр ~ — «~), /Лл /Лл ' -,Гдл т. е. другим приближегшым у-доверительным нцтервалои является интервал (Х!.
'е ««««, ЛЛ 'е'«""), который с точностью до членов порядка 1/л совпадает с предыдущии. 2.142. Согласно решению задачи 2.!09, имеем / Г с, ! Г с,)1 У гм Рг(Дл ! )п О. — (п О! < с) = РГ! О ехР«( — ! < 0 < Оехй( — !1 ° .22л /2л / тле О„=~ — ~„(Х, — р)г~ . Полученный интервал сводится к интерг валу 0.(! и- с«/т«й«аг), если пренебречь члекаии порядка !/л и восполь. О' х зоваться стандартной аппроксимацией Г (О„) ЛГ~О, — ) (см, зада- 2 / чу 2.88). 2.143.
11з решения задачи 2.87 следует, гто искомый интервал, основанный на стандартной аппроксимации длн о.м.п., имеет вид (т. ас с«а,(0„)/у9«г), где т„=- «0( ), 0„= (Оцо Ог„) = (Х, 5), а',(О) 5 (си. задачу 2.87). 196 2.144. В данном случае модель определяется ()у — 1).мерным на. раметро» 8 = (рь,, р» >) (см. задачу 2.63) н функция правдоподобна выборки Х = (Хь ..., Х.) равна » М вЂ” ! ЦХ; а) = П р,' = ехр( ~ «/щ Р~ — — — Р»- ~ + л!и (! — Р1 — ... — Р» где», — число членов выборки Х, равных аг, ) = 1, ..., 5(. Отсюда непосредственно находим, что решение уравнений правдоподо.
д)п !. бня — = О, ! = 1, ..., /»' — 1 (т. е. оценки максимального правлодр! »! подобия параметров рь ..., Р„,) имеет внд р, = —, ) = 1, л )У вЂ” 1. Информационная матраца этой модели У(8) указана в задаче 2.45. Согласно асимптотической теории оценок максимального правдоподобня, Ае(»/л(0. — 8)) й/(О, У '(О.)) прн л — » с» н поэтому Ее(О.(0)) — » х'(Р/ — !), где квалратнчнан форма » †! Я(0) = л((), — 8)!(О) (8 — 8) = л ~ (р, — р ) (р, — р )/р»+ ! и†! и + л ~~~~ (р, — р,)х/р, = г, (», — пр,) /»,. Ото!ода Рз! Х (» — пр'!'/».
< 2», » — ~) -„- у ! Это означает, что искомая асимптотнческая у-довернтельная область для параметров рь , р» имеет вид и 0„(Х) =((рь ..., Р»): ~ (»,— лр,)х/»,<ух» ь 0<р,<1, ! ! = 1, ..., 51, Х,' р, = 1~ . — ! В данном случае эта область представляет собой пересечение внутренл (», — лр,) ности 5(.мерного эллнпсонда х, < Х, » ~ с гнперплоско. г=! стью р~ + ... + р, = 1, принадлежащее зоне 0 < р, < 1, ! = 1, ..., йг. Прн Ф = 2 полученное решение аналогнчно результату задачи 2.154. 2.145. По теореме Фишера (см. также задачу 1.56) Х и 5' незави- симы, следовательно, незавнснмы также Х вЂ” Х„+ ~ н 5'.
Но х»(Х— — х. »,) = 5((0, 0) — /1, а ех( — /! = х(л — !), следовательно, — 1 Х вЂ” Х.+, отношение Стьюдента ! 1 = )/ л+ 1 Отсюда имеем 197 л+ 1 л+15 = Р Ц Х вЂ” 1~ ~ 11 — < Х„, < Х + !)+„З т,( — 1, ... ч. — л — !) что и требовалось показать. 2.146. Лля приведенных данных х = 4,196; з = — 0,226; гээгз,4 = = 2,776; следовательно, искомый интервал (3,43; 4,96). 2.147.
При больших л у ж Р( - (сг) = Р((5 — л)' < 2лг;") = з/2л = Р(л — 2л(5+ ст)+ 5' < О) = Р(л, < л < лз), где льз = льзД) = 5+с,'~с;,Я+с,, В данном случае сеэ = 1,645, поэтому искомый интервал (131; 189). Глава 3 ЗЛ. Имеем две группы данных с частотамн Гг| = 2048 и Ьз = ив — й> = 1992. Для проверяемой гипотезы Нэ , 'р = 4 = 1/2 и ожидае- мые частоты равны лр = ар = л/2 = 2020. Статистика критерия (и,— лр)' Хз = х,' ' ' = О,?76. При больших л эта иеличина распределелр, на приближенно по закону хи.квадрат с одной степенью свободы.
