Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так как го = л = х' + (х — Оло)', то Д = 1. (х) = (зог/» ) "Г = (1 + ! /(л — 1гл) где 1 = 1(х) = ллл — 1(х — Оло)/з. Паз»аллу яеравеиства 1, «» с эквивалентно неравенству )Д ) с'. Таким образом, в данном случае к. о. п. имеет вид Хл — — (х:,/л — 1!х — Оло!/з ) с ). Так как статистика критерия 1(Х) имеет при гипотезе Но распределение стыадснта 5(л — 1), то граница с' = г, « , (ср. с задачей З.бб п. 3). г ' Распределение 5(п — 1) при больших л аппроксимируется распределением йл(О, 1) (см. задачу 1.47), паэтоиу критическую границу с' можно полагать приближенно рваной — н,гг. Отметим также, чта игм = Кгл-„, л.
Далее, информационная матрица 1(0) модели йГ(0,, 8г) 219 вычислена в задаче 2.44, откуда имеем, что первый главный минор мат- рицы ! '(О) есть Ооо. Согласна асимптотической теории о. м. п., предел мощности при рассматриваемых альтерпативак равен 1 — Г,(»'.. и Ло), где в данном слУчас Л' = 11'/Ооо. 3.74. В данном случае (см, решение зада ш 3.73) зцрЦх; 0) = ь(х; (х, 5)) = (2лех ) "~, 5 = В (х), в оцрЦх; О) = Цх; (х, Ото)) = (2пО)о) "1зе откуда Л.(х) = (1е-ло ')"го ! = з'/О' Здесь неравенство 1.„( с, определяющее критическую область к.
о. п., записывается в виде (1 ( 1~) () (! Ъ 8), 1~ !ь поэтому критерий имеет вид Х, = (х; Зо(х)/От~ ( 1 либо Во(х)/Оооо л (о). Из указания следует, что функция мощности такого критерия равна (Р(О) = Т.,( — "!,) + ! — Т.,( — '!о). 0( Отсюда, выбирая 1, = Х'„„!/л, 1, = Х( „, „!/л при а, + по = и.
получаеи, что (Р(бо) = и. Тем самым получаем указанный а формулировке задачи результат (ср. с задачей 3.65 п, 6)). Чтобы получить несмещенный критерий, надо обеспечить выполнение условия )Р'(Оо) = О, которое сводится к уравнению Хч„о — !й — ~(»вь о — !) = Х! — аь о — лй — ~(»1 — в . и — !) о ! 3 а м е ч а н и е. Асимптот!оческий (при л -» со) вариант рассматриваемого критерия исследован в (1, с.
175 — 176). 3.75. Поскольку оценка максимального правдоподобия параметра 0 в модели В!(1, О) по выборке объема л равна К„= Х (см. задачи 2.84 и 2 48), статистика О,"'(1 — О,)" '-" Л„= Х" 71 — Х)" ч Но в данном случае имеет место полиномиальная модель с АГ = 2 исхо. дами, поэтому (см. (1, с.
170 †1)) при л -л во предельные распределения при гипотезе Во статистик — 2 1п Л и Х.' (Т вЂ” лОо)о (л — Т вЂ” л (! — Оо))о (Т вЂ” лОо)т + — Т = лХ лО, л (! — 8,) лО,(! — О,) ' совпадают н есть Х'(1). Это отражает тот факт, что Ео,(Т) й/(лбо, лОо(1 — Оо)) прн л -в вв. Таким образом, к.о.п. (Л ( с] асимптотически эквивалентен критерию (Х', ~о !), который совпадаег с критерием, построенным в задаче 3.63 (при й = 1).
3.76. В данном случае о ло.п О„ = Х = Т/л (см. задачу 2.109), поэтому статистика Л, = (лОо/Т)'е' " ', )Халес, из решения задачи 3.64 следует, что статистика ор~' = (Т вЂ” лОо)'/лОо, следовательно, асимптотнчески к.о.п. эквивалентен критерию (!Т вЂ” лбо(/з(лбо ~ !), исследованному в задаче 3.64. 3.77. Обозначим через !.,(О,) = О,"'Х(1 — О,)"" "' функцию правдоподобия для !-й выборки, ! = 1, ..., й.
