Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков - Сборник задач по математической статистике (1115272), страница 44
Текст из файла (страница 44)
задачу 1.35), имеем л 2о" е' Е»( х(о, Хг.!))г = — „!!" ' И!+ —.1!" »г(! = — О + ((алее находим ЕОз = Е!О+ (ЕО)г = —, Ео " = аа'! а — 2 ' " О" ч " г ' (и + а)а" следовательно, Е(Е»(гпдх (о, Х! !)) ] = аа'(и + а — 2) (и+а)(а — 2) ' Окончательно получаем, что риск байесоаской оценки рааен »~» паз »' - »»" »- - ч 236 Наконец, минимизируя величину г(6»)+ сл по л, находим, что апти. мальное число наблюдений 5.23. Искомое решение — это значение ге, минимизирующее следующее математгщесиое ожидание: л л Е(6(8, г()!Ь) = ~, Е[(0, — »Цг16] = ~„Е[(0, — Е(0,(Л))'[Л]+ г=.! ! = + ~ (Е(0,!Л) — Ц' = ,'~ П(0,16)+ ,'~ (Е(0.16) — 36!. !=! Минимум этого выражения достигается при г(, = Е(0,16), ! = 1, ..., Аг, х и равен ~, 'В(йг(й).
Здесь (см, задачу 5.13 и. 5) н указание) Е(8,16) = — '', ()(8 16) = а,+6, (сг,+6,)(а+л — а! — 6,) а+л ' ' (а+л)(а+л+1) Первая формула определяет вид байесовской оценки б,*(й), а вторан позволяет оычислить соответствующий риск; г(6*) = 6 Е(3(Ог(Л), если г= ! при этом воспользоваться формулами (см. задачу 1.52 н указание) Еа! = Е(Е Ь,) = ЕлО, = ла,/а, Еайь, — !) = Е(Е Л,(Ь! — 1)) = Ел(л — 1)8,' = л(л — 1)а,(а, + 1) » ' а(а +!) 5.24.
Используя обозначения задачи 5.13 п. 7), на основании задачи 5.15 имеем, что искомая оценка б*(х) = Е(8[х) = р! = и,( — и+-Ьэ-) ! прц этом )3(8(х) = от! аа сонэ!, следовательно, риск г(б*] = (о "+ + лб ') '. Минимизируя по л общие затраты г(6») + сл, находим оптимальный объем выборки Ь(1 Ь) хГс 5.25. 1) Пусть гт ) г(». Тогда г!2» — гт при О г(, !Π— г(! — !Π— !1»1 = [ г(+ г(» — 20 при гт» ( О ( ге, Л вЂ” 3» при О~Ц». Так как г( + г(» — 28 ~ г(» — г( при г(» ( О < гг', то Е[(]8 — г(! — 10 — г(»()[х] х (г(» — г()Р(0 ~~ г([х) + + (г(» — г(]Р(г(» ( 0 ( г((х) + (г( — г(») Р(8 ( с(» (х) = = (г( — г(») [Р(0 ( ге» (х) — Р(8 > г(»(х]] Поскольку г(» — медиана, последняя разность больше или равна О.
Аналогично рассматривается случай г( ( г(». Таким образом, решение б» минимизирует среднюю условную (при Х = к) потер!о, т. е. это— байесовское решение. 2) В силу задачи 5.!3 и. 7) медианой апостериориого распределе. ния ЦВ!л) является точка ли = мь следовательно, байесовская оценка ло выборке Х = (Хь ..., Х.) имеет внд б*(Х) = а)( з-+ — т-) и ее риск равен г(б*) = Е10 — б»(Х]1 = Е[Ег)Π— 6*(Х)1]Х)]. Но так как условное (при Х = л] распределение случайной величины 0 — 6*(Х) есть )т(0, ат) и для й()г) = йг(0, ат) Е!У1 = т/ — аь то 1 г(б») = с — (а + лб ') л Если цела за одно наблюдение равна с ) О, то, минимизируя общие затраты г(6*)+ сл по л, находим оптимальиое число наблюлеиий л* = бс((и(2ясб~)тгз — а т).
