Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 43
Текст из файла (страница 43)
4 гл. 5) и данном случае функции Л!(х) = Ьнг/г(х), Ьг(г) = аиг/г(х), поэтому байесовское решение Ь*(х) имеет внд л прн хб (Р7 „дс (Р7 = (х:Ьг(х) (Иг(х)) = а соответствующий веитор риска равен (арг,(ХЕ !Р7). Ьргг(Х б Огу)). Следовательно, байесовский риск г(6*) = ал Рг,(ХЕ йт7) + Ьлграг(ХЕ (Р7).
Для указанных ипрмальных распределений прн Ог ( Ог область (Р7 = Ог + Ог а с ! Ьггг =)(х1х~( — ~, с =1и — ', а Рг/ХЕ 977) = 2 Ог — Ог) ' апг ' = Ф( — /1, Рг (Х Е Ог 7) =- гР( ), где !г =(Ог — Ог) /а'. с+а/2Х г / с — р/2т Если Вг ~ 0!, то область (Р7 задается противоположньгм неравенством, остальные же выражения остаются прежвими. 5.9. В данном случае для решающей функции б(х) = г/ функции риска //(О, б) = /(О, г/) и поэтому байесовский риск г(г/) = аб(0, б) + (1 — а) /. (1, г/) = аг/" + (1 — а) (1 — Л)'.
230 Минимизации этого выражения по г( дает искомое решение г(*: если 1 ! ! а = 1, то с!" = О при и ) †; г(ь = ! при а ( †, а при и =— 2 ' 2 в качестве г!" может быть взято любое г( р [О, !), если же а) 1, то ! '=("( .Л б.!О. 1) Записав Ра!Х Е )рь) = ~ Цх) Их (в абсолютно непрерывном случае), из определении функций й,(х) имеем ь з (б ) = ~ч Я(б ) = ~, ) й,()п.г. г= ! — ! э'! Но из определения областей )Р12 следует, что последнее вырзжение можно записать в указанном в формулировке виде. 2) Очевидно, что з з 1( ~„л)(х) — п!)!!Х)) < й;(х) ~ (!( ~ пДх) — п,ЦХ)) ! ! (здесь учтено, что !(!!!) = О, >' = 1, ..., й).
Ото!ода 1 ~ ~ п,Цх) — шах л,ЦХ)) ( ш2п «,(х) ( !( ~, 'лгй(х) — и!ах п!Цх)) = ! или (см. указание) ! ~ гп!п (пДх), тзх л,Цх))( ш!п 6,(х) () ~, т!п (лДх), шахи!)!(Х)). !=2 !с! ! ! ( Но гп!п (яДх), !пах л,ЦХ)) ( ~„ш!и (лДх), л,Цх)), 1(! г(! что после интегрирования дает верхнюю оценку для г(бь). Далее имеем, п2!п (пДх), гпах и!Цх)) ) гп!п (лДх), л,ЦХ)), ! = 1, ..., ! — 1„ г(! поэтому ппп (ХДх), шах л!Цх))г(х) гпах Уч, г(! ! ! что дает нижнюю оценку для г(6*).
Указанные оценки превращаются в точные равенства при й = 2, Х2)!) = !(1!2) = !. О.!1. В данном случае ! !э л! $ (у(х) г(х + л! $ 12(х) !(х, х = (х!, «, х ), Ы! Х! где х! = (х: л!)!(х) ( лг(г(х)) и ! ( ! )(х) = ехР! — — (х — Р!'УА '(х — Риг)), ! = 1, 2. 231 Простые преобразования позволяют записать область Х, а виде Х~ = (х г а'х — — а'(рпэ + !Р')г (п — и' 1, а = А '(ргп — 1Р'). У = а'Х вЂ” — а' (рог+ !Р'). Если 2 рассмотрим случайную величину ь(х) = )У(рг'г, А), то 6(У) = йг! †", р) и ~2' ~ П(к)гГх = Р( У(1п — ) = Ф((!п Аналогично имеем $ )г(х)ах = ! — Ф (( ! п — '+ — ) /Э/р) = Ф ((1п — ' — — ) /э(р) . х, Из этих формул следует указанный результат.
В ч/р 1 = Ф( — — при и> = пз = —. 2) '' 2' В случае пуассоновских распределений П(Х1) н л! л' /,т = п~е г †, + пэе , Е Х, Н , Е 2, г! частности, (м = П(эг) при Ь ~ Дэ где х, Х~ =(г: п~е — (~ псе — г = ((г: г ( гз = ~ — гт 1'т г! г! ) ( ] — целая часть. Таким образом, /ы = я~П(гс', )и)+ пэ(1 — П(гм кэ)), йгу = (к: й~(к) = !(1!2)пг(э(к) <~ йт(х) = ((2! Цпб~(к)) = =(к: а'х — — а'(р +р ))с = (п гм ггр(1!2)) 2 я|!(2!1)) ' Таким образом, байесоаское решение 6* состоит в том, что при наблюдении хб %7 истинным считается распределение й((рпг, А), в противном же случае (т.