По таблице квантилей распределения К' нахолим Хзэы,1 = 3,84; Хсл ~ = = 2,71 Посиольку 0,776 меньше значений этих границ, можно считать, что данные совместимы с гипотезой Н,. (и,— лр,)' 3.3. Статистика критерия Х,', = д,' ' ' = 11,13 сранниваетлр, ся с критической границей хитах = 5,99. Поскольку 11,13 д 5,99, ги- потеза Н, отвергается. 3.7. Ожидаемое число показаний часов в каждом интервале равно лр, = 500/12 = 41,67. Статистика критерия равна Хз = 10,00, что меньше критической границы коки = 17,3, т, с, согласие хорошее. Гипотезу Но нс отклоняют при уровне значииости и < 0,55. 3.8. Здесь статистика критерия Х'. = 0.47, Х~цэ, з = 6,25, т. е, согла- сие при а < 0,9 хорошее. 3.10.
Границы интервалов находим из уравнений 1 — е —" = = 1/4, е ! — е Нч' = 1/4, ) = 1,2. Имеем х> = 0,288, хз = 0,693, хз = 1,386. При группировке по этим интервалам получаем вектор час(и, — яр;)' тот й = (9, 9, 17, 15) Статистика критерия Хза = Х ' ' = 4,08 лР! мсньше критической границы /трз, = 6,25, т.е. гипотеза Нз нс отвер- гается.
3.11. Поскольку РД < х(Не) = 1 — е "/о, вероятности р,(0) = = Р($ ш Е,(Нэ) в данном случае раины р,(6) = е 0 !М/а(1 е а/е) лг = 1 Н 1 р (О) — е — ОУ вЂ” !1 ° /з 198 и уравнение для нахождения мультиноь~иальной о. м. п. О. имеет [1, с. !10] внд к и-~ Х Л,Р/(О)/Р (и) = 2' Л,() — 1 — !е '")/(1 — е "и) -1- (Л' — 1)!!а = О, ! Обозначая а = е "'", отсюда находим и ~ 1Л, — и. з( ч' !Л, — Ли) = Следовательно, о. м. п. а, = ( Х/Л~ н)/( 2;/Л, — Лл), а соответ! ствую!цне оценки вероятностей р,(0) имеют вид и и р ) Д и р ) ~~ Х т ,-1 где а — выбранный уровень значимости. Для данных задачи !.21 при указанном выборе параметров И и а Лт+2лз 7 имееи Л, = 28, Лз = !6, /м = 6, 2„= — = — и значение ста2п — Л~ Рй тистики Ла 1,96...
Поскольку хтьл, = 2,71, прн уровне значимости а ( О,! гипотеза Нь подтверждается данными. 3.!2 Здесь имеет место полииомиальная модель с Н = 4 исходами и вероятностями рц ..., рь имеющими при нулевой гипотезе Нь указан. иый внд, т. е. являющимися функцнямн одного неизвестного параметра. Для оцеиивания параметра 0 надо решить уравнение ~,л,р(0)/р(0) = = О, которое в данном случае принимает вид Л1 Лт+ Лз Лг — — — + — = О. 2+О ! — 0 0 Это уравнение сводится к следующему: 9(0) = пб' + (л, + 2Л, + 2Л, — л,)0 — гл, = О. Поскольку гт(О) = — 2)гт ( О, Ч(1) = 3(лт + Лз) > О, последнее уравнение имеет в интервале (О, 1) единственный корень О,. Следоазтельио, а данном случае критерий согласия ит при уровне значит!ости и отклоняет гипотезу //а лишь в случае ~"„Л,'/(ггр1(йч)) — л ) у]- ь или Л]/(л(2 + О.)) + (гй + )г])/(п(1 — О.)) + )~]/(пй,.) ) (хт1, т + л)/4.
199 Р,=зи (1 — ал), /=1, ... Н вЂ” !, да=ах В соответствии с обшей теорией [1, с. 115 — 116], если при больших значениях н выполняются гтсловия Л, ) 5, ( = 1, ..., М, то соответствующий критерий согласия т отклоняет гипотезу Нч тогда и только тогда, когда ЗЛ4.
Используем критерий согласия х'. Оценка параметра В равна У 0 = 2; !й, = 3,870. Вычисляем оценки вероятностей р, = е и 10 (л, — «р,) = О, 1, ..., 10, и значение статиснкн Х. '= ~„' „' = !3,05. =о пр, Число степеней свободы й = 9. Поскольку Хззю з = 16,9 ) 13,05, гипоте- за Оа не отвергается. 3.15. Здесь 0 = 1,54, Хз = 7,95, А = б. хззз,з = !О,Б. Согласие имеет место.