Глава 6 6.!. )сли дисперсии Х справедливо представление ! 1 ЕсК = !. ~ сот(Х„, Х,) = л вл- ! л эл = ! — ! = — [Ро + 2 ~ (! — — ) )ги~, У!Х из которого при условии (6.!) следует, что РХ = О( — ) при л аи, и т. е. Х вЂ” состоятельная оценка. 6,3. )сля среднего ЕС»(л) можно получить представление ! и — В и 1 и ЕС»(л) = и» вЂ” 2,' ~ Яг „-1- ((,»»,)+ —, л(л — й) г.г = ! / 1'с в котором добавок к )г» при условии (6.1) имеет порядок О( — ), когда ~л/ л-» ои бзй Здесь ЕК, = 0 и сот (Хи.! г, Хг) = Е(Х»» ь Хс) = а'(соя Цй+ !)сова!+ + в!п )(й+!)э!и й!) = отсов 'ид.
и 6.6. Здесь ЕХг = гл ~:„ис и т=в и — !Ц и ~ а' Х сс;и, » !и сот(Х».!.г Хг),~> ссссссот(в»» -г, Вс-г) = !й! о ~ при О при (й)) г, 233 (1 при У .1 — и„ ]2 пря У)1 — а; о! ]1 при Уса, (2 при и»о. 1 прн УС вЂ”, с»(и) = -( 2 ' 2 пр У~,1; г! Тогда реализацин цепи Маркова определяется формуламн ч, = С,(и»), т, = Спг- ']и,), 1>1. 6.11. Имеем Етн = О, ]2» = Еч»» гц» = Р(ц» +с = цс) — Р(п» ч-» Ф»п] = 1 = — (Рп(]») + Р»»(а] — Рь»(л] Р» (д)) = (1 — 2а) .
2 6.13. Здесь Ея~ = Е[Е($ч(1)!ч,)] = О, так как Е. (1) = О. Далее (см. задачу 6,9) имеем Е»1»»»тп = Е]ЕЯ„» (й + 1)сч(!)! ч»., ь ю)] = Р(ъ. ». = ч, = 1)Р(1 + + Р(т» Е» = т» = 2))]»»! =. — (1 + (1 — 2о)») (Я(»о -]- ]!Д1). 4 поскольку сот Д»+»-ь $»-,) = о» при 1 — 1 = й и равна нулю при 1 — ] ~ а. 6.8. Значения козффнциентов оптимального преднктора определя.
о ются па формулам Р». = ~ )]»)]» и где !!)]ч!! = !]В-,]! '(1. ! = — л = О, — 1, ..., — а). Длн величины о'(л) справедливо представление а'(и) = !)»!(и + 2)!/]1(»(я+ 1)], где (см. (1], с. 218) матрица »В ......Я, )2(п + 1] ]т» ....- )г - и.. ]]» 6.9. Поскольку !(Рч(1)!! = !!Рч(1]!!', достаточно проверить равенство (]РЛ(1+1)(! = ]!РЛ(1)!! ]!РЧ(1)]!. ТаК КВК МатРИЦа ]!Рч(1)]! ДВажДЫ СтОХастнчесная, то стационарное распределение является равномерным. 6.10, Пусть и, и», Уь ,.