Тогда, а силу независимости 220 выборок, функция правдоподобия для всех данных есть й(Оп ..., Оь) = = Ь(О~) ... Оь(Оз). Далее, так как а.м.п. параметра бернуллиевскай модели совпадает со средним арифметическим выборки, то отсюда имесл~ т ь шах й(йь, О,) = Пшах Ц (0) = П7.,(Х! е, е, т, =- ПХ~Д(1 — Х)"д "', 1= ~ шах О(Оь ..., 0„) = гпах й(0, ..., О) = шах 0"«(1 — 0)" н = Х'"(! — Х)"и л, где Х = — (л,Х~ + ... + л,Х,), л = и, + ... + ль л Таким образом, в данном случае статистика отношения правдоподобия имеет вид .. м=Х(! — Х)"' "lйЖД(! — Фвп-"'= = ц (-,')ь'~ —,' —,')"з-", Накоиец, размерность нулевой гипотезы йп! 7(е = ! (одна степень свобады), поэтому асимптотически к.а.п. (1, с. 175) имеет внд Х, = ( 22, 'л, (х! (1п «, — 1и х) + (1 — х,) (1и (1 — «,)— — !п(! — «))1» Х'-« -) .
Стандартный же критерий однородности х' (1, с. 126) имеет нид Х л~(х~ х)» Хг-ьь — !) ° ) .т х 1 — х) ! 3.70. Схема решения такая же, как в предыдущей задаче. Используя те же обозначения и учитывая, что в данном случае (ч(0,) = е ьЬОО!'эйхи!, 1 = 1, .Д, найдем, что ',, = "/пж' = и( — '-)'", и при ль ..., ль -е оа к.о.п. имеет вид ь Хы = ( 2~; л,х, (1п х, — (п х)» Х',,„ 3.70. Обозначим через (ч(Он, 0,) функцию правдоподобия для !хй ь выбоРкн, 1 = 1, ..., й, и чеРез (.(О~о ..., Оы.Оэ) = Д(ч (Ош Оэ) — Ллн 22! 1 ! всех данных. Кроме того, положим л = л, + ... + л„5, = — 2; л,5«, л » Х = — 2;л»Х! пусть 5' — выборочная дисперсия для всех данных. и Тогла (см.
задачу 2.114) а м.п. параметров (0»», . Оы, 0«) являются (Хь ..., Х», 5«) и Е(Х», ..., Х», 5«) = (2ле5«] "". При гипотезе Н«все дан. ные можно расс«»атривать как выборку объема л из совокупности йГ(0», О«!) и поэтому (см, задачу 2.86) гпах Е (О», ..., О», О!) = Е (Х ..., Х 5) = (2ле5!) е,. а, Таким образам, статистика оглашен и я правдоподобия в да пио и слу- чаее ра пи а 52 Ем „= ( — г-) = (л5«/ 2; л,5,') Число параметров, определяющих модель, равно й + 1, а размерность нулевой гипотезы равна 2, поэтому асимптотическая форма к.о.п. имеет вид Х,„= (л ((и 5' — Рл Я) ~ Хт! „,,).
Если й = 2, та непосредственно проверяется, что лУ = л»5», + л«Я + — (Х, — Хт)«, « откуда Л„,„, = (1+ т«У(п — 2)]-ю«, ГдЕ Т ЗадаНО В фарыуЛИрааКС ЗадаЧИ. ЗДЕСЬ НсрааЕИСтва Х„и, ( С ЭК- вивалеитио неравенству (Т) ) 1, откуда и следует указанный в формулировке аид критерия. 3.80. Пусть Е»(О»г, От;) — функция правдоподобия для )-й выборки, / = 1,...,)г, а Е = Д (.,(8»и Ог;) — для всех данных. Тогда, как и в пре. ) ! дыдущей задаче, имеем, чта для общей модели !пах Е = Ц гпах Е»(0!», 0»,] = Ц(2лс5,') !' ! а при гипотезе Н« гпак Е = гпа»Ц Е, (0»г, О!) = (2леЯ) Отсюда хм «, = Д5»"ТЗО = Ц(5»/5«)"т ! ! В давкам случае число параметров, определяющих модель, равно 28, а размерность пулевой гипотезы равна й + 1, поэтому асимптотически при л», ..., л» -е аа к.о,п.