е. прн кб йгэ = !Рг) — распределение ЩРг, А). Соответствующий вектор риска равен (см. предыдущее решение) )г(6*) = (((2!1) ~ ),(х)г(х, !(1!2) ~ )э(х)г(х) = згт ахг = (!(2)1)Ф( ), !(! )2)Ф( — )), г где п(г; х) 2 е хд г о 5.12. Используя решение предыдущей задачи и введенные там обозначения, находим, что область наилучшей классификации йхг имеет вид следовательно, байесовский риск г(6*) = п,1(21!)Ф( ) + н«1(!12)Ф( — ) . "«Р Р При.
1(21!) = 1(!12) = 1, и« = п« = — величина с = 0 и г(6 ) = ! =Ф( — —,). Для получения мнннмаксного решения 6 имеем следующее уравнение лля определения константы с (а тем самым н наименее благоприятного априорного распределения (и„ п«3 1(21!)Ф( ) = 1(!12)Ф( — ) . В частности, при 1(21!) =!(!12) = ! решением является с = 0 (т. е. и« = пт = — ) н а этом случае максимальный риск т(6) = Ф( — — ); 2) само же мннимаксное правило задается указанной выше областью ]Рг прн с=О. 5.!3. !) Если й(6] = 81(ль 6), то )(х; О) св О *(! — 0) = О'(! — О)" *, априорная же плотность распределения параметра п(8) ги 6' '(! — 0)' '.
Следовательно, для апостериорной плотности имеем п(01х) ии я(0)1(х; 6) си 6'+* '(! — 6)'+"" т. е. п(01х) — плотность бета.распределения 0(а+я, Ь+ лт — х). 2) Здесь 1(х; О) са 0 '(! — 8)"', п(0) указано выше, поэтому Е* п(6]х] О' + — «(! — 6)" " — '. 3) Здесь 1(х; 6) еи е "'0~ , п(6) си 0" «е "«г', следовательно, о п(8]х) О'+* 'е к"'+им — плотность гамма-распределения Гт —, (па+ ! ' ). + х].
4] Здесь Дх; О) = 0"е ', н(0] указано выше, поэтому п(0]х) са О«+ "— «е-««+ ««г 5) Используя функцию Хевисайда е(х), запишем плотность выборки /(х ! О) в виде 1(х; 6) = 8 "е(0 — хм!), хо! = шах (х«, ..., х„). Аналогично, п(0) = 0 'е(6 — а), откуда -п(01х) си 0 ' " 'е(6 — п«ах(сг, хм!)).
6) Если Ь„,, ܄— целые неотрицательные чг]сла, удовлетворяющие условию Ь«+ ... + Лх = и, то ((Ь; 8) си 0« ' ... Охх. Отсюда п(813) си 0'+ ' ... 8«У« """ т. е. снова получаем плотность распределения Дирихле (](а+ А), 7] В данном случае плотность выборни )(х; 6] си ехр ( — — х ~', (х, — О) г = ехр т — — г. (Π— х)— т 2Ь ! ! ' ) ( 2Ь ! — -; — э- ~, (х, — х)г), 26 233 а априорная плотность л(0) ан ехр( — — э-( — р) г. Отсюда 2 э 1 л л(о!х) ш л(о))(х; о) ш ехр)' — — э-(о — р)' — — (о — х)т~ 2о 2Ьз ни ехР( — — (-э-+ — э) Вт+О( "„-1- .)~, здесь опущены выражения в показателях экспонент, не зависящие от О.
Последнее выражение пропорционально екр( — -; (-(Π— р~) г, что и 1 т 2о( доказывает утверждение. 5.14. Пусть К = хо(1, ., л — 1). В данном случае апостериорное распределение п(0(х) аи В"(1 — О)" * и средняя потеря для решения б(х) = г( относительно этого распределения пропорциональна 1 ~(г( — 0)'В' '(! — 0)" * 'г)0 = г('В(х, л — х) — 2АВ(х+ 1, л — х) + в хтт +В(х+2, л — «) =с,(5 — — ) +сь л х Минимум этого выражения достигается при г( = —.
Если же х = л = о(л), то лишь при гт = О (соотаетственно г( = 1) указанный интеграл х конечен. Таким образом, бэ(х) = — прн любом х. Далее, л Р(0, бь) = Еэ — — О) /0(1 — О) = 0э( — ) /0(1 — О) = — — = сопз1, л л л следовательно, б* также и миннмаксиое решение и его риск г(б*) = 1/л. 5.!5. В силу задачи 5.!3 п.