— последовательность независимых равномерно распределенных на отрезке (О, !] случайных величин. Определим случайные величины: ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Нормальное раснределенне 1 Каантнлн распределенно: р = ~ е ""Ых у'2 н лр ие 2. Распределение Пуассона е !. Значенон функииа 0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1 0,095 0,181 0,259 0,330 0,394 0,451 2 005 ОИ 037 062 090 122 3 001 003 008 0 14 023 4 001 002 003 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,6? 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,126 0,15! 0,176 0,202 0,228 0,253 0,279 0,305 0,332 0,358 0,385 0,412 0,440 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,468 0,496 0,524 0,553 0,583 0,613 0,643 0,674 0,706 0,739 0,772 0,806 0,842 0,878 0,915 0,954 0,994 1,036 0,86 0,8? 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 0,999 0,9999 0.99999 1,080 1,126 1,175 1,227 1,282 1,341 1,405 1,476 1,555 1,645 1,751 1,881 2,054 2,326 3,090 3,720 4,265 С Я оо ао оо са о ѻ— оо с о оо »о ао оо СО О С'С юо а оо Яо оо С'С О оо ао Юа юо »Ю о о' "о оо а» а» и» Ю оо СЧ СС а оо Я ао -о »о ао С» С 3 ьо аа Юо оа са а ао О\ аа оо ая оо С'С С'С ао оо СО Оа оо »С» СО оо о с»о оо са о ~' О ао СО о" о ОО О оо аа оо ас а \ оо ОС С оо а са СО Ю оо а» СО Ю оа »» о ао оа оа ао »Ю оо ою ло оа аа ао оо са о ао оо С С оа О»» оо оо сс о ао юа "» с» ОО юо О» СО юо » с- о юо оо ао о с» СО СО СЧ ао О с,о ао 'С' О С оо оо С'С о оо С» СС » оо о а» О» оо СЧ '» а с'с оо с» о Оа Ю ла оо са ю оо а 'а СЬ оо С СО ОЪ С» оо С'» С юо оо а» О оо оо во ою сс а О оо оа о» -о а О оо са о СС С» оо а» а ао оа а Ос, а сч Ю -о аа — а ОЮ о сч -Ю О са Ю » -О о» а О 242 О С -ОЪ ,О а О ~С» а -"ч О а -, О -'О С а О .» о С»о о о" Оа о' о' ф» о о' юо о ю' ф Л 04 оо ф ф'0 О С» 04 40 оо 'Фч СО .Л 04 О'О 4'0 4 С'4 о" о О О О С4 ф оо .» о с4 а » С» О 44 оо 4» СЮ ф о о" 00 4' Л 40 Оа 4' ф \ Оа »- 4 оо Оа »- 04 оо СЧ 0 4 С4 оа ОО С»' О х .0 О.
О 0 ф СО 4'0 оо 04 4" 40 С4 О » С4 оо оь 04 М аа О Ф о о о" 4' ф о а" С'4 40 СЮ С 4 ао О' О' СО 4 оо ф 40 СЮ М оо м 40 Си оо 04 ф» оо О Ь 04 '4' Оа СО ф О»4 С» О и» 40 00 С4 ао С'4 С4 С4 О Оа оо О СО С'0 оо 04 40 оо оо аа оо »- о 04» С» О ОМ оо ом о ии о СС \' С» 40 о ОО оа -'о ОО О и» -о С» СЧ -о о»- о„ь„ -" о" 83 -о 8ь о ДЯ $СС оо оо » о вм 40 С'4 О С'4 оа оо и»и» 4- Ю Оо ОО О»- ОО 4 С4 00 '4 ос оо С»О ЬСЧ 04 С» 00 40 оо оо 4004» и\ \О 0 СО '\ Оа Оа 804 О оо оо »04 ММ оо оо СОЬ СО Ю О 4' О оо оо 88 83 -о -о х 4 х О 44 и х з Ф 2 О О с 40 Ф 4 СО Ф 0 Ф И О Е о о сс со с 3 Оэ о сс сч сс оо с'с со со о о сс ос о Ъ ' Ю о сс ос; о с- о со с- сч к о о о с- о х о с о о ° ю о о со со с о 3 3 с о с л о о со о.
со о с'э о ю х л о с о о сс о с з о с о о ~ос сь о ъ о со о оо о о :о О о— оо о о о х 'о сс с с о .~ с о о о !! о. Х сс о а 'о о. о о о с Ф Ю с о о о„ с со х с >, о о В о о :о х о со с осс о о с'с„ сс сз о о сс 'о а а л а а ь ас Сс Ю ОС сс Ю Ю сч оо Ю СО О ас ь' О ОС О аа о с- ,О О ю .ь о са с с с'\ ОС ЬС ОС О о с., Са СО -о Юа й с сссс О ОС СО Ю ЮО О О й ь' Й а аа а 2 О а а О О :Й О а Ф О а $ О О'. 'а СО а 'а О О Я ь а О О О а,с а Е а О а сс г47 а.