з0' 3.16. Здесь В = 0,928, рг = е З вЂ”, ! = О, 1, ..., 5, Х'„= 2,172, й = Б,Хзззз з = 9,49. Согласие хорошее. 3.17. Дли ЦВ) = В!(2, О) вероятности походов имеют внд р,(О) = Р(6=0) =(! — 0)', р/О)= Р(5= В= 20(1 — О), рз(0) = Р(5 = 2) = 0'. Отсюда ураанение для нахождения оценки параметра 0 имеет следу- ющий аид: 2; а,р((в)/р,(0) = — — + и, + — = О, 2л| 1 — 28 2дз 1-0 В(1-0) О а сама оценка В, = (аз + 28з)/2«. В данном случае 8~ = 476, йз = 1017, йз = 527, п = 2020, поэтому В, = 0,513.
Далее имеем з Й = Х (Лг — прз(О '))з/(«РД)) = 0.116! 1 результат надо сравнить с хз~ з ь Поскольку хз,з; ~ = 0,148, при любом уровне значимости а ( 0,7 гипотеза принимается. ЗЛ9. Подставляя в формулу « « Е(Х2!Р) — п Х (Р— Рз)з/ з + Х Р(1 — Р,)/Рз ! ! « Эиа«ЕНИЕ Р = Р',М = (РГ"З, ..., Рз«О) И УЧнтмааа РаВЕНСтВа Л;Рз г ! Х Рг = О, найдем г ! п 6(хз!Рго) = йг — ! 4- ~ Р,'/р, '+ гэ(1/,гпз). Далее, так как то 3 Ры = ! + — 2, р, /Р, + о(« п 200 Я Ры = 1 + — Х Р'/Р' л, Рзз = И + 0(1/ЧГл), И,~ = И + 0(1/,(л), И,з = 0(1). Отсюда, используя формулу (л — 1)(~ — 2) , и — 1 опал ь — — ~а„— хы ~ ~ — ~зх — ~х»ь — мн л л + — (Вз — Вд, 1 3 л найдем О(Х()ргм) = 2(И вЂ” 1) + 4 ~, Р',/р', + 0(1/-/л).
3.20. Так как (1 — ргм)" = ехр(л(п(1 — рг'1)) = ехр( — лр!"! + 0(л ')] = = ехр( — р — рЬ,/лп'+ 0(л ')) = е г!! — РЬ,/лм'+ р'Ь',/2з(л+ + О( -зы)) то, подставлня это разложение а формулу Е(пз)И(М) = Х(1 — р)м)", получаем искомое представление для среднего. При анализе дисперсии будем исходить из формулы Орз = 2 2„' [(1 — Р~ — р )' — (! — Р ) "(! — Р ) 1 — Х (1 — р!)з" + Ерм сг г=~ Асимптотика второй суммм при гипотезе Н(м находится так же, как и выше, и с точностью до главного члена она равна Ие "'.
Оценим общий член первой суммы. Имеем (! Р— Р) (1 Р) (1 Р!) =(1 — Р' Р~) — (1 Р' Р~+РР) = =ехр( — л(р, + р;) — — (р, -1-Р,)~+ 0(И з)) — ехр( — л(р, + р,)-1- лр,р,— 2 — — ( +Р,)'+ 0(И '))=ехр( — л(Р,+Р,) — — (Р,+Р,)Ъхр(0(И *)). 2 — ехр(лрр! + 0(И з))) = — ар р е "х' "з~+ 0(И з). Отсюда первую сумму можно представить а виде и -2л ,'Е рр,е 'х 'з'+ 0(1) = — л~ ~ р,е хз) + «1 г — ~ л ~ рзе — зхю + 0(1) и В этом разложении второй член есть 0(1), а ~р,е "з =е " + о(1).
Таким образом, все выражение равно — Ире -"'+ 0(1). В результате имеем 20! 0(рг((е("1) = — йгре '" — йге "-)- йге г+ 0(йгыг). 3.21. Применим критериИ однородности Х'. Статистика критерия 5 Хг = л|лг,Я вЂ” — -(чн/л| — ч г/лг)г = 2,13 (г = 4, 1| = 2), , ты+юг критическая граница критерия Хг| „|, |ы-и = Хггл г = 6,25. Таким образом, Х'. ( Хгг, г, согласие хорошее. 3.23. 1) Рассмотрим разность Ои = чг — ч,ч./л, |, 1 = 1,2. Непосредственна яроверяетсл, что все суммы бг + бо н б|| + йн равны О. Например, ч|лк| г,л,г чь Ьм + б|г ч|| + г|г — ч|. (ч | + ч г) л л л = | |. — ч|. —— О. Таким образом, модули всех четырех величин Ьч равны и поэтому г бг г 1 , ч,чч = лай||/(чьчг.ччч,г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