1) апостериорная плотность л(0!х) ш са 0*т' '(! — 0)'+" * ' и среднян потеря относительно этого распределения пропорциональна ! (г( — О)'О" +* '(! — О)'+' " 'г(О = с,(г(— х а л+а+Ь/ + ст. Отсюда следует, что б'(х) = . Нычислнм функцию риска: х+а л+а+Ь' )((' б*) =Е(л» а» Ь -') =1)э(л»,+Ь)+ лВ+ а !т (а — В(а+ Ь))'-1- ло(1 — В) (л+а+Ь / (л+а+Ь) Условие 1г(0, б*) сонэ! выполняется вон а = Ь = угл/2, следователь- х+ ч(л/2 но, мннимаксное решение б(х) =, а его риск л+ ~Гл гл(б) = й(0, б) = 1 4(1 + т/л)' 234 5.16. Запишем среднюю потерю для решения 6(х) = г( относительно апостериорного распределения п(01х) и виде Е(( — И) !х) = Е((0 — бч(х) + б*(х) — д)~(х) = 0(0(х) + (Ь (х) — г() э ) Е>(0)х). Равенство здесь имеет места при г( = б*(х), следовательно, Ьт(х)— искомое решение и его условный (при условии К = х) риск равен О(О!х). Отсюда байссовский риск имеет указанный вид.
В задаче 5.15 апостериорное среднее параметра равно первому моменту распределения 5(а + х, Ь + л — х), т.е. Ь'(х) = Е(0(х) = л + а + Ь 5.!7. Здесь Ег(Х) = Ег(г, В) и в силу задачи 5.13 п. 2) апостериорное распределение ЦВ(х) = 5(а+к, Ь+г). Используя формулы для моментов бета-распределения (см, введение к гл. 1), отсюда (см. задачу 5.16) находим, что искомая байесовская оценка имеет вид бч(х) = Е(В!х) = 5.16. В сил> задачи 5.13 п. 3) апостериорное распределение ЦВ)х) = Г!Г ', Л+ 1, х = (»,, ..., х„), х = ~ хь Л па+1 Используя формулы для моментов гамма-распределения (см.
введение к гл. 1), ото!ода на основании задачи 5.!О находим, что Ьч(х) = Е(О(х) = а(Л + х) а (Л + х) па+ ! ' (па+ 1) , (>(0(х) = э-; при этом, поскольиу Ег(Х) = П(лО) (см. задачу !.39 п. 4), по формуле полного математического ожидания ЕХ = Е(Е4Х)) = Е(лО) = лаЛ и поэтому аэ Ла г(бч) = Е!>(0(Х)= (Л+ ЕХ) = (па+ 1)' ла+! ' ! ат Наконец, минимазируя величину + сл по л, получасы оптина+ ! мальное число наблюдений 3 а м е ч а н н с. Число л* должно быть целым неотрицательным. Поэтому, если получаем отрицательное значение, то полагаем лэ = 0 (т.
е. наблюдений делать не нужно), в остальных случаях в качестве исиолюго числа наблюдений берется наименьшее целое, большее нлн равное получаемого по указанной формуле значения. Это замечание относится и к последуюшим аналогичным задачам. 5.20. В силу задачи 6.13 п. 4) значение а" байесовской оценки при Х = х находится минимизацией по д ах.,'- ! т ' !(Л+ л) бЛ 235 д Решая относительно г( соотношение — Е(Е(0, г()!х) = О, получаем 0 ге указанный вид б*. / ! Далее, так как Ег( ~ Х») = Г!Х вЂ”, л) (см.
задачу 1.39 п. 2), та ) ~0 ! 1 О+оп и ь(»" — ч' ~»» — ] Отсюда е»аходым функцию риска г l )((О, б') = Е,(б — — ) = р,б +(Егу* — — ) 0) ~ О) ' »-И вЂ” ее — 1' » г — у Наконец, г(бч) = Е!»(0, б*) и используя формулы лля моментов гамма- распределения, приходим к указанному результату. Число и* находится минимизацией по и величины г(б") + сп. 5.2!. Среднее и дисперсия распределения Парето с параметрами аа аа' а и а ) 2 равны соответственно о а — ! (и — 1)(а — 2) ' (см, задачу 533 п. 5) на основании задачи 5.10 имеем указзнный вид оценки ба.
Кроме того, получаем также, что (г(О(х) = , (»пах (а, хм!))'. Для нахождения риска г(б") = ЕП(0!Х) достаточно аычислить Е(гпах (а, Хгм))г = Е[Е»(шах (а, Хг„!))г) Запишем (шах (а, Х1„!))' = (а!(Хы! ~» а) + Х1„!!(Х!.1) а))' = а'!(Х1,!» а) + + Хт.!!(Х,„, ~ и), где !(А) — индикатор события А. Тогда, поскольку плотность распре. деления Хы! при заданном 0 равна л!" »/О", 0 ( ! ( О (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