а о о. й о а' а о Ч~ Э а С3 ьс са о а о а, Ооооооойььс амм а оо88оооооова а а а оооооо8сьооооо~о ооооооаь.мм-ачомо оооооа1аа1аоваааг.~ ооооооо оа сьсьсьосьа о оо амаооа-а~ аа~ а ~счоь. омана~ аач счоааамоамм осьвсьвооововасоааа~ с с- о сьсч сась лсса лсо ломач ааоа Йййо оооааа~ с с о оа о л л о осч.~ь-мч сава о~ ч с мс-счо~ ао ось-о ь-мач ом с-моасчоач— о а о о о а а ь. ь. ь. а а а а а о а м м м м -о 8 --ь.соь.асч-асчасчч ва оса~ массо с-ссмсо с асчсо сасчсо с сьач сч-сь оо оа3 с а ъиъч'ч'ммсясзсч «ь -о о са о ась ослс--счсьсчсо с асчс со о сосо 8 оьч мыас.-амос-мамам — — оо о сь ь- а а а с ь сч сч — « — о о о о о о о о о о о сь ос-оо~ а с о-асосч ооооооооооо о а о сч сч а м сч — о о о сь о о Я о Б о о о о о о о ач-сч о о ооооооооооооооо оооо — о" ммамос-аоо счмаааьаоо-ммч — — сч с с сч сс сч 9.
Равномерно распределенные на !О, 11 случайные числа Д!(О, 1) 10. Нормальна случайные числа распределенные — 0,49! 0,219 0,856 1,046 0,360 0,983 — 1,096 250 0,5916 6562 3127 0690 36!7 7128 6635 9!62 93!3 82!6 9470 3361 5303 1039 9031 948! 8922 5725 4398 3652 9612 6836 4601 9154 2212 7!58 9192 3072 2380 3290 4448 7042 5978 7147 4386 — 0,486 — 0,256 0,065 1,147 — О, 199 1,237 — 1,384 — 0,959 0,73! 0,7! 7 3406 7463 1413 0120 6700 6396 5477 390! 5889 8851 2099 6387 5501 9430 42!5 44?4 6145 6542 7!98 5889 0448 010! 8247 7397 8036 2036 9019 2267 4955 8562 1790 4161 5412 7403 9362 — 0,212 0,415 — 0,121 — 0,246 0,424 1,377 -0,873 6079 8203 97!! 3993 5940 6787 912! 7480 0399 4184 1992 3374 4237 6838 1!97 8315 5759 2141 5543 8865 9632 886! 6883 3584 6484 5270 ?880 65! 2 7803 2558 1932 9279 2154 5033 6122 — 0,169 1,096 1,239 — 0,508 — 0,992 0,969 — 1,983 0,7?9 0,313 О,!81 — 2,574 — 1,630 — 0,116 — 1,141 — 1,330 — 1,396 410! 1643 6253 3136 9629 3147 4513 6319 2226 0471 0836 4963 5307 4!88 8764 1752 5489 7449 3687 2378 3741 2786 2!96 2139 9953 744! 4728 5673 1907 5986 0833 4049 9202 8549 0193 — 1,787 — 0,105 — 1,339 1,041 0,279 — 0,146 — 1,698 — 1,041 1,620 1,047 53!4 5825 4!35 382! 1094 2625 52!3 2645 7919 9664 5050 1255 8954 2383 8382 8546 1479 1553 2311 2198 4776 5132 6570 !О!9 8382 4387 0115 2943 5803 1904 700о 1693 7586 6005 !987 — 0,261 — 0,357 1,827 0,535 — 2,056 — 0,392 — 2,832 0,362 — 1,040 0,089 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