имеет вид 222 Х,. = ( 5'., (! Во — 1 5,') ~ 21 ...) . При й = 2 имеем "" =,(-.,ю%зт) "(о~'.; ) "= = —.,"'.; ("„', )""""'('+".', ' ') " н неравенство Хмм ( с эквивалентно условию (Т ( с,) () (и ) со), с, ( со. Отсюда, используя указание, получаем приведенный в формулировке задачи вид критерия. 3.81. Прн гипотезе Но все Х, имеют некоторое распределение М(Оь Ооо). Но в этом случае (см. решенке задачи !.58) статистика К~ — Х имеет распределение, не зависящее от параметров ч(л — ! 5 (Оь Оо), симметричное относительно нуля, н прн этом 1 г о и — 2 1; Р(Ч ~ и) = — В(! —; —, — )1, О ~ 2 (, ' 2 ' 2)' Следовательно, л — 2 1т Р(Х~ 1Но) = В(! — а'1, — ) = со, 2 ' 2/ т. е.
вероитиасть ошибочно отвергнуть гипотезу Н, при 1п( о, раааа и. Таким образом, К~ — подходящая критическая область. 3.82. Так иак гипотеза Но эквивалентна в данном случае утверждению сот (5ь Зо) = О, то согласна задаче !.59 п. в) ь.,'(й: в!Го -,.о о= ь — ), откуда можем записать (в силу симметрии распределения Стьюдента), что Р (1Р 1 .Лп — 2)/(! — р ) ) !1 — гг.
— Ы Но) = и. По последнее неравенство эквивалентно неравенству, определяющему область Хы, следовательно, Р(Х| 1!го) = и. Эта означает, что вероятность ошибочна отвергнуть гипотезу //о при р. оы Хы равна а, т. е. Хы — искомый критерий. 383. Согласно задаче !.бО, 5(Т,(/!о) М(0, !) при и ао, поэтому Р ИТ 1 ) — и,го! Но) -ь 2Ф (и„го) = а, что н утверждается, 3.84. Пусть наблюдаемые случайные величины Хо ..., Х.
независимы, имеют одинаковое и известное среднее р и конечные дисперсии. Если гипотеза Но означает, что все Х, одинаково распределеиы, то при больших и статистика Т„ имеет при Но приближенно нормальное У(0, !) распределение. Следовательно, статнстшса Т. позволяет построить критерий согласна для Но, который имеет такой же вид, как н в задаче 3.83.
3.85. !) Так как (Р (Оо) = Ро.(Т, ) т ) = Ро,(т/л (҄— Р(Оо))/а (Оо) Зи — и ), та согласно свойству (а) (Гг (Оо) Ф(и,) = а при и — г ао, т. е. критерий Х, асимптотически имеет уропеаь значимости п. 2) Аналогично имеем )р„(ОО!) = Роо»(Т, ) у„) = Рвс (,~л(Т, — р(Ооч))/а(Ооч ) з'"~), 223 где — г (л) = Х/л (р(О'"1) — р(Оо))/а (81"1) + и,а (Оо)/а(ОЫ"), Согласно спойстау (б) — г (л) Ор'(Оо)/а(бо) -1- и, при л -и оо.
Из этих соотношений а силу саойстаа (а) получаем указанное предельное рааенство. 3.86. Из прсдыдушего доказательства имеем в ) Ф (О./е( + и.) = 1лп Ото!(0. + — ) = .г. ! 1!гп нди.(Оо + — г— .Ч!о л ) 10п (Рой~(бо + — ) — ~) = Ф(О Я/Л + и, ). ,Лгц. г Отсюда ~Ге( = /е',/1. или Л = ео/е( 3.87.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
